Исследуя связь ме̊жду фазозыми переходами, сопровождающимися изменением энергии основного состояния, и термодинамическими фазовыми переходами, мы не затрагивали ряд вопросов, связанных как с родом фазового перехода (первого рода, второго рода) и его устойчивостью к возмущениям (структурная устойчивость), а также с членами, «ответственными» за появление фазовых переходов (канонические ядра), так и с величиной сил взаимодействия и температурой перехода.

Следует заметить, что мы уделяем особое внимание термодинамическим фазовым переходам, поскольку этот общий класс моделей может содержать самые различные параметры, описывающие взаимодействие. Для изучения фазовых переходов прежде всего было бы необходимо очертить очень узкий класс моделей и имеющихся в них параметров взаимодействия (управлений). В случае же термодинамических фазовых переходов имеется лишь один управляюший параметр – температура, поэтому наши рассуждения остаются справедливыми для очень широкого класса гамильтонианов.

Прежде чем перейти к описанию моделей этого класса, сделаем некоторые замечания общего характера. Қатастрофа складки $A_{2}$ типична для однопараметрического семейства функций. Такая катастрофа ассоциируется с фазовым переходом нулевого (в случае принципа максимального промедления) или первого (в случае принципа Максвелла) рода. Катастрофа сборки $A_{+3}$ типична для однопараметрического семейства функций при условии, что на это семейство наложены некоторые ограничения симметрии. Возмущения, нарушающие симметрию, обычно искажают бифуркацию, связанную с катастрофой $A_{+3}$; последняя, как правило, заменяется катастрофой $A_{2}$. Таким образом, можно сделать следующие выводы о структурной устойчивости термодинамических фазовых переходов в системах, состояния которых могут быть описаны моделями Дикке:
1. Фазовые переходы нулевого и первого рода структурнс устойчивы при всех возмущениях;
2. Фазовые переходы второ:о рода структурно устойчивы к возмущениям, сохраняющим симметрию; в противном случае фазовый переход или вообще исчезает, или проявляется в некоторой отдаленной точке как фазовый переход нулевого или первого рода.

Структурную устойчивость модели можно исследовать, не зная ее детального устройства. Для этого достаточно проанализировать симметрию модели. Если же необходимо выявить более существенные моменты, то требуются более конкретные сведения о модели. В этом случае проще всего ввести пару трехкомпонентных объектов $\mathbf{u}=\left(u_{3}, u_{+}, u_{-}\right)$и $\mathbf{v}=\left(v_{3}, v_{+}, v_{-}\right)$и три функции $h, h_{Q}, h_{c}$. Функция $h=h(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ зависит от шести аргументов u, v. Қвантовомеханический оператор $\mathscr{H} / N=h_{Q}$ получается из $h$ посредством подстановок операторов, приведенных в табл. 15.3, и последующей симметризации (если это необходимо). Классический предел $\langle\mathscr{C} / N\rangle=h_{c}$ получается из $h$ подстановками $c$-чисел, указанных в той же таблице.
Таблиа 15.3. Подстановки операторов и с-чисел, преобразующих $\boldsymbol{h}(\mathrm{u}, \mathrm{v})$ в оператор $h_{\mathrm{Q}}$ и $c$-функцию $h_{\mathrm{C}}[9]$

На функции $h, h_{Q}, h_{C}$ налагаются следующие условия [9]:
1. $h$ – полином конечной степени по всем аргументам. Это условие необходимо для строгого доказательства классического предельного соотношения
\[
\left\langle h_{Q}\left(\frac{E_{i j}}{N}\right)\right\rangle=h_{Q}\left(\left\langle\frac{E_{i j}}{N}\right\rangle\right) .
\]
2. Оператор $h_{Q}$ эрмитов (квантовомеханическое требование);
3. $h_{C}$ имеет конечную нижнюю грань как функция $\mu \in \mathbb{C}$ для $(r, \theta, \phi)$, принадлежащих сфере радиусом $1 / 2$ (гарантия существования предела $\left.E_{g} / N=\min h_{c}\right)$;
4. $h\left(u_{3}, u_{+}, u_{-} ; v_{3}, v_{+}, v_{-}\right)=h\left(u_{3},-u_{+},-u_{-},-v_{3},-v_{+},-v_{-}\right)$ (такая симметрия подавляет катастрофу складки и позволяет «прорасти» катастрофе сборки $A_{+3}$, которую можно локализовать методами дифференциального анализа);
5. $h_{c}$ принимает минимальное значение при $\mu=0$, когда $v=0$. (В предельном случае высоких температур как атомная подсистема, так и поле неупорядочены.)
6. $\partial h / \partial V_{3}<0$ при $\mathbf{u}=0, \mathbf{v}=0$. (В высокотемпературном состоянии $\theta=0$.)
Пример. Подставляя в функцию
\[
h(\mathbf{u}, \mathbf{v})=-\hbar \omega u_{3}+\varepsilon v_{3}+\lambda\left(u_{+} v_{-}+u_{-} v_{+}\right)
\]

операторы из табл. 15.3, можно получнть модель Дикке.
Поведение моделей этого класса при высоких температурах определяется минимизацией Ф или $\beta \Phi$ при постоянной температуре:
\[
\frac{F}{N}=\min h_{c}-\beta^{-1} s(r) .
\]

В силу условий 4-6 последнее выражение принимает минимальное значение при $\mu=
u=0(\theta=0)$ в области достаточно высоких температур. Эту функцию остается минимизировать по $r$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial r}\left[h(0,0,0 ; r \cos \theta, 0,0)_{\theta=0}-\beta^{-1} \jmath(r)\right]= \\
=\left.\left.\cos \theta\right|_{\theta=0} \frac{\partial h}{\partial v_{3}}\right|_{v_{s}=r}+\beta^{-1} \ln \left(\frac{1+2 r}{1-2 r}\right)=0 .
\end{array}
\]

Откуда следует соотношение между $r$ и $T$.
Ветвь $\mu=0, v=0$ всегда является критической точкой функции $\Phi(\beta)$. Бифуркации от этого множества решений («тепловая ветвь») определяются вырожденными критическими точками на этой ветви. Эти точки находятся путем выделения членов второй степени в малых члєнах $\mu, \mu^{*}, v, v^{*}$ разложения $h_{C}$ в ряд Тейлора вблизи тепловой ветви. Такие члены возникают только из членов $h$, которые линейны по $u_{3}$; имеют вторую степень по $u_{ \pm}, v_{ \pm}$; имеют произвольную степень по $v_{3}$. По этой причине достаточно рассмотреть росток $h$ вблизи $\mathbf{u}=0, \mathbf{v}=\left(v_{3}, 0,0\right)$ второй степени по $u_{ \pm}, v_{ \pm}$и первой степени по $u_{3}$. Этот росток имеет вид
\[
h_{C K}=h+u_{3} \frac{\partial h}{\partial u_{3}}+\frac{1}{2} M^{\dagger} A M+r M^{+} B D+\frac{1}{2} r^{2} D^{+} C D,
\]

где
\[
M=\left[\begin{array}{l}
u_{-} \\
u_{+}
\end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{l}
v_{-} \\
v_{+}
\end{array}\right], \quad A=\left[\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} h}{\partial u_{+} \partial u_{-}} \frac{\partial^{2} h}{\partial u_{+} \partial u_{+}} \\
\frac{\partial^{2} h}{\partial u_{-} \partial u_{-}} \frac{\partial^{2} h}{\partial u_{-} \partial u_{+}}
\end{array}\right]
\]

Все производные вычисляются при $\mathbf{u}=(0,0,0)$ и $\mathbf{v}=\left(v_{3}, 0,0\right)$. Подстановкой операторов из табл. 15.3 из этой функции можно получить оператор $\left(h_{C K}\right)_{Q}$. Его можно с полным основанием назвать каноническим ядром исходного оператора Гамильтона $h_{Q}$, поскольку он определяет ветвление упорядоченных состояний от тепловой ветви оператора $h_{Q}$.

Қлассический предел этого канонического ядра получается подстановкой $c$-чисел из табл. 15.3. Росток классического предела легко получается после подстановки $c$-чисел, при этом следует учитывать, что
\[
h_{C}=\left(0,0,0 ; r-\frac{1}{2} \frac{v^{*} v}{r}, 0,0\right)=h_{C}-\frac{1}{2}\left(\frac{v^{*} v}{r}\right) \frac{\partial h_{C}}{\partial v_{3}},
\]

где опять же все производные вычисляются при $\mathbf{u}=(0,0,0)$, $v=(r, 0,0)$. До членов второй степени функцию $h_{c}$ можно представить в виде ( $N=r D$ ):
\[
\begin{array}{l}
h_{C}=h+\frac{1}{2} M^{+}\left(\frac{\partial h}{\partial u_{3}} I_{2}+A\right) M^{i}+M^{+} B N+\frac{1}{2} N^{+} \times \\
\times\left(-\frac{1}{2 r} \frac{\partial h}{\partial v_{3}} I_{2}+C\right) N .
\end{array}
\]

Стандартными преобразованиями эту запись можно выразить через одну пару параметров порядка $\mu, \mu^{*}$ или $v, v^{*}$ :
\[
\begin{array}{c}
h_{C}-h=\frac{1}{2} M^{+}\left\{\frac{\partial h}{\partial u_{3}} I_{2}+A-B^{+}\left(-\frac{1}{2 r} \frac{\partial h}{\partial v_{3}} I_{2}+C\right)^{-1} B\right\} M, \\
=\frac{1}{2} N^{+}\left\{-\frac{1}{2 r} \frac{\partial h}{\partial v_{3}} I_{2}+C-B^{+}\left(\frac{\partial h}{\partial u_{3}} I_{2}+A\right)^{-1} B\right\} N .
\end{array}
\]

Условие бифуркации состоит в том, что одно из собственных значений любой из этих матриц обращается в нуль. Это условие определяет критическое значение $r_{c}$, при котором происходит бифуркация от тепловой ветви. Соответствующая критическая температура определяется из условия минимума (15.112):
\[
-\left.\frac{\partial h}{\partial v_{3}}\right|_{r_{\epsilon}}=k T_{c} \ln \frac{1+2 r_{c}}{1-2 r_{\xi}} .
\]

Пример. Функция $h$ и ее каноническое ядро
\[
\begin{array}{c}
h=-\hbar \omega u_{3}+\lambda\left(u_{+} v_{-}+u_{-} v_{+}\right)+x v_{+} v_{-}+\gamma v_{+}^{2} v_{-}^{2}, \\
h_{C K}=-\hbar \omega u_{3}+\lambda\left(u_{+} v_{-}+u_{-} v_{+}\right)+x v_{+} v_{-}
\end{array}
\]

определяют фазовый переход второго рода из (15.117) при
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial h}{\partial u_{3}}=\hbar \omega, \quad \frac{\partial h}{\partial v_{3}}=-\varepsilon, \\
A=0 I_{2}, \quad B=\lambda I_{2}, \quad C=x I_{2} .
\end{array}
\]

Критическая температура определяется из (15.118), где
\[
r_{c}=\frac{\varepsilon \hbar \omega}{\lambda^{2}-x \hbar \omega} .
\]