Число состояний в типичной квантовой системе (отдельный атом, молекула или нуклон) может быть очень велико. Однако довольно, часто лишь немногие из них оказываются важными, и если это так, то их можно пронумеровать как $|i\rangle, i=1,2, \ldots$ $\ldots, r$. Наиболее общим оператором в конечномерном пространстве $\mathbb{C}_{+}^{r}$, описывающим такую «усеченную» систему, является следующий:
\[
C=\sum_{i, j=1}^{\dot{r}}|i\rangle A_{i j}\langle j|=\sum_{i, j=1}^{r} A_{i j} e_{i j} .
\]

Қаждый оператор в этом пространстве может быть представлен линейной суперпозицией одночастичных операторов $e_{i j}$, порождающих алгебру Ли $\mathfrak{t}(r)$ группы Ли $U(r)$ :
\[
\left[e_{i j}, e_{r s}\right]=e_{i s} \delta_{j r}-e_{r j} \delta_{s i} .
\]

Во многих случаях квантовомеханическая система содержит много $(N)$ одинаковых подсистем, каждая из которых имеет $r$ внутренних состояний. Одночастичные операторы $e_{i j}^{(\alpha)}$, описывающие $\alpha$-ю частицу, коммутируют с операторами, описывающими $\beta$-ю частицу:
\[
\begin{array}{rlrl}
{\left[e_{i j}^{(\alpha)}, e_{r s}^{(\beta)}\right]} & =0, & & \alpha
eq \beta, \\
& =(15.11), & \alpha=\beta .
\end{array}
\]

Многочастичный оператор удобно определить следующим образом:
\[
E_{i j}=\sum_{\alpha=1}^{N} e_{i j}^{(\alpha)} .
\]

Многочастичные операторы удовлетворяют тем же отношениям коммутативности, что и одночастичные операторы, поскольку соотношения
\[
\begin{aligned}
{\left[E_{i j}, E_{r s}\right] } & =\sum_{\alpha=1}^{N} \sum_{\beta=1}^{N}\left[e_{i j}^{(\alpha)}, e_{r s}^{(\beta)}\right]=\sum_{a=1}^{N} \sum_{\beta=1}^{N}\left[e_{i j}^{(\alpha)}, e_{r s}^{(\alpha)}\right] \delta^{\alpha \beta}= \\
& =\sum_{a=1}^{N}\left(e_{i s}^{(\alpha)} \delta_{j r}-e_{r j}^{(\alpha)} \delta_{s i}\right)=E_{i s} \delta_{j r}-E_{r j} \delta_{s i}
\end{aligned}
\]

изоморфны (15.11). Поэтому если внутренняя динамическая група отдельной частицы есть $U(r)$, то внутренняя динамическая группа $N$ одинаковых взаимодействующих частиц также будет $U(r)$.

Если число $N$ одинаковых частиц велико, удобно определить усредненные многочастичные операторы, поделив $E_{i j}$ на $N$ :
\[
\frac{E_{i j}}{N}=\frac{1}{N} \sum_{a=1}^{N} e_{i j}^{(\alpha)} .
\]

В предельном случае (при больших $N$ ) соотношения коммутативности усредненных многочастичных операторов принимают очень простой вид:
\[
\left[\frac{E_{i j}}{N}, \frac{E_{r s}}{N}\right]=\frac{1}{N}\left(\frac{E_{i s}}{N} \delta_{j r}-\frac{E_{r i}}{N} \delta_{s i}\right) .
\]

Из (15.13) следует, что матричные элементы усредненных многочастичных операторов $E_{i j} / N$ того же порядка (порядка 1), что и элементы одночастичных операторов. Матричные элементы коммутатора двух усредненных многочастичных операторов имеют порядок $1 / N$. В пределе при $N \rightarrow \infty$ усредненные многочастичные операторы коммутируют. Это означает, что они одновременно диагонализируемы, т. е. в некотором смысле классические.

Строгое вычисление такого классического предела выходит за рамки настоящей книги. Виесто этого приведем некоторые эвристические рассуждения. Если волновая функция отдельной частицы есть
\[
|\psi\rangle \operatorname{col}\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{r}\right),
\]

то из условия нормировки $\langle\psi \mid \psi\rangle=1$ следует
\[
\langle\psi \mid \psi\rangle=\sum_{j=1}^{r} z_{j}^{*} z_{i}=1 .
\]

Легко вычислить матричный элемент одночастичного оператора сдвига $e_{i j}$ :
\[
\left\langle\psi\left|e_{i j}\right| \psi\right\rangle=z_{i}^{*} z_{j} .
\]

Поскольку $E_{i j} / N \sim e_{i j}$, то для предельного классического случая усредненных многочастичных операторов получаем
\[
\frac{E_{i j}}{N} \xrightarrow[N \rightarrow \infty]{\substack{\text { Классический } \\ \text { предел }}} z_{i}^{*} z_{j} .
\]

Этот переход к предельному классическому случаю можно продолжить и для случая бозонных операторов $a_{i}^{\dagger} a_{j} / N, \quad a_{i}^{\dagger} / \sqrt{N}$, $a_{j} / \sqrt{N}$. В пределе при $N \rightarrow \infty$ эти усредненные операторы коммутируют, поскольку
\[
\begin{array}{c}
{\left[\frac{a_{i}^{+} a_{j}}{N}, \frac{a_{k}^{+}}{\sqrt{N}}\right]=\frac{1}{N}\left(\frac{a_{i}^{+}}{\sqrt{N}}\right) \delta_{j k},} \\
{\left[\frac{a_{i}^{+}}{\sqrt{\bar{N}}}, \frac{a_{j}}{\sqrt{\bar{N}}}\right]=\frac{1}{N}\left(-I \delta_{i j}\right) .}
\end{array}
\]

Поэтому вполне естественно ожидать, что классические пределы существуют. Непосредственной проверкой из соотношений
\[
\begin{array}{cc}
E_{i j} / N \sim a_{i}^{\dagger} a_{j} / N \\
\downarrow & \downarrow \\
z_{i}^{*} z_{j} & \left(a_{i}^{\dagger} / \sqrt{N}\right)\left(a_{j} / \sqrt{N}\right)
\end{array}
\]

получаем классический предел $a_{j} / \sqrt{N}=z_{j}$ и т. д.
$\diamond \diamond \diamond$ Классический предел усредненного многочастичного оператора $E_{i j} / N$ есть математическое ожидание этого оператора для состояния $|\Psi\rangle=\prod_{\alpha=1}^{N}\left|\psi_{\alpha}\right\rangle$, являющегося прямым произведением состояний $\left|\psi_{\alpha}\right\rangle$, каждое из которых имеет вид (15.17). Классический предел усредненного бозонного оператора $a / \sqrt{N}$ есть его среднее для состояния
\[
\left|\Psi_{b}\right\rangle=e^{-N|\mu|^{2} / 2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\mu \sqrt{N})^{k}}{\sqrt{\bar{k} !}}|k\rangle,
\]

где множитель $e^{-N \mid \mu l^{2} / 2}$ включен из соображений нормировки. В результате имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{E_{i j}}{N} \rightarrow\left\langle\Psi\left|\frac{E_{i j}}{N}\right| \Psi\right\rangle=z_{i}^{*} z_{j}, \\
\frac{a}{\sqrt{\bar{N}}} \rightarrow\left\langle\Psi_{b}\left|\frac{a}{\sqrt{N}}\right| \Psi_{b}\right\rangle=\mu .
\end{array}
\]

Из условия нормировки $\langle\Psi \mid \Psi\rangle=1$ вытекает, что $z_{j}$ должно удовлетворять равенству (15.18). На комплексный параметр $\mu$ подобного условия не налагается.
$\diamond \diamond \diamond$ Поскольку средние операторов $E_{i j} / N, a_{k} / \sqrt{N}$ и т. д. описывают состояние системы, қомплексные переменные $z_{i}, \mu_{k}$ будем называть переменными состояния.
$\diamond \diamond \diamond$ Именно такая замена усредненных многочастичных операторов $E_{i j} / N$ и усредненных бозонных операторов а $/ \sqrt{N}$-числами и является ключевым шагом, позволяющим использовать мощный аппарат теории катастроф для решения сложных задач квантовой механики.
$\diamond \diamond \diamond$ Следует иметь в виду, чго классический предел (15.24а) для усредненных многочастичных операторов справедлив для полностью симметричных представлений унитарных групп, и для таких представлений это можно показать строго. Справедливость предельного перехода (15.24б) для бозонных операторов строго доказать нельзя, однако он остается справедливым для всех случаев, изучаемых в данной главе.