Трансверсальность – чрезвычайно важное понятие, позволяющее ответить на вопросы об устойчивости и наследственности свойств функций и семейств функций. Два многообразия, вложенные в пространство $\mathbb{R}^{N}$, пересекаются трансверсально, если прямая сумма их касательных пространств в точке пересечения имеет размерность N. Два многообразия трансверсальны (или пересекаются трансверсально), если ах пересечение пусто или они пересекаются трансверсально в любой точке своего пересечения. Аналогичные определения имеют силу и для пересечения одного многообразия $Q$, вложенного в $\mathbb{R}^{N}$, с образом другого многообразия $\mathscr{P}$, отображаемого в $\mathbb{R}^{N}$ при помощи отображения $\mathscr{F}$. Важными следствиями трансверсальности являются (1) устойчивость и (2) наследственность:

1. Если $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ пересекает $Q$ трансверсально в пространстве $\mathbb{R}^{N}$, то это верно для любого возмущения отображения $\mathscr{F}$;
2. Множество отображений $\mathscr{F}$ многообразия $\mathscr{P}$ в пространстве $\mathbb{R}^{N}$, трансверсальных $Q$, всюду плотно в множестве всех отображений многообразия $\mathscr{P}$ в $\mathbb{R}^{N}$.

Следствия трансверсальности становятся значительно ощутимее, если пространство $\mathbb{R}^{N}$ отождествить с конечномерным линейным пространством $p$-струй функций $j^{p} f$.

В настоящей главе будет показано, что если в качестве многообразия $Q$ зафиксировать линейное векторное подпространство $\mathbb{R}^{N}$, в котором коэффициенты линейных членов струи $j p f$ обращаются в нуль, и положить $\mathscr{P}=\mathbb{R}^{n}$ (пространство переменных состояния), то $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ будет $n$-мерным подмногообразием $\mathbb{R}^{N}$ с координатами, параметризуемыми посредством точек $x^{0} \in R^{n}$, в которых производится разложение функции в ряд Тейлора. Из теоремы о трансверсальности следует, что свойство функций иметь только изолированные критические точки является наследственным и функции, обладающие этим свойством, устойчивы х возмущениям.

Можно зафиксировать $\mathscr{P}=\mathbb{R}^{k}$ (пространство управляющих параметров) и $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ ( $k$-мерное многообразие, точки которого имеют координаты, являющиеся коэффициентами ряда Тейлора струй $j p f$, рассматриваемых в критической точке); можно зафиксировать $Q=V_{i}$ (где $V_{i}$ – множество точек пространств $\mathbb{R}^{N}$, в которых ровно $l$ собстеенных значений матрицы $\partial^{2} f / \partial x_{i} \partial x_{i}$, обращаются в нуль). В этом случае $\operatorname{din} V_{i}=N-l(l+1) / 2$ и $\operatorname{dim} \mathscr{F}(\mathscr{P})=k$, так что неморсовские критические тонки для функций $l$ «плохих» переменных состояния и $k$ управляющих паэаметров могут устойчиво встречаться только тогда, когда $k \geqslant l(l+1) / 2$.

Кроме того, будет показано, что эти же методы могут быть использованы для выявления членов начальной части разложения функций $l$ «плохих» переменных состояния и $k$ управляющих параметров в ряд Тейлора, которые могут устойчиво исчезать в неморсовской критической точке.