7.1. Модели МГЛ и дикке

Гамильтониан МГЛ $h_Q$ и потенциал, полученный из него по указанному алгоритму, имеют вид
$$\begin{array}{l}{h}_Q=\epsilon \frac{J_3}{N}+\frac{1}{2}V[{\left(\frac{J_{+}}{N}\right)}^2+{\left(\frac{J_{-}}{N}\right)}^2]+\frac{1}{2}W\frac{[J_{+}{J}_{-}+J_{-}{J}_{+}]}{N^2},\text{ (15.76a) }\\ {\mathrm{\Phi }}_{MOL}=-\epsilon r\cos \theta +\frac{1}{2}V(r\sin \theta {)}^2(e^{2l_{\varphi }}+e^{-2i\varphi })+W(r\sin \theta {)}^2-k{T}_{\diamond }(r),\end{array}$$

где s $(r)$ определяется выражением (15.75). Прежде чем обсуждать термодинамические свойства этой модели, построим потенциал для модели Дикке:
$$\begin{array}{l}{h}_Q=\hslash \omega \frac{a^{†}a}{N}+\epsilon \frac{J_3}{N}+\lambda \left(\frac{a^{†}}{\sqrt{N}}\right)\left(\frac{J_{-}}{N}\right)+{\lambda }^{\ast }\left(\frac{a}{\sqrt{N}}\right)\left(\frac{J_{+}}{N}\right),(15.77\mathrm{a})\\ {\mathrm{\Phi }}_D=\hslash \omega {\mu }^{\ast }\mu -\epsilon r\cos \theta +\lambda {\mu }^{\ast }r\sin \theta e^{-i\varphi }+{\lambda }^{\ast }\mu r\sin \theta e^{+i_{\varphi }}-k{T}_{\delta }(r).\end{array}$$

Этот потенциал можно исследовать, исключив из него $\mu ,{\mu }^{\ast }$ с помощью соотношения $\partial {\mathrm{\Phi }}_D/\partial {\mu }^{\ast }=0$. Поскольку энтропия не зависит от параметров порядка поля, дальнейшая процедура ана-

Рис. 15.3. Зависимость логарифма кратности $\mathrm{\&}(r)$ группы $SU(2)$ и его производной ${\delta }^{\prime }(r)$ от $r=J/N$.
$s(r)=-\{(1/2+r)\ln (1/2+r)+(1/2-r)\ln (1/2-r)\},\frac{d{s}_{(r)}}{dr}=\ln \frac{1-2r}{1+2r}$.

логична указанной в разд. 6, и редуцированный термодинамический потенциал для модели Диғке принимает вид
$${\mathrm{\Phi }}_D^{\prime }=-\epsilon r\cos \theta -\frac{{\lambda }^{\ast }\lambda }{\hslash \omega }(r\sin \theta {)}^2-k{T}_{\delta }(r).$$

Критические свойства модели Дикке изоморфны критическим свойствам модели МГЛ как в термодинамическом [ср. (15.78) с (15.76б)] случае, так и в случае основного энергетического согтояния. Причины остаются теми же.

Прежде чем перейти к подробному анализу функции ${\mathrm{\Phi }}_{MGL}$, рассмотрим свойства энтропийного члена — $k{T}_{\delta }(r)$. Свойства $\delta (r)$ иллюстрируются на рис. 15.3. Заметим, что хотя функция $\delta (r)$ ограничена на $[0,\frac{1}{2}]$, ее производная ${\delta }^{\prime }(r)$ этим свойством не обладает. Отметим, кроме того, что функция $h_c$ конечна для всех значений $(r,\theta ,\varphi ),0⩽r⩽\frac{1}{2}$. В пределе при $T\to 0$ наиболее важный вклад в потенциал Ф вносит энергетический член:
$$\mathrm{\Phi }\stackrel{T\to 0}{\to }{h}_C={⟨h_Q⟩}_{T=0}.$$

При $T\to \mathrm{\infty }$ наиболее важную роль начинает играть энтропийный член:
$$\mathrm{\Phi }\stackrel{T\to \mathrm{\infty }}{\to }kT\ln 2+\text{ Небольшая поправка. }$$

Теперь можно перейти к обсуждению термодинамических критических свойств модели МГЛ. Не теряя общности, положим $W=0$. Минимизация по $\varphi$ приводит к редуцированному потенциалу
$${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(\beta )=-\epsilon r\cos \theta -|V|(r\sin \theta {)}^2-kTs(r).$$

При $T\to 0$ остается только энергетический член, и его экстремальное значение находится выбором наибольшего возможного $r:r=J/N=1/2$. При таком выборе $h_C^{\prime }$ своди іся к (15.38′). Минимум ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$ достигается при $\theta =0$, если $\epsilon >1v\mid$, и при $\cos \theta =$ $=+\epsilon /|V|$, если $\epsilon <|V|$.

При $T\to \mathrm{\infty }$ энтропийный член домиьюрует над энергетическим. Значение $r$, минимизирующее ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$, определяется из уравнения
$$\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{\prime }}{\partial r}=-\epsilon \cos \theta -2r|V|{\sin }^2\theta -kT\ln \frac{1-2r}{1+2r}=0.$$

Член $\partial h_c/\partial r$ ограничен, поэтому член $-kT\ln [(1-2r)/(1+2r)]$ должен быть конечным. Последнее означает, что $r\to 0$ при $T\to \mathrm{\infty }$. При таком предельном переходе мы можем пренебречь членом $-2r|V|{\sin }^2\theta$ по сравнению с членом $\epsilon \cos \theta$. Если пренебречь членами, описывающими взаимодействия в ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$, то минимум по $\theta$ достигается при $\theta =0$. При этом условии $r$ oпределяется приближенно как
$$r(\beta )\simeq \frac{1}{2}\text{ th }\frac{1}{2}\beta \epsilon .$$

С ростом температуры члены, описывающие взаимодействия, становятся не существенными по сравнению с диагональным членом $\epsilon J^3$, поскольку оні зависят от $r^2$, а диагональный член — от $r^1$. При $T\to \mathrm{\infty }$ можно пренебречь членами, описывающими взаимодействия, при вычислении параметров $(\theta ,\varphi )$, минимизирующих Ф. Термодинамическое поведение при высоких температурах такое же, как при слабых взаимодействиях на основном энергетическом уровне. Повышение температуры приводит к тому, что константы связи стремятся к нулю.

Будем исследовать термодинамический фазовый переход, разлагая ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$ в окрестности нуля и рассматривая коэффициент при квадратичном члене как функцию возрастающего $r$ или убывающей температуры:
$$\begin{array}{l}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }=(-\epsilon r-k{T}_s(r))+(\frac{1}{2}\epsilon r-|V|r^2){\theta }^2+\\ +(-\frac{\epsilon r}{4!}+\frac{1}{3}|V|r^2){\theta }^4+\dots \end{array}$$

Первый член достигает минимуиа при
$$2r=\text{ th }\frac{1}{2}\beta \epsilon$$

в силу (15.83). Коэффициент при квадратичном члене обращается в нуль при
$$2r=\frac{\epsilon }{|V|}\text{. }$$

Если квадратичный член исчезает, коэффициент при члене четвертой степени положителен; поэтому ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$ имеет вырожденную критическую точку типа $A_{+3}$, если $\epsilon /|V|<1$ и
$$r_c=\frac{1}{2}\frac{e}{|\hat{V}|},\theta =0.$$

Термодинамический фазовый переход второго рода происеходит при критической температуре, определяемой из уравнения
$$\frac{\epsilon }{|V|}=\text{ th }\frac{1}{2}{\beta }_c\epsilon .$$
7.2. Расширенные модели МГЛ и Дикке

Критические свойства термодинамических величин, входящих в расширенные модели МГЛ, эквивалентны аналогичным параметрам модели Дикке. Эта эквивалентность может быть установлена с помощью тех же рассуждений, что использовались при доказательстве эквивалентности критических параметров (показателей) основного энергетического состояния систем, описываемых моделями Дикке и двух- и $r$-уровневыми моделями МГЛ.

Раньше мы пользовались этой аналогией при изучении более простых моделей МГЛ, чем модели Дикке. В данном же случае удобной оказывается обратная процедура, поскольку классические предельные значения операторов $E_{ij}/N(1⩽i,j⩽r,r>2)$ при конечной температуре имеют довольно сложный вид. Поэтому целесообразно перейти к полуклассическому пределу (15.35), заменив все фотонные операторы их средними. Тогда полуклассический гамильтониан примет вид
$$\begin{array}{c}\mathcal{H}=\sum _{1⩽i<j}^r\hslash {\omega }_{ji}{a}_{ji}^{+}{a}_{ji}+\sum _{1⩽i<j}^r\sum _{\alpha =1}^N{\epsilon }_i{e}_{ii}^{(\alpha )}+\\ +\sum _{1⩽i<j}^r\sum _{\alpha =1}^N{\lambda }_{ji}\frac{a_{ji}^{+}}{\sqrt{N}}{e}_{ij}^{(\alpha )}+{\lambda }_{ji}^{\ast }\frac{a_{ji}}{\sqrt{N}}{e}_{ji}^{(\alpha )},\\ {\mathcal{H}}_{SC}=N\sum _{1⩽i<j}^r\hslash {\omega }_{ji}{\mu }_{ji}^{\ast }{\mu }_{ji}+\sum _{\alpha =1}^N{M}^{(\alpha )},\\ M^{(\alpha )}=\sum _{i=1}^r{\epsilon }_i{e}_{ii}^{(\alpha )}+\sum _{i⩽i<j}^r{\lambda }_{ji}{\mu }_{ji}^{\ast }{e}_{ij}^{(\alpha )}+{\lambda }_{ji}^{\ast }{\mu }_{ji}{e}_{ji}^{(\alpha )}.\end{array}$$

Қаждый оператор $M^{(\alpha )}$ является $(r\times r)$-матрицей, описывающей взаимодействие $\alpha$-го атома с классическим внешним полем. В предположении среднего поля каждый атом, находящийея в энергетическом состоянии $r$, испытывает воздействие того же самого внешнего поля, поэтому $M^{(\alpha )}=M$ для всех $\alpha$. Поскольку свободная энергия равна
$$\begin{array}{l}{e}^{-\beta F}=\mathrm{tr}{e}^{-\beta \mathcal{H}}=e^{-\beta N}\sum h{\omega }_{ji}{\mu }_{ji}^{\ast }{\mu }_{ji}\mathrm{tr}\exp [-\beta \sum _{\alpha =1}^{N}M],\\ \mathrm{tr}\exp [-\beta \sum _{\alpha =1}^{N}M]=\mathrm{tr}\prod _{\alpha =1}^N{e}^{-\beta M}=\prod _{\alpha =1}^N\mathrm{tr}{e}^{-\beta M}={\left(\mathrm{tr}{e}^{-\beta M}\right)}^N\end{array}$$

Свободная энергия одного нуклона составляет
$$\begin{array}{c}\frac{F}{N}=min\mathrm{\Phi },\\ \mathrm{\Phi }=\sum _{1⩽i<j}^r\hslash {\omega }_{ji}{\mu }_{ji}^{\ast }{\mu }_{ji}-kT\ln \mathrm{tr}\left(e^{-\beta M}\right).\end{array}$$

Изучение критических свойств функции Ф не вызывает особых трудностей при условии, что из всех констант связи ${\lambda }_{ii}$ лишь одна отлична от нуля.

Отличны от нуля только два недиагональных элемента матрицы $M$. Это позволяет легко вычислить ее собственные значения ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\hat{\epsilon }}_i,\dots ,{\hat{\epsilon }}_j,\dots ,{\epsilon }_i$ и
$${\epsilon }_{\pm }=\left(\frac{{\epsilon }_j+{\epsilon }_i}{2}\right)\pm {[{\left(\frac{{\epsilon }_i-{\epsilon }_i}{2}\right)}^2+{\left|{\lambda }_{ji}^{\ast }{\mu }_{ji}\right|}^2]}^{1/2}.$$

Қак и в случае фазовых переходов, критические значения термодинамических величин зависят от следующих условий: (1) находятся ли оба взаимодействующих атома в возбужденном состоянии или (2) один из них находится в возбужденном состоянии, а другой — в основном.
1. ${\lambda }_{j1}eq0$. В этом случае результатом взаимодействия будет уменьшение энергии основного состояния. Это означает, что следует ожидать фазового перехода второго рода. Последний можно определить, разложив потенциальную функцию Ф по степеням ${\left|{\mu }_{i1}\right|}^2$. В результате получаем
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Phi }=\hslash {\omega }_{j1}{\left|{\mu }_{j1}\right|}^2-kT\ln [z(\beta )+(e^{-\beta {\epsilon }_1}-e^{-\beta {\epsilon }_j})\frac{{\left|{\lambda }_{j1}^{\ast }{\mu }_{j1}\right|}^2}{kT({\epsilon }_j-{\epsilon }_1)}]=\\ =-kT\ln z(\beta )+\{\hslash {\omega }_{j1}+\frac{e^{-\beta {\epsilon }_j}-e^{-\beta {\epsilon }_1}}{z(\beta )}\frac{{\left|{\lambda }_{j1}\right|}^2}{{\epsilon }_j-{\epsilon }_i}\}{\left|{\mu }_{j1}\right|}^2+O(4)\\ \text{ где }z(\beta )=\sum _{i=1}^r{e}^{-\beta {\epsilon }_i}.\end{array}$$

где

Критическая температура, при которой исчезает коэффициент при квадратичном члене, определяется равенством
$$\frac{\hslash {\omega }_{j1}({\epsilon }_j-{\epsilon }_1)}{{\left|{\lambda }_{j1}\right|}^2}=-\frac{e^{-\beta {\epsilon }_j}-e^{-\beta {\epsilon }_1}}{z(\beta )}.$$

При такой критической температуре коэффициент при члене в четвертой степени положителен. Следовательно, при критической температуре $T_c$ многоуровневая система претерпевает термодинамический фазовый перєход второго рода [катастрофа типа $\left(A_{+3}\right)]$, если $({\epsilon }_j-{\epsilon }_1)\hslash {\omega }_{i1}/{\left|{\lambda }_{j1}\right|}^2<1$. Заметим, что это условие совпадает с условием фазового перехода первого рода с изменением энергии основного состояния.
2. ${\lambda }_{ji}eq0,j>i>1$. В этом случае имеем
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Phi }(\beta )=\hslash {\omega }_{ii}{\left|{\mu }_{ji}\right|}^2-kT\ln [\sum ^{\prime }{e}^{-\beta {\epsilon }_k}+e^{-\beta ({\epsilon }_j+{\epsilon }_i)/2}(e^{\beta \theta }+e^{-\beta \theta })],\\ {\theta }^2={\left(\frac{{\epsilon }_i-{\epsilon }_i}{2}\right)}^2+{\left|{\lambda }_{ji}^{\ast }{\mu }_{ji}\right|}^2.\end{array}$$
(Штрих у знака суммирования означает, что сумма не содержит членов, относящихся к $i$-му и $j$-му уровням; кроме того, следует иметь в виду, что ${\lambda }_{ij}$ — действительное, а ${\mu }_{ii}$ — неотрицательное числа.)

Критическое поведение функции Ф( $\beta$ ) можно исследовать, перейдя к пределу при $T\to 0$ и рассматривая бифуркации упорядоченных решений в окрестности критической точки, которая существует при ${\mu }_{ji}=0$ для всех температур (в силу симметрии относительно замены ${\mu }_{fi}\to -{\mu }_{j!}$ ). Эти частные случаи показывают, что параметр порядка имеет четыре конкретных значения, характеризующих критические значения термодинамических величин, входящих в рассматриваемые модели [14].

При $T\to 0$ в член из (15.91), содержащий логарифм, входит только минимальное (наименьшее) собственное значение матрицы $M$ (15.92), которое равно либо ${\epsilon }_1$, либо $1/2({\epsilon }_j+{\epsilon }_i)-\theta$ в зависимости от значения ${\mu }_{j_1}$. Јегко убедиться, что $\mathrm{\Phi }(\beta )$ имеет две стационарные точки с ${\mu }_{ji}>0$, когда ${\mathrm{\Lambda }}^2>{\mathrm{\Lambda }}_1^2=1+2\left({\mathrm{\Delta }}_{il}/{\mathrm{\Delta }}_{ji}\right)$, где ${\mathrm{\Lambda }}_{ji}^2={\lambda }_{ji}^2/({\epsilon }_j-{\epsilon }_i)\hslash {\omega }_{ji};{\mathrm{\Delta }}_{ji}={\epsilon }_j-{\epsilon }_i$. Меньшее из ненулевых решений уравнения $\partial \mathrm{\Phi }/\partial {\mu }_{ji}=0$ всегда неустойчиво; большее метастабильно относительно локального равновесия при ${\mu }_{ii}=0$ для ${\mathrm{\Lambda }}^2<{\mathrm{\Lambda }}_2^2$ и глобально устойчиво для ${\mathrm{\Lambda }}^2>{\mathrm{\Lambda }}_2^2$ [где ${\mathrm{\Lambda }}_2-{\mathrm{\Lambda }}_2^{-1}=2{\left({\mathrm{\Delta }}_{i1}/{\mathrm{\Delta }}_{ji}\right)}^{1/2}]$.
Ветвления в критической точке ${\mu }_{fi}=0$ определяются из разложения $\mathrm{\Phi }(\beta ,{\mu }_{ji})$ в ряд Тейлора по степеням ${\left|{\mu }_{ji}\right|}^2$ :
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }(\beta ,{\mu }_{ji})=-{\beta }^{-1}\ln z(\beta )+C_2(\beta ){\left|{\mu }_{ji}\right|}^2+C_4(\beta ){\left|{\mu }_{ji}\right|}^4+\dots ,\\ z(\beta )=\sum _{i=1}^r{e}^{-\beta {\epsilon }_i}\\ C_2(\beta )=\hslash {\omega }_{ii}-\frac{{\lambda }_{ji}^2}{{\epsilon }_j-{\epsilon }_i}\frac{e^{-\beta {\epsilon }_i}-e^{-\beta {\epsilon }_j}}{z(\beta )}.\end{array}$$

Ненулевые решения в результате бифуркации ответвляются от ${\mu }_{ii}=0$ при $C_2(\beta )=0$. Наименьшее значение ${\lambda }_{ji}$, при котором может произойти такая бифуркация, определяется из условия
$$\underset{T\in [0,\mathrm{\infty })}{max}{\mathrm{\Lambda }}_3^2\frac{e^{-\beta {\epsilon }_i}-e^{-\beta {\epsilon }_j}}{z(\beta )}=1.$$

Функция $(e^{-\beta {\epsilon }_j}-e^{-\beta \epsilon j})/z(\beta )$ асимптотически стремится к нулю при $T\to 0$ или $T\to \mathrm{\infty }$ и имеет в этой области единственный максимум. При $\mathrm{\Lambda }>{\mathrm{\Lambda }}_3^2$ существуют два ненулевых решения, ответвляющихся от ветви ${\mu }_{ii}=0$. Решение, ответвляющееся при более низкой температуре, всегда неустойчиво. Устойчивость решения, ответвляющегося при более высокой температуре, зависит от знака $C_4(\beta )$, который отрицателен при ${\mathrm{\Lambda }}^2={\mathrm{\Lambda }}_3^2$ и становится положительным при возрастании $T$ (когда ${\mathrm{\Lambda }}^2$ возрастает).

Критические значения термодинамических величин, входящих в расширенные модели МГЛ и Дикке с одним ненулевым взаимодействием между двумя возбужденными атомами, определяются величиной константы связи ${\lambda }_{ji}$ или безразмерной константы ${\mathrm{\Lambda }}_{ji}={\lambda }_{ji}/({\epsilon }_i-{\epsilon }_i)$. Константа связи имеет четыре критических значения:
$$\begin{array}{l}{\left({\mathrm{\Lambda }}_{ji}\right)}_1^2=\frac{1+{\gamma }_{ji}}{1-{\gamma }_{ji}},{\gamma }_{ji}=\frac{{\epsilon }_i-{\epsilon }_1}{{\epsilon }_j-{\epsilon }_1}<1,\\ {\left({\mathrm{\Lambda }}_{ji}\right)}_2^2=\frac{1+{\left({\gamma }_{ji}\right)}^{1/2}}{1-{\left({\gamma }_{ji}\right)}^{1/2}},\\ {\left({\mathrm{\Lambda }}_{ji}\right)}_3^2=\underset{\beta >0}{min}\frac{z(\beta )}{e^{-\beta {\epsilon }_i}-e^{-\beta e_j}}.\end{array}$$

Значение ${\left({\mathrm{\Lambda }}_{ii}\right)}_4^2$ определяется из равенств $C_2(\beta )=0$ и $C_4(\beta )=0$ :
$$\begin{array}{c}{C}_2(\beta )\simeq 1-{\left({\mathrm{\Lambda }}_{ji}\right)}_4^2\frac{e^{-\beta {\epsilon }_i}-e^{-\beta {\epsilon }_j}}{z(\beta )},\\ C_4(\beta )\simeq \frac{e^{-\beta {\epsilon }_i}-e^{-\beta {\epsilon }_j}}{z(\beta )}+\frac{\beta ({\epsilon }_j-{\epsilon }_i)}{2}{\left(\frac{e^{-\beta {\epsilon }_i}-e^{-\beta {\epsilon }_j}}{z(\beta )}\right)}^2-\\ -\beta ({\epsilon }_j-{\epsilon }_i)\frac{e^{-\beta {\epsilon }_i}-e^{-\beta {\epsilon }_j}}{z(\beta )}.\end{array}$$

Из этих двух условий одновременно однозначно определяются критическая температура ${\beta }_t$ и константа ${\left({\mathrm{\Lambda }}_{ji}\right)}_4^2$.

Критические значения термсдинамических величин для данной модели в зависимости от ${\mathrm{\Lambda }}_{ji}$ иллюстрируются на рис. 15.4. При ${\mu }_{ji}>0$ функция $\mathrm{\Phi }(\beta ,{\mu }_{ji})$ имеет не более двух критических точек. Ветвь ${\mu }_{ji}^{>}(\beta )$ описывает локально устойчивые критические точки функции, а ${\mu }_{ji}(\beta )$ — локально неустойчивые. Эти точки могут соединяться (кривые $A,B,C,D$ и одна из двух кривых $E$ ) или быть изолированными. Тип устойчивости точек, лежащих на сплошных участках ветвей ${\mu }_{ii}(\beta )$, меняется в точках с вертикальной касательной. Рассмотрим более подробно критическое поведение функции $\mathrm{\Phi }$ в зависимости от ${\mathrm{\Lambda }}_{ji}$ :
1. $\mathrm{\Lambda }<{\mathrm{\Lambda }}_1\cdot {\mu }_{ji}=0$ при любой температуре.

Рис. 15.4. Значения параметров порядка ${\mu }_{ji}(\beta )$, при котөрых потенциальная фунццйя $\mathrm{\Phi }(\mu ;\beta )$ имеет стационарное значение, для семи значений безразмер. ной мйс́итабированной константы связи $\mathrm{\Lambda }$.

2. ${\mathrm{\Lambda }}_1<\mathrm{\Lambda }<{\mathrm{\Lambda }}_2$ (кривая $A,\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_A$ ). При достаточно низкой температуре существует метастабильное упорядоченное состояние; никаких термодинамических фазовых переходов не происходит.
3. ${\mathrm{\Lambda }}_2<\mathrm{\Lambda }<{\mathrm{\Lambda }}_3$ (кривые $B,C,D,{\mathrm{\Lambda }}_B<{\mathrm{\Lambda }}_C<{\mathrm{\Lambda }}_D$ ). При $T=0$ наблюдается устойчивое упорядоченное состояние, которое в случае $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_B$ остается устойчивым вплоть до температуры $T=T_B$. Выше этой температуры состояние становится метастабильным $({\mu }_i=0)$, причем если принят принцип Максвелла, то происходит фазовый переход первого рода, если же принят принцип максимального промедления, то-фазовый переход нулевого рода в складке на кривой $B$. Выше температуры $T_B$ имеется только одна критическая точка — минимум при ${\mu }_{ii}=0$. При охлаждении от очень высоких температур при $T=T_B$ имеет место фазовый переход первого рода, если принят принцип Максвелла, и никаких фазовых переходов не происходит, если принят принцип максимального промедления. Если при очень низких температурах на систему оказать резкое воздействие, то произойдет фазовый переход нулевого рода из метастабильного в устойчивое состояние. Дальнейшее увеличение константы связи $(\mathrm{\Lambda }\to {\mathrm{\Lambda }}_C,{\mathrm{\Lambda }}_D$ ) качественно не влияет на критические значения термодинамических параметров системы. Значения $T_C,T_D$, при которых происходят фазовые переходы первого рода, возрастают, как и температура, при которой возможен спинодальный распад. С дальнейшим увеличением $\mathrm{\Lambda }$ расстояние между последней и температурой фазового перехода первого рода убывает.
4. ${\mathrm{\Lambda }}_3<\mathrm{\Lambda }<{\mathrm{\Lambda }}_4$ (кривая $E,\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_E$ ). От ветви ${\mu }_{ji}=0$ отходят две ветви. Низкотемпературная ветвь, бифуркация которой происходит в точке $E_2$, описывает локальные максимумы и не представляет интереса. Бифуркация высокотемпературной ветви (в точке $E_1$ ) относится к катастрофе $A_{-3}$. Эта ветвь вначале направлена в сторону высоких температур, затем она поворачивается и приходит в нуль. Между точками с вертикальной касательной эта ветвь неустойчива. Эти две точки определяют высоко- и низкотемпературные границы фазового перехода первого рода, происходящего в точке $T_E$. Неупорядоченное состояние становится неустойчивьм ниже точки бифуркации $E_1$ и остается таковым (с понижением $T$ ) до тех пор, пока не будет достигнута точка бифуркации $E_2$. Ниже этой температуры неупорядоченная ветвь метастабильна.
5. $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_4$ (кривая ${F,\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_F={\mathrm{\Lambda }}_{ji})}_4$ ). Точка ${\mu }_{ji}=0,T=$ $=T_F=T_t,{\mathrm{\Lambda }}_{li}={\left({\mathrm{\Lambda }}_{ji}\right)}_4$ является трикритической. Это легко вытекает из следующих рассуждений. Функция Ф четная, и для одновремннного обращения в нуль двух главных коэфффициенто́в $C_2(\beta )$ и $C_4(\beta )$ достаточно выбрать специальными лишь два управляющих параметра $\beta ,{\mathrm{\Lambda }}_{ji}$. В этой точке росток функции $\mathrm{\Phi }(\beta )$ суть $\pm {\left|{\mu }_{ii}\right|}^6$. Из глобальной устойчивости следует, что коэффициент при этом члене должен быть положительным. При фиксированном $\mathrm{\Lambda }={\left({\mathrm{\Lambda }}_{ji}\right)}_4$ при переходе $T$ через $T_F$ имеет место фазовый переход второго рода.
6. ${\mathrm{\Lambda }}_4=\mathrm{\Lambda }$ (кривая $G,\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_G$ ). Ветвь, ответвляющаяся в $G_1$, глобально устойчива. Неупорядоченная ветвь метастабильна при $0⩽T⩽G_2$, неустойчива при $G_2⩽T⩽G_1$ и устойчива при $G_1=T_G⩽T<\mathrm{\infty }$. При переходе $T$ через $T_o$ в любом направлении происходит термодинамический фазовый переход второго рода.
$\diamond \diamond \diamond$ Фазовый переход первого рода с изменением энергии основного состояния происходит ( $T=0$ ) при $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_2$.
$\diamond \diamond \diamond$ Теперь легко можно определить влияние возмущений классического гамильтониана (15.89), обусловленное классическим внешним полем, взаимодействующим с атомарной подсистемой, или классическим током, взаимодействующим с квантовомеханическим полем. Возмущения, нарушающие симметрию, исказят бифуркационную картину, однако существенно не изменят число и типы критических точек, возникающих при любой комбинации параметров управления $({\mathrm{\Lambda }}_{ji},T)$. Исследование этих возмущений не вызывает принципиальных трудностей, поскольку универсальные возмущения катастроф $A_2,A_{\pm 3},A_5$, возникающих в этой модели, хорошо известны.

Описанное выше достаточғо сложное поведение системы наблюдается только тогда, когда всего одна из констант связи ${\lambda }_{ji}$ не равна нулю. Рассмотрим ситуацию, когда несколько констант связи отличны от нуля.

В этом случае мы вынуждены ограничиться общим описанием возможных явлений. Предположим, что все $r(r-1)/2$ постоянных связи ${\lambda }_{ji}$ действительны. Тогда каждая точка ( ${\lambda }_{21},{\lambda }_{31},\dots$ $\dots ,{\lambda }_{r,r-1})\in R^{r(r-1)/2}$ представляет $r$-уровневую модель МГЛ или Дикке. При достаточно высокой температуре $T$ такие модели дают устойчивое термодинамическое состояние, в котором все параметры порядка ${\mu }_{ii}=0$. Открытое множество точек из $R^{r(r-1)/2}$ описывает модели, для которых характерно следующее качественное поведение. При понижении температуры от $\mathrm{\infty }$ в точке $T_1$ происходит фазовый переход второго рода. При дальнейшем понижении температуры имеется единственный ненулевой параметр порядка вплоть до точки $T=T_2$, где происходит второй фазовый переход второго рода. Ниже точки $T_2$ имеются уже три ненулевых параметра порядка. Этот каскад переходов продолжается при понижении температуры $T$ до $T=T_{r-1}$, ниже
Рис. 15.5. Зависимость критических значений термодинамических величин, входящих в трехуровневую модель Дикке с резонансным взаимодействием $\hslash {\omega }_{ii}={\epsilon }_j-{\epsilon }_i$, от безразмерной константы связи ${\mathrm{\Lambda }}_{ji}={\mathrm{\Lambda }}_{ii}/({\epsilon }_j-{\epsilon }_i)$.
Здесь ${\gamma }_{32}=({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)/({\epsilon }_3-{\epsilon }_1)=0,2$ и ${\mu }_{21}=⟨E_{21}/N⟩,{\mu }_{32}=⟨E_{32}/N⟩,{\mu }_{31}-⟨E_{31}/N⟩$. Ис. $(2;1,8;0,7);2-(2;1,8;0,8)$.

которой все параметры ${\mu }_{fi}$ порядка $r(r-1)/2$ отличны от нуля. Последовательность переходов выглядит следующим образом:

Открытое множество, мера которого в ${\mathrm{R}}^{r(r-1)/2}$ несущественна, содержит сепаратрисы, на которых две или более критические температуры становятся равными (например, $T_2=T_3$ ). При пересечении этих сепаратрис изменяется порядок бифуркации. Кроме того, в $\mathrm{Rr}r-2)/2$ имеются открытые области, описывающие модели, в которых происходит менее $r-1$ фазовых переходов второго рода. Качественный характер соединения таких открытых областей между собой очевиден. Любой из этих фазовых переходов второго рода можно заменить фазовым переходом первого рода; между фазовыми переходами второго рода могут происходить фазовые переходы первого рода.

Простейшими из расширенных моделей МГЛ и Дикке, проявляющими такое многообразие в поведении, являются трехуровневые модели. Критические значения термодинамических величин, входящих в эти модели, изучались [15] в предположении резонансного взаимодействия ${\epsilon }_j-{\epsilon }_i=\hslash {\omega }_{ji}$. Параметры порядка ${\mu }_{ji}(\beta )$, минимизирующие функцию $\mathrm{\Phi }(\beta )$ при разных значениях безразмерных постоянных связи ${\mathrm{\Lambda }}_{ji}$, показаны на рис. 15.5.