Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике До сих пор мы пытались найти состояние физической системы, минимизируя некоторую потенциальную функцию. При этом неявно предполагалось, что эта функция определена на всем пространстве $R^{n}$. Если это так, то $ Проиллюстрируем вышеизложенные замечания для случая $n=1$ на примере функции $f(x)=x^{2},-\infty<x<+\infty$. При деформации поэтому минимум перемещается из $x=0$ в $x=-\varepsilon / 2$. Таким образом, деформация не вносит качественных изменений в критические свойства функции $f(x)=x^{2}$ – факт, уже отмечавшийся в гл. 4. Если рассмотреть ту же функцию $f(x)=x^{2}$ на луче $0 \leqslant x<$ $<\infty$, то деформация $\varepsilon x$ имеет явные качественные последствия. При $\varepsilon>0$ имеется глобальный минимум в $x=0$, где $d F / d x>$ $>0$. При $\varepsilon<0$ наблюдается г.обальный минимум во внутренности области $[0, \infty]$ при $x=-\varepsilon / 2>0$, где $d F / d x=0$, и локальный максимум при $x=0$, в котором $d F / d x=0$. Локальный минимум в $x=0$ при $\varepsilon>0$ и локальный максимум в $x=0$ при $\varepsilon<0$ возникают только из-за ғаличия ограничения $x \geqslant 0$ в области определения $F(x)$. Функция $F(x ; \varepsilon=0)=x^{2}$ является сепаратрисой, разделяющей функции двух качественно различных типов: функций с одним глобальным минимумом и функций с локальным максимумом и глобальным минимумом. Это означает также, что функция $F(x ; \varepsilon=0)$ является единственным элементом семейства функций $F(x ; \varepsilon)$, для которых $d F / d x=0$ на границе ( $\partial S: x=0$ ) (рис. 17.6). Аналогичным образом можно исследовать одномерный росток катастрофы $A_{k}: x^{k+1}$ при ограничении $x \geqslant 0$. Поскольку универсальная деформация для $A_{1}=x^{2}$ с ограничениями одно- Рис. 17.6. Рис. 17.7. Локальные экстремумы и стационарные точки катастрофы $F(x ; a, b)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x$ при наличии ограничений на $x$ в пространстве $\mathbb{R}^{1} \otimes \mathbb{R}^{2}(x-a-b)$. мерна, можно ожидать, что для универсальных деформаций число управляющих параметров в задаче с ограничением $(x \geqslant$ $\geqslant 0$ ) будет на единицу больше, чем в задаче без ограничений. Нетрудно понять, почему это так. В случае без ограничений от члена $x^{k}$ в деформации функции. $A_{k}=x^{k+1}$ можно легко избавиться простым сдвигом начала координат. При наличии ограничений луч, определяющий допустимую область, «неоднороден» (при сдвиге начала, например, он «выглядит иначе»), поэтому положение начала координат – это еще один необходимый управляющий параметр. Семейство катастроф $A_{k}$ с ограничениями имеет вид бифуркационное множество катастрофы $A_{2}$ с ограничениями по1азано на рис. 17.7. Рассуждения аналогичны и в случае многих ( $n>1$ ) переменных состояния. Предположим для удобства, что $S-$ замыкание некоторого «хорошего» прэстого связного открытого множества и что $\partial S$–гладкое ( $n-1$ )-мерное многообразие. Необходимое и достаточное условле минимума, максимума или стационарной точки $F$ внутри $S$ есть $ тастрофы с ограничениями, обладающие универсальными деформациями небольшой размерности, проанализировали авторы работы [7]. Некоторые из их результатов приведены в табл. 17.3 [8].
|
1 |
Оглавление
|