Теперь сформулируем теорему Тома. Если $f(x ; c), x \in \mathbb{R}^{n}$, $c \in \mathbb{R}^{k}$, — гладкая функция, отображающая $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$, то определим множество критических точек $\mathscr{M}_{f} \subset \mathbb{R}^{n+k}$ как множество abla_{x} f=0$. Отображение проектирования $\chi_{f}: \mathscr{M}_{f} \rightarrow \mathbb{R}^{k}$ определим так, как это было сделано в разд. 4. Обозначим через $F$ множество всех гладких функций, отображающих $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$.

Теорема Тома. Если $k \leqslant 5$, то существует открытое всюду плотное множество функций $F^{*} \subset F$ со следующими наследственными свойствами (для $f \in F^{*}$ ): $\mathscr{M}_{f}$ — многообразие размерности $k$, любая особенность отображения проектирования $\chi_{f}$ эквивалентна одной из элементарных катастроф и $\chi_{f}$ локально устойчиво относительно малых возмущений функции $f$.

Теорема Тома, сформулированная в более удобной для прикладных целей форме, утверждает, что в типичном $k$-параметрическом семействе функций $(k \leqslant 5$ ) $n$ переменных — единственно неморсовские критические точки, которые могут быть встречены устойчиво, — имеют канонические формы, перечисленные в табл. 2.2 .