Функции с неморсовскими критическими точка̨ми могут устойчиво встречаться лишь в семействах функций, зависящих от одного или более управляющих параметров. Поэтому можно изучать воздействие возмущения на данную функцию с вырожденной критической точкой, вложив эту неморсовскую функцию $f(x)$ в семейство функций $F(x ; a)$ :
\[
\begin{array}{r}
f=f(x), \quad x=\left(x_{1}, \ldots, x_{l}\right), \\
F=F(x ; a), \quad a=\left(a_{1}, \ldots, a_{r}\right), \\
f(x)=\left.F(x ; a)\right|_{a=0} .
\end{array}
\]

Определение. Семейство функций $F(x ; a)$ называется $r$-мерной деформацией функции $f(x)[3,4]$.

Чем больше семейство функций, тем более общие возмущения могут быть описаны. Есть надежда найти семейство, которое с одной стороны, достаточно велико, чтобы с помощью его можно было описать все возможные качественно различные возмущения $f(x)$, а с другой стороны, достаточно мало, чтобы с ним было легко работать.

Определение. Заданная $r$-мерная деформация $F(x ; a)$ называется версальной, если любая другая деформация $F^{\prime}\left(x^{\prime} ; a^{\prime}\right)$ функции $f(x)$ может быть получена из нее путем гладкой замены переменных:
\[
\begin{array}{l}
x_{i}^{\prime}=x_{i}^{\prime}(x ; a), \\
a_{a}^{\prime}=a_{a}^{\prime}(a), \quad \alpha=1,2, \ldots, r^{\prime},
\end{array}
\]

где $r^{\prime}$ не обязательно равно $r$.
Определение. Деформация $F(x ; a)$ называется универсальной деформацией $f(x)$, если она яєляется версальной и имеет минимальную размерность.
Пример 1. Для ростка $f(x)=x^{3}$ имеем следующие деформации:
\[
\begin{aligned}
F_{1}\left(x ; a_{1}, a_{2}\right) & =x^{3}+a_{1} x+a_{2} x^{2} & & \text { версальная, } \\
F_{2}(x ; b) & =x^{3}+b x^{2} & & \text { неверсальная, } \\
F_{3}(x ; c) & =x^{3}+c x & & \text { универсальная. }
\end{aligned}
\]

Так как росток $x^{3}$ является 3 -определенным, то наиболее общее возмущение имеет вид
\[
p(x)=\varepsilon_{0}+\varepsilon_{1}(x)+\varepsilon_{2} x^{2}+\varepsilon_{3} x^{3},
\]

где все $\varepsilon_{i}$ малы, $\varepsilon \in \mathbb{R}^{D}, D=(3+1) ! / 3 ! 1 !=4$. Постоянный член всегда может быть исключен путем переноса начала координат. Поскольку он не играет существенной роли при обсуждении локальных свойств функции, то можно не принимать его во внимание. Если коэффициент $\varepsilon_{3}
eq 0$, то его можно удалить введением нового масштаба для переменной состояния $x$ :
\[
x \rightarrow x^{\prime}=\left(1+\varepsilon_{3}\right)^{1 / 3} x .
\]

Следовательно, $\varepsilon_{3}$ можно также считать равным нулю. Отсюда следует, что $F_{1}\left(x ; a_{1}, a_{2}\right)$ – действительно версальная деформация $x^{3}$, а деформации $F_{2}(x ; b)=F_{1}(x ; 0, b)$ и $F_{3}(x ; c)=F_{1}(x ; c, 0)$ легко могут быть получены из $F_{1}$. Отображения между $F_{2}$ и $F_{3}$ поясняют, почему $F_{2}$ не является версальной:
\[
\begin{array}{r}
F_{2}\left(x-\frac{1}{3} b ; b\right)=x^{3}-\frac{1}{3} b^{2} x=F_{3}\left(x ;-\frac{1}{3} b^{2}\right), \\
F_{3}\left(x \pm \sqrt{-\frac{1}{3}} c ; c\right)=x^{3} \pm \sqrt{-3 c} x^{2}=F_{2}(x ; \sqrt{-3 c}) .
\end{array}
\]

Гладкая замена переменных
\[
\begin{array}{l}
x \rightarrow x-\frac{1}{3} b, \\
b \rightarrow b
\end{array}
\]

отображает $F_{2}$ в те функции $F_{3}$, у которых обязательно $c=-b^{2} / 3 \leqslant 0$. Вместе с тем деформация $F_{3}$ является версальной, так как при гладкой замене координат
\[
\begin{array}{c}
x \rightarrow x+\frac{1}{3} a_{1}, \\
c=a_{2}-\frac{1}{3}\left(a_{1}\right)^{2}, \\
F_{3}(x ; c)=F_{1}\left(x ; a_{1}, a_{2}\right) .
\end{array}
\]

Коэффициенты $\varepsilon_{3}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{0}$ могут быть удалены из возмущения (23.16) путем введения нового масштаба, переноса начала координат по оси $x$, переноса начала координат по оси $y$ соответственно. Следовательно, размерность наименьшей деформации функции $f(x)=x^{3}$, которая может породить семейство функций $x^{3}+(23.16)$, равна 1 , и $F_{5}(x ; c)$ – это универсальная деформация $f(x)=x^{3}$.

Пример 2. Найти универсальную деформацию неморсовского ростка $E_{6}: f(x, y)=x^{3}+y^{4}$.

Решение. Наиболее общее возмущение функции двух переменных имеет вид
\[
p(x, y)=\sum_{i \geqslant 0, j \geqslant 0} p_{i j} x^{i} y^{j},
\]

где коэффициенты $p_{i j}$ будем считать инфинитезимальными величинами порядка 1. Тогда
\[
F(x, y ; p)=x^{3}+y^{4}+\sum p_{i j} x^{i} y^{j} .
\]

Бо́льшая часть возмущенных членов может быть удалена путем гладкой замены переменных. Чтобы определить, какие из возмущених членов могут быть удалены, а какие нет, сделаем инфинитезимальную нелинейную замену координат и повторим ход рассуждений:
\[
\begin{array}{c}
F\left(x^{\prime}, y^{\prime} ; p\right)=\left(x^{3}+y^{4}\right)+\left(3 x^{2} \rho x+4 y^{3} \delta y+\right. \\
\left.+\sum_{i j} p_{i j} x^{i} y^{j}\right)+O(2) .
\end{array}
\]

В настоящий момент нас интересует вложение ростка $f(x, y)$ в большое семейство $F(x, y ; p)$, а не качественное изменение поведения $f(x, y)$ в заданной точке. Вследствие этого инфинитезимальное преобразование в формуле (23.23) может быть неоднородным. Ч.ены, которые могут возникнуть из выражений $3 x^{2} \delta x$ и $4 y^{3} \delta y$, лежат в тени на диаграмме вида

Следовательно, нелинейное преобразование может быть выбрано так, чтобы удалить все члены $p_{i j} x^{i} y^{i}$ в возмущении (23.23), которые соответствуют этим членам. Исключая постоянный член, получаем, что универсальная деформация ростка $f(x, y)=x^{3}+y^{4}$ имеет разиерность 5 и имеет вид
\[
F(x, y ; p)=x^{3}+y^{4}+p_{10} x+p_{01} y+p_{11} x y+p_{02} y^{2}+p_{12} x y^{2} .
\]

Теперь это выражение можно сопоставлять с каноническим возмущением для $E_{6}$, приведенным в табл. 2.2.