Перенос идей и методов теории катастроф, развитых для функций $(m=1)$, на случай отображений ( $m>1$ ), по-видимому, потребует совершенно нового подхода, в корне отличающегося от описанного в частях I и IV.

В гл. 5 было показано, что структурно устойчивые функции образуют плотное множество в пространстве всех отображений типа $\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$. В результате любую функцию можно сколь угодно близко аппроксимировать стрӱктурно устойчивыми функциями. $\mathrm{K}$ сожалению, в случае отображений $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ такое утверждение неверно. В самом деле, если $F$-отображение многообразия $X$ в многообразие $Y$, т. е. $X \xrightarrow{F} Y$, то множество структурно устойчивых отображений $F: X \rightarrow Y$ не плотно в множестве всех таких отображений, если размерности $n, m$ много-

Рис. 17.4. Устойчивые отображения $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ не образуют плотного множества, если размерности ( $n, m$ ) принадлежат заштрихованной области с границей $[6]$.

образий $X, Y$ лежат внутри области или на ее границе (заштрихованная область на рис. 17.4).

В случае $m=n k$-параметрическое семейство отображений можно идентифицировать с автономными динамическими системами (гл. 19).
$\diamond \diamond \diamond$ Обобщения теории катастроф в трех указанных направлениях могли бы привести к выработке каких-то разумных концепций, на основе которых можно было бы не только задавать вопросы, связанные, скажем, со «стягиванием волновой функции» в квантовой механике, но и отвечать на них. Таким образом, подобное обобщение теории катастроф могло бы помочь заняться проблемами, которые пока приходится считать чисто философскими.