До сих пор мы пытались найти состояние физической системы, минимизируя некоторую потенциальную функцию. При этом неявно предполагалось, что эта функция определена на всем пространстве $R^{n}$. Если это так, то $
abla V=0$ является необходимым условием существования минимума. Однако это уже не так, если потенциальная функция $V$ определена лишь на замкнутом подмножестве $S \in \mathbb{R}^{n}$. Равенство $
abla V=0$ является необходимым и достаточным уєловием локального максимума, минимума или другой стационарной точки лишь во внутренности $S-\partial S$, где $\partial S-$ граница $\left.S\left[\partial S=\bar{S} \cap \overline{\left(\mathbb{R}^{n}-\bar{S}\right.}\right)\right]$. Вместе с тем условие $
abla V=$ не является ни необходимым, ни достаточным условием локального максимума или минимума на границе $\partial S$. На самом деле условие $
abla V=0$ в некоторой точке на $\partial S$ даже не является структурно устойчивым и при деформации нарушается.

Проиллюстрируем вышеизложенные замечания для случая $n=1$ на примере функции $f(x)=x^{2},-\infty<x<+\infty$. При деформации
\[
F(x ; \varepsilon)=f(x)+\varepsilon x=(x+1 / 2 \varepsilon)^{2}-(1 / 2 \varepsilon)^{2}, \quad-\infty<x+\infty,
\]

поэтому минимум перемещается из $x=0$ в $x=-\varepsilon / 2$. Таким образом, деформация не вносит качественных изменений в критические свойства функции $f(x)=x^{2}$ — факт, уже отмечавшийся в гл. 4.

Если рассмотреть ту же функцию $f(x)=x^{2}$ на луче $0 \leqslant x<$ $<\infty$, то деформация $\varepsilon x$ имеет явные качественные последствия. При $\varepsilon>0$ имеется глобальный минимум в $x=0$, где $d F / d x>$ $>0$. При $\varepsilon<0$ наблюдается г.обальный минимум во внутренности области $[0, \infty]$ при $x=-\varepsilon / 2>0$, где $d F / d x=0$, и локальный максимум при $x=0$, в котором $d F / d x=0$. Локальный минимум в $x=0$ при $\varepsilon>0$ и локальный максимум в $x=0$ при $\varepsilon<0$ возникают только из-за ғаличия ограничения $x \geqslant 0$ в области определения $F(x)$. Функция $F(x ; \varepsilon=0)=x^{2}$ является сепаратрисой, разделяющей функции двух качественно различных типов: функций с одним глобальным минимумом и функций с локальным максимумом и глобальным минимумом. Это означает также, что функция $F(x ; \varepsilon=0)$ является единственным элементом семейства функций $F(x ; \varepsilon)$, для которых $d F / d x=0$ на границе ( $\partial S: x=0$ ) (рис. 17.6).

Аналогичным образом можно исследовать одномерный росток катастрофы $A_{k}: x^{k+1}$ при ограничении $x \geqslant 0$. Поскольку универсальная деформация для $A_{1}=x^{2}$ с ограничениями одно-

Рис. 17.6.
$a$ — деформация функции при отсутствии ограничений на переменные не вносит качественных изменений в свойства последней; б-деформация структурно неустойчнвой функции при наличин ограничений на переменные может качественно изменить свойства

Рис. 17.7. Локальные экстремумы и стационарные точки катастрофы $F(x ; a, b)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x$ при наличии ограничений на $x$ в пространстве $\mathbb{R}^{1} \otimes \mathbb{R}^{2}(x-a-b)$.
Плоскость $x=0$ дает локальные экстремуми при всех значениях управляющих параметров $a, b$. Числа на плоскости управляющи параметров показывают число критических тфчек, в том чңсле локальных условных макгимумов и минимумов функцй.

мерна, можно ожидать, что для универсальных деформаций число управляющих параметров в задаче с ограничением $(x \geqslant$ $\geqslant 0$ ) будет на единицу больше, чем в задаче без ограничений. Нетрудно понять, почему это так. В случае без ограничений от члена $x^{k}$ в деформации функции. $A_{k}=x^{k+1}$ можно легко избавиться простым сдвигом начала координат. При наличии ограничений луч, определяющий допустимую область, «неоднороден» (при сдвиге начала, например, он «выглядит иначе»), поэтому положение начала координат — это еще один необходимый управляющий параметр. Семейство катастроф $A_{k}$ с ограничениями имеет вид
\[
A_{k}: x^{k+1}+\sum_{j=1}^{k} a_{j} x^{j}
\]

бифуркационное множество катастрофы $A_{2}$ с ограничениями по1азано на рис. 17.7.

Рассуждения аналогичны и в случае многих ( $n>1$ ) переменных состояния. Предположим для удобства, что $S-$ замыкание некоторого «хорошего» прэстого связного открытого множества и что $\partial S$—гладкое ( $n-1$ )-мерное многообразие. Необходимое и достаточное условле минимума, максимума или стационарной точки $F$ внутри $S$ есть $
abla F=0$. Внутри $\mathcal{S}$ не происходит ничего нового, и катастрофы, которые мы изучали до сих пор, можно считать внутренними катастрофами. Новые явления возникают именно на границе множества $S$. Такие катастрофы в противоположность внутренним можно назвать внешними или граничными катастрофами. Эти структурно неустойчивые функции обладают тем свойством, что $
abla F=0$ в некоторой точке $\partial S$. Поскольку $\partial S$ по предположению является гладким $(n-1)$-мерным многообразием, $x_{2}, \ldots, x_{n}$ можно выбрать в кагестве координат на $\partial S$ и рассматривать $x_{1}$ как ограниченную координату, наложив на нее ограничение $x_{1} \geqslant 0$. Иными словами, $x_{1}<0$ лежит вне $S, x_{1}=0-$ на $\partial S$ и $x_{1}>0-$ в $S-\partial S$. KаТаблица 17.3. Қатастрофы с ограничениями $[7,8]$

тастрофы с ограничениями, обладающие универсальными деформациями небольшой размерности, проанализировали авторы работы [7]. Некоторые из их результатов приведены в табл. 17.3 [8].
$\diamond \diamond \diamond$ Часто переменные состояния некоторой системы должны быть неотрицательными. Примерами являются растікение (физика и техника), химическая концентрация (химия), плотность популяции (экология) и т. д. Когда вводятся такие ограничения, то для анализа качественного поведения системы необходимо изучение как внутренних (табл. 2.2), так и граничных (табл. 17.3) катастроф.