В общем случае функция является устойчивой или структурно устойчивой, если ее свойства качественно не изменяются под действием возмущения. В гл. 4 было показано, что в интуитивном смысле потенциальная функция устойчива в точках, где $
abla V
eq 0$, и в морсовских кригических точках. Однако этого нельзя сказать о вырожденных критических точках. Пусть $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – потенциальная функция, а $\varepsilon f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – ее возмущение. Тогда функция $V$ устойчива в точке $x^{0} \in \mathbb{R}^{n}$, если существует такая гладкая замена координат $x_{j}^{\prime}=x_{j}^{\prime}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, что новая (возмущенная) функция $V^{\prime}=V+\varepsilon f$ в новой системе координат имеет ту же самую структуру, что и старая функция в старой системе координат:
\[
V^{\prime}\left(x^{\prime}\right) \doteq V(x) .
\]
Пример 1. Предположим, что в морсовской критической точке
\[
\begin{array}{l}
V(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} \\
\varepsilon f(x)=\varepsilon_{1} x_{1}+\mathrm{\varepsilon}_{2} x_{2}+\ldots+\varepsilon_{n} x_{n} .
\end{array}
\]
Тогда
\[
V(x)+\varepsilon f(x)=\left(x_{1}+\frac{1}{2} \varepsilon_{1}\right)^{2}+\ldots+\left(x_{n}+\frac{1}{2} \varepsilon_{n}\right)^{2}-\frac{1}{4}\left(\varepsilon_{1}^{2}+\ldots+\varepsilon_{n}^{2}\right) \text {. }
\]
Таким образом, если взять
\[
\begin{array}{c}
x_{i}^{\prime}=x_{i}+\frac{1}{2} \varepsilon_{i}, \\
V^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=x_{1}^{\prime 2}+\ldots+x_{n}^{\prime 2}-\frac{1}{4}\left(\varepsilon_{1}^{2}+\ldots+\varepsilon_{n}^{2}\right),
\end{array}
\]
то будем иметь
\[
V^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=V(x) .
\]
Следовательно, в окрестности морсовских седел функции локально устойчивы.
Пример 2. Функция $f(x)=x^{3}$ не является устойчивой в вырожденной критической точке $x=0$, так как возмущение либо удаляет критическую точку вообще (рис. 6.1, $a_{1}>0$ ), либо расщепляет ее в невырожденные критические точки (рис. 6.1, $a_{1}<0$ ).
$\diamond \diamond \diamond$ Функции, локально устойчивые во всех точках, в которых они определены, называются устойчивыми, глобально устойчи-
Рис. 21.1.
Кривая, соединяющая точку $p_{3}$ области III с точкой $p_{1}$ области I, пересекает кривую складки в некоторой ее точке $p_{2}$. При возмүщении кривая, соединяющая точку $p_{3}^{\prime}$ с $p_{1}^{\prime}$. пересекает кривую складки в некоторой точке $p_{2}^{\prime}$, расположенной вблизи $p_{2}$. Таким образом, вырожденные критические точки могут быть устойчиво встречаемы в семействах функции, даже если они были струкгурно неустойчивы, когда встречались в изолированных функциях.
выми или структурно устойчивыми. Функция $f(x)=x^{3}$ не является глобально устойчивой, так как она не устойчива в точке $x=0$. Функции $F\left(x ; a_{1}\right)=x^{3}+a_{1} x$ – это морсовские функции, если $a_{1}
eq 0$; поэтому эти функции глобально устойчивы.
Пример 3. Если рассмотреть семейство функций $A_{3}$, то члены этого семейства, параметризуемые точками открытых областей I или III (рис. 21.1), являются морсовскими функциями. Еозмущение $\varepsilon f=(\delta a / 2) x^{2}+(\delta b) x$ такой функции дает «близкую функцию» сь свойствами, качественно тождественными свойствам исходной функции. Единственными неустойчивыми функциями в этом семействе являются функции, параметризуемые полукубической параболой (область II) или началом координат, так как возмущение $(\delta a, \delta b)$ перемещает эти точки либо в область I, либо в область III.
$\diamond \diamond \diamond$ Иногда выдвигаются иные условия, которым должна удовлетворять функция, чтобы быть глобально устойчивой. Одно из них состоит в том, что функция должна иметь различные значения в разных критических точках. Относительно такого условия семейство $A_{3}$ уже не было бы устойчивым на луче $a<0$, $b=0$ (штриховой луч на рис. 21.1), так как два минимума в точках $x= \pm \sqrt{-a}$ имеют одинаковые значения (в силу симметрии). Это и есть то существенное различие, которое имеется между локальным бифуркационным множеством и нелокальным бифуркационным множеством (множество Максвелла).
До сих пор мы обсуждали устойчивость функции и устойчивость отдельных функций в семействах функций, но при этом не затрагивали вопроса об устойчивости самого семейства функций.
Предположим, что мы имеет 1-параметрическое семейство функций, обладающих следующим свойством: некоторые члены этого семейства имеют два локальных минимума и локальный максимум, в то время как другие члены этого семейства имеют лишь один минимум. Для того чтобы сделать рассмотрение более конкретным, предположим, что семейство имеет вид
\[
V(x ; s)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a(s) x^{2}+b(s) x, \quad s \in \mathbb{R}^{1},
\]
и что функция $V\left(x ; s_{3}\right)$ соответствует точке $p_{3}$ (рис. 21.1), а функция $V\left(x ; s_{1}\right)$ 一 точке $p_{1}$. Любое гладкое 1 -параметрическое семейство, содержащее обе функции $V\left(x ; s_{3}\right)$ и $V\left(x ; s_{1}\right)$, должно содержать также все функции $V(x ; s)$ некоторой кривой ( $a(s)$, $b(s)$ ), связывающей точки $p_{3}$ и $p_{1}$. Это означает, что функция $V\left(x ; s_{2}\right)$, имеющая дважды вырожденную критическую точку, обязательно должна входить в это семейство.
Теперь предположим, что семейство функций (21.10) подвергается действию возмущения $\varepsilon f=\frac{1}{2} \delta a(s) x^{2}+\delta b(s) x$. Тогда возмущенное семейство функций будет соответствовать кривой, связывающей точку $p_{3}^{\prime}$ с точкой $p_{1}^{\prime}$. Ясно, что и в этом случае кривая должна пересекать полукубическую параболу, которая играет роль сепаратрисы между открытыми областями I и III. Следовательно, возмущенное семейство функций также содержит функцию $V^{\prime}\left(x ; s_{2}^{\prime}\right)$, имеющую дважды вырожденную критическую точку. В действительности любая кривая, связывающая точку вблизи $p_{3}$ с точкой вблизи $p_{1}$, должна пересекать сепаратрису. Таким образом, несмотря на то что функции с вырожденными критическими точками не являются устойчивыми, они могут устойчиво встречаться в семействах функций.
Концепция устойчивости может быть применена к функциям $\left(\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{1}\right)$, семействам функций $\left(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{1}\right)$, отображениям $\left(\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}\right)$ и семействам отображений $\left(\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{m}\right)$. В последнем случае понятие устойчивости работает следующим образом:
1. Два семейства $f_{1}(x ; a), \ldots, f_{m}(x ; a)$ и $g_{1}(x ; a), \ldots, g_{m}(x ; a)$ эквивалентны, если существует гладкая замена координат:
\[
\begin{array}{ll}
x_{i}^{\prime}=x_{i}^{\prime}\left(x_{1}, \ldots, x_{n} ; a_{1}, \ldots, a_{k}\right), & 1 \leqslant i \leqslant n, \\
a_{j}^{\prime}=a_{j}^{\prime}\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right), & 1 \leqslant j \leqslant k, \\
y_{l}^{\prime}=y_{l}^{\prime}\left(y_{1}, \ldots, y_{m}\right), & 1 \leqslant l \leqslant m,
\end{array}
\]
такая, что
\[
\begin{array}{r}
y_{l}^{\prime}\left[f_{1}(x ; a), \ldots, f_{m}(x ; a)\right]=g_{l}\left[x_{1}^{\prime}(x ; a), \ldots, x_{n}^{\prime}(x ; a) ;\right. \\
\left.a_{1}^{\prime}(a), \ldots, a_{k}^{\prime}(a)\right] .
\end{array}
\]
В обозначениях современной математики выражение (21.12) является утверждением о «коммутативности» следующей диаграммы:
2. Семейство отображений $f_{1}(x ; a), \ldots, f_{m}(x ; a)$ устойчиво, если любое его возмущение $g_{1}(x ; a), \ldots, g_{m}(x ; a)$ ему эквивалентно.
$\diamond \diamond \diamond$ Для элементарных катастроф, перечисленных в табл. 2.2, пространство $\mathbb{R}^{k}$ управляющих параметров разбивается сепаратрисой (ее вид обсуждался в гл. 5) на открытые области. Любая функция, параметризуемая точкой одной из этих открытых областей, является морсовской функцией и поэтому структурно устойчива. Функция же, параметризуемая точками сепаратрисы, является структурно неустойчивой.
$\diamond \diamond \diamond$ Семейства функций (включая их неморсовские функции), перечисленные в табл. 2.2, только тогда встречаются структурно устойчивым образом в типическом $k$-параметрическом семействе потенциальных функций, когда они приводятся вблизи вырожденной критической точки к канонической форме (2.4). $\diamond \diamond \diamond$ Концепция структурной устойчивости впервые была изучена А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным [1] в контексте теории динамических систем. Динамическая система называется структурно устойчивой, если малые возмущения динамической системы качественно не изменяют решений уравнений движения. Частным случаем сбщей динамической системы является градиентная система, которая может быть описана отдельной функцией (ее потенциалом). Следовательно, понятие структурной устойчивости может быть применено к градиентным системам, и в частности к функциям, характеризующим такие системы.
