Итак, как только найдены положения равновесия, главные оси и собственные значения, построение фазового портрета становится сравнительно простым делом. Если потенциальная функция зависит от одного или более управляющих параметров, то положения точек равновесия, направления главных осей и собственные значения становятся функциями этих параметров. При этом, естественно, могут возникать вырожденные критические точки. Тогда, пользуясь методами, описанными в предыдущем разделе, можно построить фазовые портреты в окрестности таких катастроф.

В том случае, когда интерес представляют только одна или две переменные состояния $x, y$ и имеется лишь один управляющий параметр $c$, положения критических точек $(x(c), y(c))$ можно изобразить как функцию этого параметра. Число изолированных критических точек, вообще говоря, зависит от значения $c$, однако это число изменяется только при возникновении катастрофы.

Покажем, как следует изучать фазовые портреты для семейства потенциальных функций $V(x, y ; c)$. Выберем некоторый специальный вид потенциальной функции, достаточно простой для анализа и вместе с тем достаточно представительный для широкого класса потенциальных функций, важных для физических приложений. Для этого достаточно наложить ограничения симметрии, т. е. потребовать, чтобы функция не менялась при заменах
\[
\begin{array}{l}
x \rightarrow \pm x, \\
y \rightarrow \pm y .
\end{array}
\]

Это означает, что $V(x, y ; c)$ является четной функцией $x$ и $y$, например функцией от $x^{2}$ и $y^{2}$ :
\[
V(x, y ; c)=f\left(x^{2}, y^{2} ; c\right) .
\]

Уравнения движения в этом случае имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{\partial f}{\partial x^{2}} \frac{d\left(x^{2}\right)}{d x}=-2 x \frac{\partial f}{\partial x^{2}}, \\
\frac{d y}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial y}=-\frac{\partial f}{\partial y^{2}} \frac{d\left(y^{2}\right)}{d y}=-2 y \frac{\partial f}{\partial y^{2}} .
\end{array}
\]

Критические точки функции $V$ определяются обычным образом из условий $d x / d t=d y / d t=0$. Ясно, что начало координат $(x, y)=(0,0)$ является критической точкой при всех $c$. Если $\partial f / \partial x^{2}=0$ при $(x, y)=(0,0)$ для некоторого значения $c$, то начало координат является вырожденной критической точкой с «плохой» переменной $x$. Матрица устойчивости для функции $V$ имеет вид
\[
V_{i j}=4\left[\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x^{2}}+x^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial\left(x^{2}\right)^{2}} & x y \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2} \partial y^{2}} \\
x y \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2} \partial y^{2}} & \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial y^{2}}+y^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial\left(y^{2}\right)^{2}}
\end{array}\right] .
\]

Для критической точки в начале главными осями являются оси $x$ и $y$. Для всех критических точек, лежащих в плоскости $[x-c,(y=0)]$, и всех критических точек, лежащих в плоскости $[y-c,(x=0)]$, оси $x$ и $y$ являются главными. В общем случае оси $x$ и $y$ не являются главными осями для критических точек, не лежащих на какой-либо из двух плоскостей симметрии.

Как следует из гл. 5, при одном управляющем параметре в общем случае только одно собственное значение обращается в нуль в неморсовской критической точке. Это остается справедливым и в данном симметрическом случае. Для семейства функций общего вида, зависящих от одного управляющего параметра, как правило, встречается только катастрофа складки $A_{2}$. Однако семейство $V(x, y ; c)$ отнюдь не относится к общему виду; наоборот, оно относится к достаточно узкому классу из-за наличия ограничений симметрии (18.20). Как мы уже видели (гл. 17), в этом случае типично появление катастрофы сборки.

Для выяснения условий, при которых появляются складки и сборки, предположим, что ( $\left.x_{c}, y_{c}\right)$ — критическая точка, и проанализируем симметрии (если они есть) функции $V(x, y ; c)$ в окрестности этой критической точки. Это можно сделать, анализируя соотношение
\[
V\left(x_{c} \pm \delta x, y_{c} \pm \delta y ; c\right) \stackrel{?}{=} V\left(x_{c}+\delta x, y_{c}+\delta y ; c\right) .
\]

Вообще говоря, функция $V(x, y ; c)$ не инвариантна относительно замены $\delta x \rightarrow-\delta x$, если $x_{c}
eq 0$, однако обязательно инвариантна, если $x_{c}=0$. Поэтому, если «плохой» переменной является $x$ и $x_{c}
eq 0$, то происходит катастрофа складки, однако если $x_{c}=0$, то вместо нее происходит катастрофа сборки. Аналогичные рассуждения остаются справедливыми и для направления $y$. Возможные ситуации представлены в табл. 18.1 .

Теперь можно исследовать качественное поведение симметричной потенциальной функции $V(x, y ; c)$ при вариациях параметра $c$. Вдоль совершенно симметричного решения $x(c)=0$, $y(c)=0$ собственные значения, связанные с направлениями $x$

Таблица 18.1. Типы катастроф, происходящих в однопараметрическом семействе функций с симметрией типа $\boldsymbol{F}( \pm x, \pm y ; c)=\boldsymbol{F}(x, y ; c)$

и $y$, являются функциями $c$. Если собственное значение (по $x$ ) проходит через нуль, то происходит катастрофа сборки, и в направлении $x$ ответвляются два новых решения. Вдоль этих новых направлений можно вычислить матрицу устойчивости. Поскольку на новых решениях $x(c)
eq 0, y(c)=0$, то матрица устойчивости имеет диагональный вид, и собственные значения отвечают направлениям $x$ и $y$. Если где-либо на этой новой ветви обращается в нуль собственное значение матрицы, связанное с $x$, происходит катастрофа складки. Если же обращается в нуль собственное значение, связанное с $y$, то появляется катастрофа сборки, и в направлении $y$ ответвляются два дополнительных решения. На этих новых множествах решений $x(c)
eq 0, y(c)
eq 0$, и любые возникающие катастрофы должны быть складками. От критических ветвей с $x(c)
eq 0, y(c)
eq 0$ не ответвляется никаких новых решений.

Бифуркационная диаграмма (рис. 18.7) имеет вид дерева, поэтому множества решений $x(c), y(c)$ уравнения $
abla V(x, y ; c)=$ $=0$ называют ветвями. Универсальное решение $x(c)=0$, $y(c)=0$, требуемое по условиям симметрии, называется магистралью или нулевой ветвью. Первичные ветви ответвляются от нулевой ветви, вторичные от первичных и т. д. В данном примере нет третичных ветвей, поскольку вдоль вторичных ветвей нет симметрии.

Рис. 18.7. Дерево ветвлений.

Для большей ясности предположим, что $0 \leqslant c<\infty$ и что при $c=0$ потенциальная функция $V(x, y ; c)$ имеет единственную критическую точку в начале координат пространства управляющих параметров. Кроме того, будем предполагать, что вдоль этой нулевой ветви собственное значение, связанное с направлением $x$, обращается в нуль при $c=2$ и $c=7$, а собственное значение, связанное с $y$, обращается в нуль при $c=$ $=4$. Удобно помечать ветви (помимо указаний «нулевая», «первичная» и т. д.) их инерцией, или суммой знаков собственных значений матрицы устойчивости. Эта величина остается постоянной на участках между бифуркациями и точками разворота (описанными ниже) и меняется всякий раз, когда какоелибо собственное значение на данной ветви обращается в нуль и меняет знак. Инерция вдоль нулевой ветви определяется элементарно. При $c=0$ функция $V(x, y ; c)$ имеет минимум, поэтому инерция имеет вид $(+,+)$; при $c=2$ собственное значение, связанное с $x$, обращается в нуль, поэтому при $0 \leqslant c<2$ инерция $(+,+)$, а при $2<c<4$ инерция (,-+ ). Первый и второй знаки в скобках относятся к направлениям $x$ и $y$ соответственно. При $c=4$ собственное значение, связанное с $y$, обращается в нуль, поэтому при $4<c<7$ инерция имеет вид (,— ). Наконец, при $c=7$ собственное значение, связанное с $x$, снова обращается в нуль, поэтому при $c>7$ инерция (,+- ). Из этих элементарных рассуждений следует, что решение $x(c)=$ $=0, y(c)=0$ неустойчиво при $c>2$.

Рассмотрим первую из первичных ветвей. Предположим, что при $x=y=0 \quad c=2$ и имеется катастрофа типа $A_{-3}$. Поскольку ветвление происходит в направлении $x$, то в окрестности точки бифуркации (ветвления)
\[
V(x, y ; c) \simeq \text { const }+(2-c) x^{2}-a x^{4}+b y^{2},
\]

где $a>0, b>0$ (члены более высокой степени и несущественные положительные множители опущены). В окрестности неморсовской критической точки первичные ветви имеют вид $x(c) \simeq \pm[(2-c) / 2]^{1 / 2}, y(c)=0$. Они «загибаются» в сторону меньших значений $c$ по каноническому закону квадратного корня. На первичной ветви направление $y$ неустойчиво, однако направление $y$ по-прежнему дслжно оставаться устойчивым в силу непрерывности собственных значений матрицы $V_{i j}(x, y ; c)$ в окрестности точки $(x, y ; c)=(0,0 ; 2)$. Поэтому в окрестности точки бифуркации на первичной ветви инерция имеет вид (-, + .

Эта первичная ветвь не может бесконечно продолжаться в сторону меньших значений $c$, так как по предположению $V(x$, $y ; c$ ) имеет только одну критическую точку $c=0$, а именно $(x, y)=(0,0)$. Точно так же первичная ветвь не может просто оборваться. Кроме того, в однопараметрическом семействе, как правило, бывает либо складка (несимметричный случай), либо сборка (симметричный случай). Поэтому «судьба» первичной ветви одиозначно определена. При $0<c<2$ (скажем, при $c=1$ ) вдоль ветви $x(c)
eq 0, y=0$ собственное значение, связанное с $x$, вторично обращается в нуль в канонической катастрофе складки. Можно сказать, что первичная ветвь «разворачивается» в сторону возрастающих значений $c$. Инерция на этом «подъеме» $(+,+)$, поскольку собственное значение, связанное с $x$, снова перешло через нуль.
$\diamond \diamond \diamond$ Выражаясь более образно, можно сказать, что аттрактор и седло «сталкиваются и уғичтожают друг друга», когда $c$, уменьшаясь, проходит через единицу. Или же можно сказать, что с ростом $c$ при $c=1$ внезапно рождаются аттрактор и седло, которое затем поглощается нулевой ветвью.

Вдоль первичной ветви $x(c)
eq 0, y(c)=0$ вид функции $V(x(c)+\delta x, \delta y ; c)$ не меняется при замене $\delta y \rightarrow-\delta y$ и меняется при $\delta x \rightarrow-\delta x$. Поэтому обращающиеся в нуль собственные значения, связанные с $x$, ассоциируются с дополнительными «разворотами», в то время как обращающиеся в нуль собственные значения, связанные с направлением $y$, ассоциируются с ответвлениями от первичной ветви, при которых $y(c)
eq 0$. В этих вторичных бифуркационных точках касательная к вторичной ветви перпендикулярна плоскости $(x, c)$. Будем предполагать, что две вторичные ветви ответвляются от этой первичной ветви при $c=3,9$ и $c=5,9$ и что обе бифуркации относятся к катастрофам типа $A_{+3}$. Потенциальная функция в окрестности точки $x(c)
eq 0, y=0, c=3,9$ имеет вид
\[
V(x(c)+\delta x, y ; c) \simeq a(\delta x)^{2}+(3,9-c) y^{2}+b y^{4},
\]

где, как обычно, оставлены только главные члены и $a>0$, $b>0$. Для $c>3,9$ имеются два локальных решения $y(c)
eq 0$, а для $c<3,9$ ни одного. Следовательно, вторичная ветвь поворачивает вверх. Инерция этой ветви имеет вид $(+,+)$, а первичной ветви $(+,-)$ при $3,9<c<5,9$. При $c=5,9$ собственное значение, связанное с $y$, вновь обращается в нуль. Катастрофа $A_{+3}$ при $x(c)
eq 0, y=0, c=5,9$ имеет вид
\[
V(x(c)+\delta x, y ; c) \simeq a(\delta x)^{2}+(c-5,9) y^{2}+b y^{4},
\]

где $a>0, b>0$. При $c<5,9$ имеются два локальных решения $y(c)
eq 0$, а при $c>5,9$ ни одного. Поэтому вторичная ветвь, ответвившаяся в катастрофе $A_{+3}$, вначале поворачивает вниз. Инерция этой вторичной ветви также имеет вид $(+,+$ ). Рассматриваемая ветвь может быть (а может и не быть) такой же, как и вторичная ветвь, ответвляющаяся при $c=3,9$. Если это так, то потенциальную функцию в окрестности первичной ветви приближенно можно записать как
\[
V(x(c)+\delta x, y ; c) \simeq a(\delta x)^{2}+\frac{1}{2}(c-3,9)(c-5,9) y^{2}+b y^{4} .
\]

Тогда можно сказать, что при $c=3,9$ первичная ветвь «сбрасывает» устойчивые вторичные ветви, которые затем снова к ней присоединяются при $c=5,9$. Другая возможность состоит в том, что вторичная ветвь, ответвляющаяся при $c=5,9$, вначале поворачивает вниз и затем, при некотором $c>0,-$ снова вверх в катастрофе складки. Причины такого поведения уже обсуждались выше. На подъеме по этой ветви инерция имеет вид $(+,-)$. Первая из указанных двух возможностей иллюстрируется на рис. 18.7 .

Займемся теперь второй первичной ветвью, ответвляющейся от магистрали при $c=4$. Будем предполагать наличие катастрофы $A_{+3}$ в направлении $y$. Первичная ветвь поворачивает вверх с инерцией $(-,+)$. Для этой ветви $x=0, y(c)
eq 0$. Вторичное ветвление в направлении $x$ все еще остается возможным. Предположим, что оно происходит при $c=4,2$ и относится к типу $A_{-3}$, так что,
\[
V(x, y(c)+\delta y ; c) \simeq(c-4,2) x^{2}-a x^{4}+b(\delta y)^{2},
\]

где $a>0, b>0$. При $c>4,2$ имеются два локальных решения $x(c)
eq 0$ и ни одного при $c<4,2$, поэтому вторичная ветвь, ответвляющаяся в катастрофе $A_{-3}$, поворачивает вверх. Вдоль первичной ветви при $c>4,2$ инерция имеет вид $(+,+)$, поскольку изменится знак собственного значения, связанного с $x$. Инерция вторичной ветви должна быть $(-,+)$, так как вторичная ветвь $x(c)
eq 0, y(c)
eq 0$ неустойчива в направлении $x$. Рассмотрим третью первичную ветвь, ответвляющуюся от магистрали при $c=7$ в направлении $x$. Когда $c$, возрастая, принимает значение $c=7$, собственное значение, связанное с $x$, из отрицательного становится положительным. Если предположить, что $(x, y ; c)=(0,0 ; 7)$ есть точка катастрофы $A_{-3}$, то первичная ветвь должна повернуть вверх с инерцией (,— ). $\diamond \diamond \diamond$ Если при $c=c^{0}$ происходит ответвление от $n$-ветви $\mathrm{i}$ к $(n+1)$-ветви, то инерция $(n+1)$-ветви, существующая локально только по одну сторону от $c^{0}$, совпадает с инерцией $n$-ветви по другую сторону от $c^{0}$. Другими словами, если при возрастании $c$ происходит катастрофа $A_{ \pm 3}$ и при этом знаки собственных значений матрицы устойчивости изменяются от $\pm$ к $干$, то ответвляющиеся решения поворачивают вверх или вниз в со. ответствии с таблицей

Қасательная к $(n+1)$-ветви, ответвляющейся при $c=$ $=c^{0}$ от $n$-ветви, параллельна собственному вектору матрицы устойчивости, соответствующему собственному значению, обращающемуся в нуль на $n$-ветви при $c=c^{0}$.
$\diamond \diamond \diamond$ Множество решений $x(c), y(c)$ уравнения $
abla V(x, y ; c)=$ $=0$ не обязательно должно быть связным. При возрастании $c$ могут «внезапно возникнуть» одновременно седло и локальный экстремум. Если ни одно из них не будет «затянуто» ветвью, ответвляющейся от магистрали, то полное множество решений не связно. Эти новые решения могут иметь собственные точки бифуркаций и разворота; они могут бесконечно продолжаться в направлении роста $c$ или могут столкнуть и уничтожить друг друга, образовав изолированные «пузыри» в пространстве переменных состояния. Инерцию для таких пузырей часто нетрудно угадать (рис. 18.7).
$\diamond \diamond \diamond$ Мы полностью определили качественные свойства градиентной системы, исходя лишь из знания положений неморсовских критических точек в $\mathbb{R}^{2} \otimes \mathbb{R}^{1}$. Качественные свойства
${ }^{1} \mathrm{~B}$ этой терминологии «1-ветвґ»- первичная ветвь, «2-ветвь» — вторичная ветвь и т. д. — Прим. ред.

Рис. 18.8. Сечения дерева ветвлений различными плоскостями $c=$ const.
Критические точки в одной плоскости явным образом связаны с критическими точками в близлежащих плоскостях. Расположение критических точек на плоскости можно использовать для построения картины потоков в этой плоскости.
«дерева равновесий (ветвлений)» определяются положением и типом катастроф, которые возможны ( $A_{2}, A_{ \pm 3}$ ) в этом однопараметрическом примере. Кроме того, инерция матрицы устойчивости на каждой ветви полностью определяется (без каких бы то ни было вычислений!) инерцией в одной точке $(x, y ; c)=(0,0 ; 0)$. В табл. 18.2 дана сводка положений, типов и свойств каждой неморсовской критической точки для этого примера.
$\diamond \diamond \diamond$ Множество решений $x(c), y(c)$ уравнения $
abla V(x, y ; c)=$ $=0$, связанных с магистралью, имеет простое происхождение. От магистрали может ответвляться много первичных ветвей, помечаемых порядком их возникновения. Точно так же от первичной ветви может ответвиться много вторичных ветвей, помечаемых аналогичным образом. В этом примере нет третичных ветвей.

Таблица 18.2. Положение и тип критических точек на дереве ветвления

Все равновесия, возможные при $c=1,5 ; 3 ; 4,5 ; 6$, показаны на рис. 18.8. Эти точки получаются в результате сечения дерева равновесий четырьмя горизонтальными плоскостями $c=$ const. В каждой такой плоскости легко построить фазовый портрет градиентной системы, воспользовавшись ранее описанными методами. Однако мы просто указываем тип устойчивости каждого положения равновесия.