Обобщая результаты, представленные в разд. 5 и 6 можно утверждать, что если система, состояние которой описывается моделью МГЛ или Дикке, претерпевает фазовый переход $(T=0)$ при увеличении параметров взаимодействия, то она также претерпевает термодинамический фазовый переход при возрастании температуры при фиксированных параметрах взаимодействия. Эта связь описывается уравнением
\[
\frac{|V|}{\varepsilon} \text { th } \frac{1}{2} \beta_{c} \varepsilon=1,
\]

которое графически изображенс в виде сепаратрисы в плоскости $|V / \varepsilon|-T$ (рис. 15.6).

Рис. 15.6.
$a$ — сепаратриса отделяел ядерные системы с ненулевым параметром порядка (квадрупольный момент), проявляющие кооперативное поведение, от систем с независимым поведением частиц; 6 — состояние ядерной системы можно представить точкой сферы радиусом 1/2. В предельном случае (при $T \rightarrow 0$ ) точка лежит на поверхности сферы. В отсутствие внутриядерных взаимодействй эта точка лежит «на южном полюсе», откуда отсчитывается параметр порядка Э. С ростом константы связн (при $T=0$ ) точка двнжется по пути $a \rightarrow e$, при этом в точке $c$ система претерпевает фазовый переход второго рода. С ростом температуры точка проходит путь $e \rightarrow i$, при этом в точке $g$ происходит термодинамический фазовый перэход второго рода:

При $T=0$ пө мере возрастания параметра порядка $|V|$ состояние системы вначале не претерпевает никаких изменений $(a, b)$. Фазовый переход второго рода происходит в точке $c$, выше которой состояние системы упорядочено $(d, e)$. Если сила взаимодействия $|V|$ фиксирована, а температура возрастает, термодинамически состояние системы остается упорядоченным, однако с ростом $T$ параметр порядка уменьшается $(e, f)$. Наконец, в точке $g$ происходит термодинамический фазовый переход второго рода, и при более высоких температурах ( $h, i$ ) система остается в неупорядоченном состоянии. Значения параметров порядка на переходе $a \rightarrow i$ показаны на рис. 15.6,б.

Для модели МГЛ такое поведение легко объяснимо. В пределе при $T \rightarrow 0$ в основном состоянии функции $h_{c} \theta=0$ при малых значениях $V$. Функция
\[
h_{C}=-\varepsilon r \cos \theta-|V|(r \sin \theta)^{2} \frac{1}{2}\left(e^{2 i \phi}+e^{-2 i \phi}\right)
\]

является аналитической функцией параметров порядка $r, \theta, \phi$ и управляющих параметров $\varepsilon, V$. Однако функция
\[
\frac{E_{g}}{N}=\min _{r=1 / 2, \theta, \phi} h_{C}
\]

уже не является аналитической функцией $\varepsilon, V$; она аналитическая в открытых интервалах $|V| / \varepsilon>1$ и $|V| / \varepsilon<1$. Сепаратриса $|V| / \varepsilon=1$ определяет момент скачка минимума функции $h_{c}$ с одной ветви уравнения $
abla h_{C}=0$ на другую при нулевой температуре.

В случае конечной температуры необходимо минимизировать функцию Ф по параметрам порядка ( $r, \theta, \phi)$ при постоянной температуре. Вместо нее можно минимизировать функцию $\beta \Phi$ :
\[
\beta \Phi=-\triangleleft(r)+\beta h_{C} .
\]

Это аналитическая функция параметров порядка $(r, \theta, \phi)$ и управляющих параметров $(\varepsilon, V, \beta)$, однако функция
\[
\frac{\beta F}{N}=\min _{r, \theta, \phi} \beta \Phi
\]

уже не является таковой в пространстве $\mathbb{R}^{2}=(|V| / \varepsilon, \beta)$. Минимум является аналитической функцией порознь в каждой из двух открытых областей выше и ниже сепаратрисы, определяемой уравнением (15.101). Высокие температуры служат для перенормировки взаимодействия $\left(V \rightarrow V^{\prime}=2 r V\right)$. Вследствие этого, если $|V| / \varepsilon>1$, то разложение $\min h_{c}$ по степеням $|V| / \varepsilon$ в окрестности точки $T=0,|V| / \varepsilon=0$ или разложение $\min \Phi$ по степеням $\beta$ в окрестности точки $|V| / \varepsilon>1, \beta=0$ не сходятся к $E_{g} / N$ и $F / N$ соответственно.

Связь между фазовыми переходами, сопровождающимися изменением энергии основного состояния, и термодинамическими фазовыми переходами может быть сформулирована в виде так называемой теоремы о скачке $[16,17]$. Эта теорема справедлива не только для гамильтонианов моделей МГЛ и Дикке, но и для гораздо более широкого класса моделей. Приведем лишь основные моменты ее доказательства.

Предположим, что система описывается гамильтонианом вида
\[
\mathscr{H}(\lambda)=\mathscr{H}_{0}+\lambda \mathscr{H}_{I} .
\]

Предположим далее, что $\mathscr{H}_{0}$ списывает спектр энергетических уровней невзаимодействующей системы, а $\mathscr{H}_{I}$ описывает взаимодействие. Для расширенных моделей типа МГЛ можно взять $\mathscr{H}_{0}=\varepsilon_{i} E_{i i} / N$, а $\mathscr{H}_{I}$ задать в виде полинома от $E_{i j} / N$. Кроме того, будем считать, что $\mathscr{H}_{I}$ не содержит членов, линейных по $E_{i j} / N$, и что $\left\langle\mathscr{H}_{I}\right\rangle$ инвариантен относительно замены $z_{i} \rightarrow-z_{i}$. В этом случае состояние $z_{i}=0 \quad(i=2, \ldots, r)$ является глобальным минимумом для $\left\langle\mathscr{H}_{0}\right\rangle$ и остается таковым для $\langle\mathscr{H}(\lambda)\rangle$ при малых $\lambda$ в силу симметрии. Если при достаточно больших $\lambda$ функция $E_{g} / N$ зависит от $\lambda$ явным образом, то $E_{g}(\lambda) / N$ не может быть аналитической функцией на всей прямой $\mathbb{R}^{1}$, поскольку $E_{g}(\lambda) / N$ не зависит от $\lambda$ в малом открытом интервале в окрестности нуля.

Из аналогичных рассуждений об аналитичности с очевидностью следует вывод о существовании термодинамического фазового перехода. Для этого необходимо минимизировать Ф и достаточно минимизировать
\[
\beta \Phi=-s(\delta)+\beta\left[\left\langle\mathscr{H}_{0}\right\rangle+\lambda\left\langle\mathscr{H}_{1}\right\rangle\right] .
\]

При $T \rightarrow \infty$ имеем $\beta \rightarrow 0$, поэтому необходимо минимизировать -s( $\delta$ ) (см. (15.74a)). Минимум для $r$-уровневой системы достигается при $\delta_{i}=1 / r$. При малых $\beta$ в случае высоких температур можно разложить члены $(\delta),\left\langle\mathscr{H}_{0}\right\rangle$ и $\left\langle\mathscr{H}_{I}\right\rangle$ по степеням малых параметров $\left(\delta_{i}-1 / r\right.$ ). Три члена, входящие в (15.107), имеют следующие порядки величины:
\[
\begin{array}{l}
-s(\delta) \simeq-\ln r+\mathcal{O}\left[\left(\delta_{i}-\frac{1}{r}\right)^{2}\right], \\
\left\langle\mathscr{H}_{0}\right\rangle \simeq \mathcal{O}\left[\left(\delta_{i}-\frac{1}{r}\right)^{1}\right], \\
\left\langle\mathscr{H}_{1}\right\rangle \simeq \mathcal{O}\left[\left(\delta_{i}-\frac{1}{r}\right)^{2}\right] .
\end{array}
\]

Оценка для $\left\langle\mathscr{C}_{I}\right\rangle$ вытекает из предположения о том, что $\mathscr{H}_{I}$ не содержит членов, линейных по $E_{i j} / N$. Короче говоря, при высоких температурах необходима перенормировка члена $\left\langle\mathscr{\mathscr { C }}_{1}\right\rangle$, описывающего взаимодействие, пе отношению к невозмущенному члену $\left\langle\mathscr{H}_{0}\right\rangle$ так, что $\lambda \rightarrow \lambda^{\prime} \sim \lambda O^{\prime}\left[\left(\delta_{i}-1 / r\right)\right]$. С точностью до членов высшего порядка получаем
\[
\min \beta \Phi=-\ln r+\min \left\langle\mathscr{H}_{0}\right\rangle .
\]

Итак, параметры порядка (отличные от $\delta_{i}$ ), определяющие поведение функции Ф при высокой температуре, идентичны параметрам, определяющим поведение $\langle\mathscr{G}(\lambda)\rangle$ при малых $\lambda$ (слабые взаимодействия). Наличие термодинамического фазового перехода теперь следует из разложения Ф в ряд Лорана по степеням $\beta$ в окрестности нуля. Если $E_{g}\left(\lambda_{0}\right) / N<E_{g}(0) / N$, то при стремлении $\lambda$ к нулю при фиксированном $T=0$ возникает фазовый переход основного состояния, а при увеличении $T$ от нуля при фиксированном $\lambda=\lambda_{0}$ возникает термодинамический фазовый переход.