7.1. Модели МГЛ и дикке

Гамильтониан МГЛ $h_{Q}$ и потенциал, полученный из него по указанному алгоритму, имеют вид
\[
\begin{array}{l}
h_{Q}=\varepsilon \frac{J_{3}}{N}+\frac{1}{2} V\left[\left(\frac{J_{+}}{N}\right)^{2}+\left(\frac{J_{-}}{N}\right)^{2}\right]+\frac{1}{2} W \frac{\left[J_{+} J_{-}+J_{-} J_{+}\right]}{N^{2}}, \quad \text { (15.76a) } \\
\Phi_{M O L}=-\varepsilon r \cos \theta+\frac{1}{2} V(r \sin \theta)^{2}\left(e^{2 l_{\phi}}+e^{-2 i \phi}\right)+W(r \sin \theta)^{2}-k T_{\diamond}(r),
\end{array}
\]

где s $(r)$ определяется выражением (15.75). Прежде чем обсуждать термодинамические свойства этой модели, построим потенциал для модели Дикке:
\[
\begin{array}{l}
h_{Q}=\hbar \omega \frac{a^{\dagger} a}{N}+\varepsilon \frac{J_{3}}{N}+\lambda\left(\frac{a^{\dagger}}{\sqrt{N}}\right)\left(\frac{J_{-}}{N}\right)+\lambda^{*}\left(\frac{a}{\sqrt{N}}\right)\left(\frac{J_{+}}{N}\right),(15.77 \mathrm{a}) \\
\Phi_{D}=\hbar \omega \mu^{*} \mu-\varepsilon r \cos \theta+\lambda \mu^{*} r \sin \theta e^{-i \phi}+\lambda^{*} \mu r \sin \theta e^{+i_{\phi}}-k T_{\delta}(r) .
\end{array}
\]

Этот потенциал можно исследовать, исключив из него $\mu, \mu^{*}$ с помощью соотношения $\partial \Phi_{D} / \partial \mu^{*}=0$. Поскольку энтропия не зависит от параметров порядка поля, дальнейшая процедура ана-

Рис. 15.3. Зависимость логарифма кратности $\&(r)$ группы $S U(2)$ и его производной $\delta^{\prime}(r)$ от $r=J / N$.
$s(r)=-\{(1 / 2+r) \ln (1 / 2+r)+(1 / 2-r) \ln (1 / 2-r)\}, \frac{d s_{(r)}}{d r}=\ln \frac{1-2 r}{1+2 r}$.

логична указанной в разд. 6, и редуцированный термодинамический потенциал для модели Диғке принимает вид
\[
\Phi_{D}^{\prime}=-\varepsilon r \cos \theta-\frac{\lambda^{*} \lambda}{\hbar \omega}(r \sin \theta)^{2}-k T_{\delta}(r) .
\]

Критические свойства модели Дикке изоморфны критическим свойствам модели МГЛ как в термодинамическом [ср. (15.78) с (15.76б)] случае, так и в случае основного энергетического согтояния. Причины остаются теми же.

Прежде чем перейти к подробному анализу функции $\Phi_{M G L}$, рассмотрим свойства энтропийного члена — $k T_{\delta}(r)$. Свойства $\delta(r)$ иллюстрируются на рис. 15.3. Заметим, что хотя функция $\delta(r)$ ограничена на $\left[0, \frac{1}{2}\right]$, ее производная $\delta^{\prime}(r)$ этим свойством не обладает. Отметим, кроме того, что функция $h_{c}$ конечна для всех значений $(r, \theta, \phi), 0 \leqslant r \leqslant \frac{1}{2}$. В пределе при $T \rightarrow 0$ наиболее важный вклад в потенциал Ф вносит энергетический член:
\[
\Phi \xrightarrow{T \rightarrow 0} h_{C}=\left\langle h_{Q}\right\rangle_{T=0} .
\]

При $T \rightarrow \infty$ наиболее важную роль начинает играть энтропийный член:
\[
\Phi \xrightarrow{T \rightarrow \infty} k T \ln 2+\text { Небольшая поправка. }
\]

Теперь можно перейти к обсуждению термодинамических критических свойств модели МГЛ. Не теряя общности, положим $W=0$. Минимизация по $\phi$ приводит к редуцированному потенциалу
\[
\Phi^{\prime}(\beta)=-\varepsilon r \cos \theta-|V|(r \sin \theta)^{2}-k T s(r) .
\]

При $T \rightarrow 0$ остается только энергетический член, и его экстремальное значение находится выбором наибольшего возможного $r: r=J / N=1 / 2$. При таком выборе $h_{C}^{\prime}$ своди іся к (15.38′). Минимум $\Phi^{\prime}$ достигается при $\theta=0$, если $\varepsilon>1 v \mid$, и при $\cos \theta=$ $=+\varepsilon /|V|$, если $\varepsilon<|V|$.

При $T \rightarrow \infty$ энтропийный член домиьюрует над энергетическим. Значение $r$, минимизирующее $\Phi^{\prime}$, определяется из уравнения
\[
\frac{\partial \Phi^{\prime}}{\partial r}=-\varepsilon \cos \theta-2 r|V| \sin ^{2} \theta-k T \ln \frac{1-2 r}{1+2 r}=0 .
\]

Член $\partial h_{c} / \partial r$ ограничен, поэтому член $-k T \ln [(1-2 r) /(1+2 r)]$ должен быть конечным. Последнее означает, что $r \rightarrow 0$ при $T \rightarrow \infty$. При таком предельном переходе мы можем пренебречь членом $-2 r|V| \sin ^{2} \theta$ по сравнению с членом $\varepsilon \cos \theta$. Если пренебречь членами, описывающими взаимодействия в $\Phi^{\prime}$, то минимум по $\theta$ достигается при $\theta=0$. При этом условии $r$ oпределяется приближенно как
\[
r(\beta) \simeq \frac{1}{2} \text { th } \frac{1}{2} \beta \varepsilon .
\]

С ростом температуры члены, описывающие взаимодействия, становятся не существенными по сравнению с диагональным членом $\varepsilon J^{3}$, поскольку оні зависят от $r^{2}$, а диагональный член — от $r^{1}$. При $T \rightarrow \infty$ можно пренебречь членами, описывающими взаимодействия, при вычислении параметров $(\theta, \phi)$, минимизирующих Ф. Термодинамическое поведение при высоких температурах такое же, как при слабых взаимодействиях на основном энергетическом уровне. Повышение температуры приводит к тому, что константы связи стремятся к нулю.

Будем исследовать термодинамический фазовый переход, разлагая $\Phi^{\prime}$ в окрестности нуля и рассматривая коэффициент при квадратичном члене как функцию возрастающего $r$ или убывающей температуры:
\[
\begin{array}{l}
\Phi^{\prime}=\left(-\varepsilon r-k T_{s}(r)\right)+\left(\frac{1}{2} \varepsilon r-|V| r^{2}\right) \theta^{2}+ \\
+\left(-\frac{\varepsilon r}{4 !}+\frac{1}{3}|V| r^{2}\right) \theta^{4}+\ldots
\end{array}
\]

Первый член достигает минимуиа при
\[
2 r=\text { th } \frac{1}{2} \beta \varepsilon
\]

в силу (15.83). Коэффициент при квадратичном члене обращается в нуль при
\[
2 r=\frac{\varepsilon}{|V|} \text {. }
\]

Если квадратичный член исчезает, коэффициент при члене четвертой степени положителен; поэтому $\Phi^{\prime}$ имеет вырожденную критическую точку типа $A_{+3}$, если $\varepsilon /|V|<1$ и
\[
r_{c}=\frac{1}{2} \frac{e}{|\hat{V}|}, \quad \theta=0 .
\]

Термодинамический фазовый переход второго рода происеходит при критической температуре, определяемой из уравнения
\[
\frac{\varepsilon}{|V|}=\text { th } \frac{1}{2} \beta_{c} \varepsilon .
\]
7.2. Расширенные модели МГЛ и Дикке

Критические свойства термодинамических величин, входящих в расширенные модели МГЛ, эквивалентны аналогичным параметрам модели Дикке. Эта эквивалентность может быть установлена с помощью тех же рассуждений, что использовались при доказательстве эквивалентности критических параметров (показателей) основного энергетического состояния систем, описываемых моделями Дикке и двух- и $r$-уровневыми моделями МГЛ.

Раньше мы пользовались этой аналогией при изучении более простых моделей МГЛ, чем модели Дикке. В данном же случае удобной оказывается обратная процедура, поскольку классические предельные значения операторов $E_{i j} / N(1 \leqslant i, j \leqslant r, r>2)$ при конечной температуре имеют довольно сложный вид. Поэтому целесообразно перейти к полуклассическому пределу (15.35), заменив все фотонные операторы их средними. Тогда полуклассический гамильтониан примет вид
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{H}=\sum_{1 \leqslant i<j}^{r} \hbar \omega_{j i} a_{j i}^{+} a_{j i}+\sum_{1 \leqslant i<j}^{r} \sum_{\alpha=1}^{N} \varepsilon_{i} e_{i i}^{(\alpha)}+ \\
+\sum_{1 \leqslant i<j}^{r} \sum_{\alpha=1}^{N} \lambda_{j i} \frac{a_{j i}^{+}}{\sqrt{N}} e_{i j}^{(\alpha)}+\lambda_{j i}^{*} \frac{a_{j i}}{\sqrt{N}} e_{j i}^{(\alpha)}, \\
\mathscr{H}_{S C}=N \sum_{1 \leqslant i<j}^{r} \hbar \omega_{j i} \mu_{j i}^{*} \mu_{j i}+\sum_{\alpha=1}^{N} M^{(\alpha)}, \\
M^{(\alpha)}=\sum_{i=1}^{r} \varepsilon_{i} e_{i i}^{(\alpha)}+\sum_{i \leqslant i<j}^{r} \lambda_{j i} \mu_{j i}^{*} e_{i j}^{(\alpha)}+\lambda_{j i}^{*} \mu_{j i} e_{j i}^{(\alpha)} .
\end{array}
\]

Қаждый оператор $M^{(\alpha)}$ является $(r \times r)$-матрицей, описывающей взаимодействие $\alpha$-го атома с классическим внешним полем. В предположении среднего поля каждый атом, находящийея в энергетическом состоянии $r$, испытывает воздействие того же самого внешнего поля, поэтому $M^{(\alpha)}=M$ для всех $\alpha$. Поскольку свободная энергия равна
\[
\begin{array}{l}
e^{-\beta F}=\operatorname{tr} e^{-\beta \mathscr{H}}=e^{-\beta N} \sum h \omega_{j i} \mu_{j i}^{*} \mu_{j i} \operatorname{tr} \exp \left[-\beta \sum_{\alpha=1}^{N} M\right], \\
\operatorname{tr} \exp \left[-\beta \sum_{\alpha=1}^{N} M\right]=\operatorname{tr} \prod_{\alpha=1}^{N} e^{-\beta M}=\prod_{\alpha=1}^{N} \operatorname{tr} e^{-\beta M}=\left(\operatorname{tr} e^{-\beta M}\right)^{N}
\end{array}
\]

Свободная энергия одного нуклона составляет
\[
\begin{array}{c}
\frac{F}{N}=\min \Phi, \\
\Phi=\sum_{1 \leqslant i<j}^{r} \hbar \omega_{j i} \mu_{j i}^{*} \mu_{j i}-k T \ln \operatorname{tr}\left(e^{-\beta M}\right) .
\end{array}
\]

Изучение критических свойств функции Ф не вызывает особых трудностей при условии, что из всех констант связи $\lambda_{i i}$ лишь одна отлична от нуля.

Отличны от нуля только два недиагональных элемента матрицы $M$. Это позволяет легко вычислить ее собственные значения $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \hat{\varepsilon}_{i}, \ldots, \hat{\varepsilon}_{j}, \ldots, \varepsilon_{i}$ и
\[
\varepsilon_{ \pm}=\left(\frac{\varepsilon_{j}+\varepsilon_{i}}{2}\right) \pm\left[\left(\frac{\varepsilon_{i}-\varepsilon_{i}}{2}\right)^{2}+\left|\lambda_{j i}^{*} \mu_{j i}\right|^{2}\right]^{1 / 2} .
\]

Қак и в случае фазовых переходов, критические значения термодинамических величин зависят от следующих условий: (1) находятся ли оба взаимодействующих атома в возбужденном состоянии или (2) один из них находится в возбужденном состоянии, а другой — в основном.
1. $\lambda_{j 1}
eq 0$. В этом случае результатом взаимодействия будет уменьшение энергии основного состояния. Это означает, что следует ожидать фазового перехода второго рода. Последний можно определить, разложив потенциальную функцию Ф по степеням $\left|\mu_{i 1}\right|^{2}$. В результате получаем
\[
\begin{array}{l}
\Phi=\hbar \omega_{j 1}\left|\mu_{j 1}\right|^{2}-k T \ln \left[z(\beta)+\left(e^{-\beta \varepsilon_{1}}-e^{-\beta \varepsilon_{j}}\right) \frac{\left|\lambda_{j 1}^{*} \mu_{j 1}\right|^{2}}{k T\left(\varepsilon_{j}-\varepsilon_{1}\right)}\right]= \\
=-k T \ln z(\beta)+\left\{\hbar \omega_{j 1}+\frac{e^{-\beta \varepsilon_{j}}-e^{-\beta \varepsilon_{1}}}{z(\beta)} \frac{\left|\lambda_{j 1}\right|^{2}}{\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}}\right\}\left|\mu_{j 1}\right|^{2}+O(4) \\
\text { где } \quad z(\beta)=\sum_{i=1}^{r} e^{-\beta \varepsilon_{i}} .
\end{array}
\]

где

Критическая температура, при которой исчезает коэффициент при квадратичном члене, определяется равенством
\[
\frac{\hbar \omega_{j 1}\left(\varepsilon_{j}-\varepsilon_{1}\right)}{\left|\lambda_{j 1}\right|^{2}}=-\frac{e^{-\beta \varepsilon_{j}}-e^{-\beta \varepsilon_{1}}}{z(\beta)} .
\]

При такой критической температуре коэффициент при члене в четвертой степени положителен. Следовательно, при критической температуре $T_{c}$ многоуровневая система претерпевает термодинамический фазовый перєход второго рода [катастрофа типа $\left.\left(A_{+3}\right)\right]$, если $\left(\varepsilon_{j}-\varepsilon_{1}\right) \hbar \omega_{i 1} /\left|\lambda_{j 1}\right|^{2}<1$. Заметим, что это условие совпадает с условием фазового перехода первого рода с изменением энергии основного состояния.
2. $\lambda_{j i}
eq 0, j>i>1$. В этом случае имеем
\[
\begin{array}{l}
\Phi(\beta)=\hbar \omega_{i i}\left|\mu_{j i}\right|^{2}-k T \ln \left[\sum^{\prime} e^{-\beta \varepsilon_{k}}+e^{-\beta\left(\varepsilon_{j}+\varepsilon_{i}\right) / 2}\left(e^{\beta \theta}+e^{-\beta \theta}\right)\right], \\
\theta^{2}=\left(\frac{\varepsilon_{i}-\varepsilon_{i}}{2}\right)^{2}+\left|\lambda_{j i}^{*} \mu_{j i}\right|^{2} .
\end{array}
\]
(Штрих у знака суммирования означает, что сумма не содержит членов, относящихся к $i$-му и $j$-му уровням; кроме того, следует иметь в виду, что $\lambda_{i j}$ — действительное, а $\mu_{i i}$ — неотрицательное числа.)

Критическое поведение функции Ф( $\beta$ ) можно исследовать, перейдя к пределу при $T \rightarrow 0$ и рассматривая бифуркации упорядоченных решений в окрестности критической точки, которая существует при $\mu_{j i}=0$ для всех температур (в силу симметрии относительно замены $\mu_{f i} \rightarrow-\mu_{j !}$ ). Эти частные случаи показывают, что параметр порядка имеет четыре конкретных значения, характеризующих критические значения термодинамических величин, входящих в рассматриваемые модели [14].

При $T \rightarrow 0$ в член из (15.91), содержащий логарифм, входит только минимальное (наименьшее) собственное значение матрицы $M$ (15.92), которое равно либо $\varepsilon_{1}$, либо $1 / 2\left(\varepsilon_{j}+\varepsilon_{i}\right)-\theta$ в зависимости от значения $\mu_{j_{1}}$. Јегко убедиться, что $\Phi(\beta)$ имеет две стационарные точки с $\mu_{j i}>0$, когда $\Lambda^{2}>\Lambda_{1}^{2}=1+2\left(\Delta_{i l} / \Delta_{j i}\right)$, где $\Lambda_{j i}^{2}=\lambda_{j i}^{2} /\left(\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}\right) \hbar \omega_{j i} ; \quad \Delta_{j i}=\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}$. Меньшее из ненулевых решений уравнения $\partial \Phi / \partial \mu_{j i}=0$ всегда неустойчиво; большее метастабильно относительно локального равновесия при $\mu_{i i}=0$ для $\Lambda^{2}<\Lambda_{2}^{2}$ и глобально устойчиво для $\Lambda^{2}>\Lambda_{2}^{2}$ [где $\left.\Lambda_{2}-\Lambda_{2}^{-1}=2\left(\Delta_{i 1} / \Delta_{j i}\right)^{1 / 2}\right]$.
Ветвления в критической точке $\mu_{f i}=0$ определяются из разложения $\Phi\left(\beta, \mu_{j i}\right)$ в ряд Тейлора по степеням $\left|\mu_{j i}\right|^{2}$ :
\[
\begin{array}{c}
\Phi\left(\beta, \mu_{j i}\right)=-\beta^{-1} \ln z(\beta)+C_{2}(\beta)\left|\mu_{j i}\right|^{2}+C_{4}(\beta)\left|\mu_{j i}\right|^{4}+\ldots, \\
z(\beta)=\sum_{i=1}^{r} e^{-\beta \varepsilon_{i}} \\
C_{2}(\beta)=\hbar \omega_{i i}-\frac{\lambda_{j i}^{2}}{\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}} \frac{e^{-\beta \varepsilon_{i}}-e^{-\beta \varepsilon_{j}}}{z(\beta)} .
\end{array}
\]

Ненулевые решения в результате бифуркации ответвляются от $\mu_{i i}=0$ при $C_{2}(\beta)=0$. Наименьшее значение $\lambda_{j i}$, при котором может произойти такая бифуркация, определяется из условия
\[
\max _{T \in[0, \infty)} \Lambda_{3}^{2} \frac{e^{-\beta \varepsilon_{i}}-e^{-\beta \varepsilon_{j}}}{z(\beta)}=1 .
\]

Функция $\left(e^{-\beta \varepsilon_{j}}-e^{-\beta \varepsilon j}\right) / z(\beta)$ асимптотически стремится к нулю при $T \rightarrow 0$ или $T \rightarrow \infty$ и имеет в этой области единственный максимум. При $\Lambda>\Lambda_{3}^{2}$ существуют два ненулевых решения, ответвляющихся от ветви $\mu_{i i}=0$. Решение, ответвляющееся при более низкой температуре, всегда неустойчиво. Устойчивость решения, ответвляющегося при более высокой температуре, зависит от знака $C_{4}(\beta)$, который отрицателен при $\Lambda^{2}=\Lambda_{3}^{2}$ и становится положительным при возрастании $T$ (когда $\Lambda^{2}$ возрастает).

Критические значения термодинамических величин, входящих в расширенные модели МГЛ и Дикке с одним ненулевым взаимодействием между двумя возбужденными атомами, определяются величиной константы связи $\lambda_{j i}$ или безразмерной константы $\Lambda_{j i}=\lambda_{j i} /\left(\varepsilon_{i}-\varepsilon_{i}\right)$. Константа связи имеет четыре критических значения:
\[
\begin{array}{l}
\left(\Lambda_{j i}\right)_{1}^{2}=\frac{1+\gamma_{j i}}{1-\gamma_{j i}}, \quad \gamma_{j i}=\frac{\varepsilon_{i}-\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{j}-\varepsilon_{1}}<1, \\
\left(\Lambda_{j i}\right)_{2}^{2}=\frac{1+\left(\gamma_{j i}\right)^{1 / 2}}{1-\left(\gamma_{j i}\right)^{1 / 2}}, \\
\left(\Lambda_{j i}\right)_{3}^{2}=\min _{\beta>0} \frac{z(\beta)}{e^{-\beta \varepsilon_{i}}-e^{-\beta e_{j}}} .
\end{array}
\]

Значение $\left(\Lambda_{i i}\right)_{4}^{2}$ определяется из равенств $C_{2}(\beta)=0$ и $C_{4}(\beta)=0$ :
\[
\begin{array}{c}
C_{2}(\beta) \simeq 1-\left(\Lambda_{j i}\right)_{4}^{2} \frac{e^{-\beta \varepsilon_{i}}-e^{-\beta \varepsilon_{j}}}{z(\beta)}, \\
C_{4}(\beta) \simeq \frac{e^{-\beta \varepsilon_{i}}-e^{-\beta \varepsilon_{j}}}{z(\beta)}+\frac{\beta\left(\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}\right)}{2}\left(\frac{e^{-\beta \varepsilon_{i}}-e^{-\beta \varepsilon_{j}}}{z(\beta)}\right)^{2}- \\
-\beta\left(\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}\right) \frac{e^{-\beta \varepsilon_{i}}-e^{-\beta \varepsilon_{j}}}{z(\beta)} .
\end{array}
\]

Из этих двух условий одновременно однозначно определяются критическая температура $\beta_{t}$ и константа $\left(\Lambda_{j i}\right)_{4}^{2}$.

Критические значения термсдинамических величин для данной модели в зависимости от $\Lambda_{j i}$ иллюстрируются на рис. 15.4. При $\mu_{j i}>0$ функция $\Phi\left(\beta, \mu_{j i}\right)$ имеет не более двух критических точек. Ветвь $\mu_{j i}^{>}(\beta)$ описывает локально устойчивые критические точки функции, а $\mu_{j i}(\beta)$ — локально неустойчивые. Эти точки могут соединяться (кривые $A, B, C, D$ и одна из двух кривых $E$ ) или быть изолированными. Тип устойчивости точек, лежащих на сплошных участках ветвей $\mu_{i i}(\beta)$, меняется в точках с вертикальной касательной. Рассмотрим более подробно критическое поведение функции $\Phi$ в зависимости от $\Lambda_{j i}$ :
1. $\Lambda<\Lambda_{1} \cdot \mu_{j i}=0$ при любой температуре.

Рис. 15.4. Значения параметров порядка $\mu_{j i}(\beta)$, при котөрых потенциальная фунццйя $\Phi(\mu ; \beta)$ имеет стационарное значение, для семи значений безразмер. ной мйс́итабированной константы связи $\Lambda$.

2. $\Lambda_{1}<\Lambda<\Lambda_{2}$ (кривая $A, \Lambda=\Lambda_{A}$ ). При достаточно низкой температуре существует метастабильное упорядоченное состояние; никаких термодинамических фазовых переходов не происходит.
3. $\Lambda_{2}<\Lambda<\Lambda_{3}$ (кривые $B, C, D, \Lambda_{B}<\Lambda_{C}<\Lambda_{D}$ ). При $T=0$ наблюдается устойчивое упорядоченное состояние, которое в случае $\Lambda=\Lambda_{B}$ остается устойчивым вплоть до температуры $T=T_{B}$. Выше этой температуры состояние становится метастабильным $\left(\mu_{i}=0\right)$, причем если принят принцип Максвелла, то происходит фазовый переход первого рода, если же принят принцип максимального промедления, то-фазовый переход нулевого рода в складке на кривой $B$. Выше температуры $T_{B}$ имеется только одна критическая точка — минимум при $\mu_{i i}=0$. При охлаждении от очень высоких температур при $T=T_{B}$ имеет место фазовый переход первого рода, если принят принцип Максвелла, и никаких фазовых переходов не происходит, если принят принцип максимального промедления. Если при очень низких температурах на систему оказать резкое воздействие, то произойдет фазовый переход нулевого рода из метастабильного в устойчивое состояние. Дальнейшее увеличение константы связи $\left(\Lambda \rightarrow \Lambda_{C}, \Lambda_{D}\right.$ ) качественно не влияет на критические значения термодинамических параметров системы. Значения $T_{C}, T_{D}$, при которых происходят фазовые переходы первого рода, возрастают, как и температура, при которой возможен спинодальный распад. С дальнейшим увеличением $\Lambda$ расстояние между последней и температурой фазового перехода первого рода убывает.
4. $\Lambda_{3}<\Lambda<\Lambda_{4}$ (кривая $E, \Lambda=\Lambda_{E}$ ). От ветви $\mu_{j i}=0$ отходят две ветви. Низкотемпературная ветвь, бифуркация которой происходит в точке $E_{2}$, описывает локальные максимумы и не представляет интереса. Бифуркация высокотемпературной ветви (в точке $E_{1}$ ) относится к катастрофе $A_{-3}$. Эта ветвь вначале направлена в сторону высоких температур, затем она поворачивается и приходит в нуль. Между точками с вертикальной касательной эта ветвь неустойчива. Эти две точки определяют высоко- и низкотемпературные границы фазового перехода первого рода, происходящего в точке $T_{E}$. Неупорядоченное состояние становится неустойчивьм ниже точки бифуркации $E_{1}$ и остается таковым (с понижением $T$ ) до тех пор, пока не будет достигнута точка бифуркации $E_{2}$. Ниже этой температуры неупорядоченная ветвь метастабильна.
5. $\Lambda=\Lambda_{4}$ (кривая $\left.F, \Lambda=\Lambda_{F}=\Lambda_{j i}\right)_{4}$ ). Точка $\mu_{j i}=0, T=$ $=T_{F}=T_{t}, \Lambda_{l i}=\left(\Lambda_{j i}\right)_{4}$ является трикритической. Это легко вытекает из следующих рассуждений. Функция Ф четная, и для одновремннного обращения в нуль двух главных коэфффициенто́в $C_{2}(\beta)$ и $C_{4}(\beta)$ достаточно выбрать специальными лишь два управляющих параметра $\beta, \Lambda_{j i}$. В этой точке росток функции $\Phi(\beta)$ суть $\pm\left|\mu_{i i}\right|^{6}$. Из глобальной устойчивости следует, что коэффициент при этом члене должен быть положительным. При фиксированном $\Lambda=\left(\Lambda_{j i}\right)_{4}$ при переходе $T$ через $T_{F}$ имеет место фазовый переход второго рода.
6. $\Lambda_{4}=\Lambda$ (кривая $G, \Lambda=\Lambda_{G}$ ). Ветвь, ответвляющаяся в $G_{1}$, глобально устойчива. Неупорядоченная ветвь метастабильна при $0 \leqslant T \leqslant G_{2}$, неустойчива при $G_{2} \leqslant T \leqslant G_{1}$ и устойчива при $G_{1}=T_{G} \leqslant T<\infty$. При переходе $T$ через $T_{o}$ в любом направлении происходит термодинамический фазовый переход второго рода.
$\diamond \diamond \diamond$ Фазовый переход первого рода с изменением энергии основного состояния происходит ( $T=0$ ) при $\Lambda=\Lambda_{2}$.
$\diamond \diamond \diamond$ Теперь легко можно определить влияние возмущений классического гамильтониана (15.89), обусловленное классическим внешним полем, взаимодействующим с атомарной подсистемой, или классическим током, взаимодействующим с квантовомеханическим полем. Возмущения, нарушающие симметрию, исказят бифуркационную картину, однако существенно не изменят число и типы критических точек, возникающих при любой комбинации параметров управления $\left(\Lambda_{j i}, T\right)$. Исследование этих возмущений не вызывает принципиальных трудностей, поскольку универсальные возмущения катастроф $A_{2}, A_{ \pm 3}, A_{5}$, возникающих в этой модели, хорошо известны.

Описанное выше достаточғо сложное поведение системы наблюдается только тогда, когда всего одна из констант связи $\lambda_{j i}$ не равна нулю. Рассмотрим ситуацию, когда несколько констант связи отличны от нуля.

В этом случае мы вынуждены ограничиться общим описанием возможных явлений. Предположим, что все $r(r-1) / 2$ постоянных связи $\lambda_{j i}$ действительны. Тогда каждая точка ( $\lambda_{21}, \lambda_{31}, \ldots$ $\left.\ldots, \lambda_{r, r-1}\right) \in R^{r(r-1) / 2} \quad$ представляет $r$-уровневую модель МГЛ или Дикке. При достаточно высокой температуре $T$ такие модели дают устойчивое термодинамическое состояние, в котором все параметры порядка $\mu_{i i}=0$. Открытое множество точек из $R^{r(r-1) / 2}$ описывает модели, для которых характерно следующее качественное поведение. При понижении температуры от $\infty$ в точке $T_{1}$ происходит фазовый переход второго рода. При дальнейшем понижении температуры имеется единственный ненулевой параметр порядка вплоть до точки $T=T_{2}$, где происходит второй фазовый переход второго рода. Ниже точки $T_{2}$ имеются уже три ненулевых параметра порядка. Этот каскад переходов продолжается при понижении температуры $T$ до $T=T_{r-1}$, ниже
Рис. 15.5. Зависимость критических значений термодинамических величин, входящих в трехуровневую модель Дикке с резонансным взаимодействием $\hbar \omega_{i i}=\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}$, от безразмерной константы связи $\Lambda_{j i}=\Lambda_{i i} /\left(\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}\right)$.
Здесь $\gamma_{32}=\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}\right) /\left(\varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}\right)=0,2$ и $\mu_{21}=\left\langle E_{21} / N\right\rangle, \quad \mu_{32}=\left\langle E_{32} / N\right\rangle, \mu_{31}-\left\langle E_{31} / N\right\rangle$. Ис. $(2 ; 1,8 ; 0,7) ; 2-(2 ; 1,8 ; 0,8)$.

которой все параметры $\mu_{f i}$ порядка $r(r-1) / 2$ отличны от нуля. Последовательность переходов выглядит следующим образом:

Открытое множество, мера которого в $\operatorname{R}^{r(r-1) / 2}$ несущественна, содержит сепаратрисы, на которых две или более критические температуры становятся равными (например, $T_{2}=T_{3}$ ). При пересечении этих сепаратрис изменяется порядок бифуркации. Кроме того, в $\operatorname{Rr} r-2) / 2$ имеются открытые области, описывающие модели, в которых происходит менее $r-1$ фазовых переходов второго рода. Качественный характер соединения таких открытых областей между собой очевиден. Любой из этих фазовых переходов второго рода можно заменить фазовым переходом первого рода; между фазовыми переходами второго рода могут происходить фазовые переходы первого рода.

Простейшими из расширенных моделей МГЛ и Дикке, проявляющими такое многообразие в поведении, являются трехуровневые модели. Критические значения термодинамических величин, входящих в эти модели, изучались [15] в предположении резонансного взаимодействия $\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}=\hbar \omega_{j i}$. Параметры порядка $\mu_{j i}(\beta)$, минимизирующие функцию $\Phi(\beta)$ при разных значениях безразмерных постоянных связи $\Lambda_{j i}$, показаны на рис. 15.5.