Функции с неморсовскими критическими точка̨ми могут устойчиво встречаться лишь в семействах функций, зависящих от одного или более управляющих параметров. Поэтому можно изучать воздействие возмущения на данную функцию с вырожденной критической точкой, вложив эту неморсовскую функцию $f(x)$ в семейство функций $F(x;a)$ :
$$\begin{array}{r}f=f(x),x=(x_1,\dots ,x_l),\\ F=F(x;a),a=(a_1,\dots ,a_r),\\ f(x)={F(x;a)|}_{a=0}.\end{array}$$

Определение. Семейство функций $F(x;a)$ называется $r$-мерной деформацией функции $f(x)[3,4]$.

Чем больше семейство функций, тем более общие возмущения могут быть описаны. Есть надежда найти семейство, которое с одной стороны, достаточно велико, чтобы с помощью его можно было описать все возможные качественно различные возмущения $f(x)$, а с другой стороны, достаточно мало, чтобы с ним было легко работать.

Определение. Заданная $r$-мерная деформация $F(x;a)$ называется версальной, если любая другая деформация $F^{\prime }(x^{\prime };a^{\prime })$ функции $f(x)$ может быть получена из нее путем гладкой замены переменных:
$$\begin{array}{l}{x}_i^{\prime }=x_i^{\prime }(x;a),\\ a_a^{\prime }=a_a^{\prime }(a),\alpha =1,2,\dots ,r^{\prime },\end{array}$$

где $r^{\prime }$ не обязательно равно $r$.
Определение. Деформация $F(x;a)$ называется универсальной деформацией $f(x)$, если она яєляется версальной и имеет минимальную размерность.
Пример 1. Для ростка $f(x)=x^3$ имеем следующие деформации:
$$\begin{array}{rlrl}{F}_1(x;a_1,a_2)& =x^3+a_{1}x+a_2{x}^2& & \text{ версальная, }\\ F_2(x;b)& =x^3+b{x}^2& & \text{ неверсальная, }\\ F_3(x;c)& =x^3+cx& & \text{ универсальная. }\end{array}$$

Так как росток $x^3$ является 3 -определенным, то наиболее общее возмущение имеет вид
$$p(x)={\epsilon }_0+{\epsilon }_1(x)+{\epsilon }_2{x}^2+{\epsilon }_3{x}^3,$$

где все ${\epsilon }_i$ малы, $\epsilon \in {\mathbb{R}}^D,D=(3+1)!/3!1!=4$. Постоянный член всегда может быть исключен путем переноса начала координат. Поскольку он не играет существенной роли при обсуждении локальных свойств функции, то можно не принимать его во внимание. Если коэффициент ${\epsilon }_{3}eq0$, то его можно удалить введением нового масштаба для переменной состояния $x$ :
$$x\to x^{\prime }={(1+{\epsilon }_3)}^{1/3}x.$$

Следовательно, ${\epsilon }_3$ можно также считать равным нулю. Отсюда следует, что $F_1(x;a_1,a_2)$ — действительно версальная деформация $x^3$, а деформации $F_2(x;b)=F_1(x;0,b)$ и $F_3(x;c)=F_1(x;c,0)$ легко могут быть получены из $F_1$. Отображения между $F_2$ и $F_3$ поясняют, почему $F_2$ не является версальной:
$$\begin{array}{r}{F}_2(x-\frac{1}{3}b;b)=x^3-\frac{1}{3}{b}^{2}x=F_3(x;-\frac{1}{3}{b}^2),\\ F_3(x\pm \sqrt{-\frac{1}{3}}c;c)=x^3\pm \sqrt{-3c}{x}^2=F_2(x;\sqrt{-3c}).\end{array}$$

Гладкая замена переменных
$$\begin{array}{l}x\to x-\frac{1}{3}b,\\ b\to b\end{array}$$

отображает $F_2$ в те функции $F_3$, у которых обязательно $c=-b^2/3⩽0$. Вместе с тем деформация $F_3$ является версальной, так как при гладкой замене координат
$$\begin{array}{c}x\to x+\frac{1}{3}{a}_1,\\ c=a_2-\frac{1}{3}{\left(a_1\right)}^2,\\ F_3(x;c)=F_1(x;a_1,a_2).\end{array}$$

Коэффициенты ${\epsilon }_3,{\epsilon }_2,{\epsilon }_0$ могут быть удалены из возмущения (23.16) путем введения нового масштаба, переноса начала координат по оси $x$, переноса начала координат по оси $y$ соответственно. Следовательно, размерность наименьшей деформации функции $f(x)=x^3$, которая может породить семейство функций $x^3+(23.16)$, равна 1 , и $F_5(x;c)$ — это универсальная деформация $f(x)=x^3$.

Пример 2. Найти универсальную деформацию неморсовского ростка $E_6:f(x,y)=x^3+y^4$.

Решение. Наиболее общее возмущение функции двух переменных имеет вид
$$p(x,y)=\sum _{i⩾0,j⩾0}{p}_{ij}{x}^i{y}^j,$$

где коэффициенты $p_{ij}$ будем считать инфинитезимальными величинами порядка 1. Тогда
$$F(x,y;p)=x^3+y^4+\sum p_{ij}{x}^i{y}^j.$$

Бо́льшая часть возмущенных членов может быть удалена путем гладкой замены переменных. Чтобы определить, какие из возмущених членов могут быть удалены, а какие нет, сделаем инфинитезимальную нелинейную замену координат и повторим ход рассуждений:
$$\begin{array}{c}F(x^{\prime },y^{\prime };p)=(x^3+y^4)+(3x^2\rho x+4y^3\delta y+\\ +\sum _{ij}{p}_{ij}{x}^i{y}^j)+O(2).\end{array}$$

В настоящий момент нас интересует вложение ростка $f(x,y)$ в большое семейство $F(x,y;p)$, а не качественное изменение поведения $f(x,y)$ в заданной точке. Вследствие этого инфинитезимальное преобразование в формуле (23.23) может быть неоднородным. Ч.ены, которые могут возникнуть из выражений $3x^2\delta x$ и $4y^3\delta y$, лежат в тени на диаграмме вида

Следовательно, нелинейное преобразование может быть выбрано так, чтобы удалить все члены $p_{ij}{x}^i{y}^i$ в возмущении (23.23), которые соответствуют этим членам. Исключая постоянный член, получаем, что универсальная деформация ростка $f(x,y)=x^3+y^4$ имеет разиерность 5 и имеет вид
$$F(x,y;p)=x^3+y^4+p_{10}x+p_{01}y+p_{11}xy+p_{02}{y}^2+p_{12}x{y}^2.$$

Теперь это выражение можно сопоставлять с каноническим возмущением для $E_6$, приведенным в табл. 2.2.