Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Итак, как только найдены положения равновесия, главные оси и собственные значения, построение фазового портрета становится сравнительно простым делом. Если потенциальная функция зависит от одного или более управляющих параметров, то положения точек равновесия, направления главных осей и собственные значения становятся функциями этих параметров. При этом, естественно, могут возникать вырожденные критические точки. Тогда, пользуясь методами, описанными в предыдущем разделе, можно построить фазовые портреты в окрестности таких катастроф. В том случае, когда интерес представляют только одна или две переменные состояния $x, y$ и имеется лишь один управляющий параметр $c$, положения критических точек $(x(c), y(c))$ можно изобразить как функцию этого параметра. Число изолированных критических точек, вообще говоря, зависит от значения $c$, однако это число изменяется только при возникновении катастрофы. Покажем, как следует изучать фазовые портреты для семейства потенциальных функций $V(x, y ; c)$. Выберем некоторый специальный вид потенциальной функции, достаточно простой для анализа и вместе с тем достаточно представительный для широкого класса потенциальных функций, важных для физических приложений. Для этого достаточно наложить ограничения симметрии, т. е. потребовать, чтобы функция не менялась при заменах Это означает, что $V(x, y ; c)$ является четной функцией $x$ и $y$, например функцией от $x^{2}$ и $y^{2}$ : Уравнения движения в этом случае имеют вид Критические точки функции $V$ определяются обычным образом из условий $d x / d t=d y / d t=0$. Ясно, что начало координат $(x, y)=(0,0)$ является критической точкой при всех $c$. Если $\partial f / \partial x^{2}=0$ при $(x, y)=(0,0)$ для некоторого значения $c$, то начало координат является вырожденной критической точкой с «плохой» переменной $x$. Матрица устойчивости для функции $V$ имеет вид Для критической точки в начале главными осями являются оси $x$ и $y$. Для всех критических точек, лежащих в плоскости $[x-c,(y=0)]$, и всех критических точек, лежащих в плоскости $[y-c,(x=0)]$, оси $x$ и $y$ являются главными. В общем случае оси $x$ и $y$ не являются главными осями для критических точек, не лежащих на какой-либо из двух плоскостей симметрии. Как следует из гл. 5, при одном управляющем параметре в общем случае только одно собственное значение обращается в нуль в неморсовской критической точке. Это остается справедливым и в данном симметрическом случае. Для семейства функций общего вида, зависящих от одного управляющего параметра, как правило, встречается только катастрофа складки $A_{2}$. Однако семейство $V(x, y ; c)$ отнюдь не относится к общему виду; наоборот, оно относится к достаточно узкому классу из-за наличия ограничений симметрии (18.20). Как мы уже видели (гл. 17), в этом случае типично появление катастрофы сборки. Для выяснения условий, при которых появляются складки и сборки, предположим, что ( $\left.x_{c}, y_{c}\right)$ – критическая точка, и проанализируем симметрии (если они есть) функции $V(x, y ; c)$ в окрестности этой критической точки. Это можно сделать, анализируя соотношение Вообще говоря, функция $V(x, y ; c)$ не инвариантна относительно замены $\delta x \rightarrow-\delta x$, если $x_{c} Теперь можно исследовать качественное поведение симметричной потенциальной функции $V(x, y ; c)$ при вариациях параметра $c$. Вдоль совершенно симметричного решения $x(c)=0$, $y(c)=0$ собственные значения, связанные с направлениями $x$ Таблица 18.1. Типы катастроф, происходящих в однопараметрическом семействе функций с симметрией типа $\boldsymbol{F}( \pm x, \pm y ; c)=\boldsymbol{F}(x, y ; c)$ и $y$, являются функциями $c$. Если собственное значение (по $x$ ) проходит через нуль, то происходит катастрофа сборки, и в направлении $x$ ответвляются два новых решения. Вдоль этих новых направлений можно вычислить матрицу устойчивости. Поскольку на новых решениях $x(c) Бифуркационная диаграмма (рис. 18.7) имеет вид дерева, поэтому множества решений $x(c), y(c)$ уравнения $ Рис. 18.7. Дерево ветвлений. Для большей ясности предположим, что $0 \leqslant c<\infty$ и что при $c=0$ потенциальная функция $V(x, y ; c)$ имеет единственную критическую точку в начале координат пространства управляющих параметров. Кроме того, будем предполагать, что вдоль этой нулевой ветви собственное значение, связанное с направлением $x$, обращается в нуль при $c=2$ и $c=7$, а собственное значение, связанное с $y$, обращается в нуль при $c=$ $=4$. Удобно помечать ветви (помимо указаний «нулевая», «первичная» и т. д.) их инерцией, или суммой знаков собственных значений матрицы устойчивости. Эта величина остается постоянной на участках между бифуркациями и точками разворота (описанными ниже) и меняется всякий раз, когда какоелибо собственное значение на данной ветви обращается в нуль и меняет знак. Инерция вдоль нулевой ветви определяется элементарно. При $c=0$ функция $V(x, y ; c)$ имеет минимум, поэтому инерция имеет вид $(+,+)$; при $c=2$ собственное значение, связанное с $x$, обращается в нуль, поэтому при $0 \leqslant c<2$ инерция $(+,+)$, а при $2<c<4$ инерция (,-+ ). Первый и второй знаки в скобках относятся к направлениям $x$ и $y$ соответственно. При $c=4$ собственное значение, связанное с $y$, обращается в нуль, поэтому при $4<c<7$ инерция имеет вид (,– ). Наконец, при $c=7$ собственное значение, связанное с $x$, снова обращается в нуль, поэтому при $c>7$ инерция (,+- ). Из этих элементарных рассуждений следует, что решение $x(c)=$ $=0, y(c)=0$ неустойчиво при $c>2$. Рассмотрим первую из первичных ветвей. Предположим, что при $x=y=0 \quad c=2$ и имеется катастрофа типа $A_{-3}$. Поскольку ветвление происходит в направлении $x$, то в окрестности точки бифуркации (ветвления) где $a>0, b>0$ (члены более высокой степени и несущественные положительные множители опущены). В окрестности неморсовской критической точки первичные ветви имеют вид $x(c) \simeq \pm[(2-c) / 2]^{1 / 2}, y(c)=0$. Они «загибаются» в сторону меньших значений $c$ по каноническому закону квадратного корня. На первичной ветви направление $y$ неустойчиво, однако направление $y$ по-прежнему дслжно оставаться устойчивым в силу непрерывности собственных значений матрицы $V_{i j}(x, y ; c)$ в окрестности точки $(x, y ; c)=(0,0 ; 2)$. Поэтому в окрестности точки бифуркации на первичной ветви инерция имеет вид (-, + . Эта первичная ветвь не может бесконечно продолжаться в сторону меньших значений $c$, так как по предположению $V(x$, $y ; c$ ) имеет только одну критическую точку $c=0$, а именно $(x, y)=(0,0)$. Точно так же первичная ветвь не может просто оборваться. Кроме того, в однопараметрическом семействе, как правило, бывает либо складка (несимметричный случай), либо сборка (симметричный случай). Поэтому «судьба» первичной ветви одиозначно определена. При $0<c<2$ (скажем, при $c=1$ ) вдоль ветви $x(c) Вдоль первичной ветви $x(c) где, как обычно, оставлены только главные члены и $a>0$, $b>0$. Для $c>3,9$ имеются два локальных решения $y(c) где $a>0, b>0$. При $c<5,9$ имеются два локальных решения $y(c) Тогда можно сказать, что при $c=3,9$ первичная ветвь «сбрасывает» устойчивые вторичные ветви, которые затем снова к ней присоединяются при $c=5,9$. Другая возможность состоит в том, что вторичная ветвь, ответвляющаяся при $c=5,9$, вначале поворачивает вниз и затем, при некотором $c>0,-$ снова вверх в катастрофе складки. Причины такого поведения уже обсуждались выше. На подъеме по этой ветви инерция имеет вид $(+,-)$. Первая из указанных двух возможностей иллюстрируется на рис. 18.7 . Займемся теперь второй первичной ветвью, ответвляющейся от магистрали при $c=4$. Будем предполагать наличие катастрофы $A_{+3}$ в направлении $y$. Первичная ветвь поворачивает вверх с инерцией $(-,+)$. Для этой ветви $x=0, y(c) где $a>0, b>0$. При $c>4,2$ имеются два локальных решения $x(c) Қасательная к $(n+1)$-ветви, ответвляющейся при $c=$ $=c^{0}$ от $n$-ветви, параллельна собственному вектору матрицы устойчивости, соответствующему собственному значению, обращающемуся в нуль на $n$-ветви при $c=c^{0}$. Рис. 18.8. Сечения дерева ветвлений различными плоскостями $c=$ const. Таблица 18.2. Положение и тип критических точек на дереве ветвления Все равновесия, возможные при $c=1,5 ; 3 ; 4,5 ; 6$, показаны на рис. 18.8. Эти точки получаются в результате сечения дерева равновесий четырьмя горизонтальными плоскостями $c=$ const. В каждой такой плоскости легко построить фазовый портрет градиентной системы, воспользовавшись ранее описанными методами. Однако мы просто указываем тип устойчивости каждого положения равновесия.
|
1 |
Оглавление
|