Результаты, представленные в табл. 2.2, являются ответом на четко поставленный вопрос: что представляют собой простые неморсовские функции, типичные для $k$-параметрических семейств функций $F: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ ?

Если необходимо расширить табл. 2.2, то прежде всего следует обобщить постановку данного вопроса, причем обобщение может быть осуществлено разными способами. Мы рассмотрели всего лишь пять вариантов обобщения.

Мы опустили слово «простые» и изучали последовательности и семейства ростков катастрофы, зависящих от 0,1 или 2 модулей. Эти результаты (в основном принадлежащие Арнольду), вероятно, имеют ограниченную область практических приложений, но представляют большой теоретический интерес.

Сняв ограничение $n<\infty$, мы таким образом расширили область определения функции от конечномерного пространства до бесконечномерных пространств. При определенных ограничениях на отображение $F_{i j}$ (конечность ядра, отделенность всех ненулевых собственных значений от нуля) задача классификации неморсовских критических точек сводится к конечномерной (размерности ядра $F_{i j}$ ) задаче, и в этом случае применимы обычные методы теории катастроф. Однако при переходе к бесконечномерным пространствам возникают новые причины потери устойчивости, механизм которых еще не до конца ясен.

Сняв ограничение $m=1$, мы исследовали отображения $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$. Хотя для некоторых особенностей таких отображений известны канонические формы, здесь все еще остается нерешенной серьезная проблема, сзязанная с тем, что устойчивые отображения не всегда образуют плотное множество в пространстве всех отображений указанного вида. Поэтому вполне вероятно, что в таких случаях окажется необходимым создание некоторого нового математического аппарата.

Очень важной с практической точки зрения задачей является определение типа качественных изменений, которые могут происходить в семействах функций, инвариантных относительно некоторой группы симметрий $G$. (Мы опустили слово «типичные» в исходной формулировке основного вопроса.) Эта задача может быть решена известными методами анализа элементарных катастроф.

Методы элементарной теории катастроф оказались применимыми и в случае катастроф с ограничениями. Было показано, что сепаратрисы в семействах функций появляются в тот момент, когда точка $p$, в которой $
abla F=0$, оказывается на границе $\partial S$ области определения функции $F$.

Литература
1. Арнольд В. И. Критические точки гладких функций и их нормальные формы. УМН, 1975, 30:5, 3-65.
2. Арнольд В. И. Нормальные формы функций в окрестностях вырожденных критических точек. УМН, 1974, $29: 2,11-49$.
3. Arnol’d V. I. Local Normal Forms of Functions, Invent. Math., 35, 87-109 (1976).
4. Арнольд В. И. Классификация унимодальных критических точек функций. Функциональный анализ и его приложение, 1972, $7: 3,75$.
5. Арнольд В. И. Классификация бимодальных критических точек функций. Функциональный анализ и его приложение, 1975, 9:1, 49.
6. Golubitsky M., Guellemin V. Stable Mappings and their Singularities, New York: Springer, 1973. ГИмеется перевод: Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенностх. – M.: Мир, 1977.]
7. Pitt D. H., Poston T. Determinancy and Unfoldings in the Presence of a Boundary (будет опубликовано).
8. Poston T., Stewart I. N. Catastrophe Theory and Its Applications, London: Pitman, 1978. [Имеется перевод: Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. – М.: Мир, 1980.]