Главная > ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ. ТОМ-2 (Р.ГИЛМОР)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В классической механике центральная роль отводится потенциальным функциям. В квантовой же механике эта роль принадлежит функциям, значениями которых являются операторы. Тот факт, что теория катастроф оказывается полезным инструментом в классической физике, не вызывает особого удивления, но то, что она столь же полезна в квантовой механике, может показаться неожиданным. Чтобы несколько ослабить впечатление, заметим, что многие результаты в квантовой механике могут быть получены путем непосредственного применения вариационных принципов (Рэлея — Ритца, Хартри, Хартри — Фока) к классическим функциям. Этими функциями часто являются значения операторов, усредненные по пробным волновым функциям. Именно на этом пути мы и попробуем найти связь между квантовой и классической механикой.

Операторы, с которыми мы имеем дело, можно̀ построить из бозонных и фермионных операторов. Они подчиняются отношениям коммутативности и антикоммутативности:
[bi,bj]=δij,{fi,fj+}=δij,[bi,bj]=0,{fi,fj}=0,[bi+,bj+]=0,{fi+,fj+}=0,

где
[A,B]=ABBA и {A,B}=AB+BA.

Здесь bi,bi — операторы «рождения» и «уничтожения» бозона для i-го состояния, а fj,fj — операторы рождения и уничтожения фермиона для j-го состояния. Все до сих пор открытые элементарные частицы с целыми (полуцелыми) спинами являются бозонами (фермионами).

Фермионные операторы для единичного состояния действуют в двумерном гильбертовом пространстве с базисными векторами |0,|1 следующим образом:
f+|0=|1,f|1=0,f|0=0,f|1=|0.

Бозонные операторы для единичного состояния действуют в бесконечномерном гильбертовом пространстве с базисными векторами |n,n=0,1,2, (представление Фока), следующим образом:
bt|n=n+1n+1,b|n=n|n1.

Билинейные комбинации bibj,fifj бозонных и фермионных операторов замкнуты относительно коммутативности. Например,
[ai+aj,ar+as]=ai+asδjrar+ajδsi,

где a=b или a=f. Это можно показать, исходя из следующего общего свойства коммутирующих операторов:
[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].

Данное свойство часто называют деривацией, поскольку оно обобщает обычную операцию дифференцирования на класс операторов.
Множество операторов, замкнутых по отношению к коммутативности, порождает алгебру Ли. Множество операторов ai+aj(1i,jr) порождает алгебру Ли u(r) для a=b или
a=f. Ниже эта алгебраическая структура будет явно использована для замены q-чисел (огераторов) c-числами (функциями), которая является центральным моментом в настоящей серии приложений теории катастроф к квантовой механике. Пусть A,B,C(r×r)-матрицы, причем [A,B]=C. Определим операторы A=ai+Aijaj и B,C аналогичным образом. Тогда
[A,B]=C[A,B]=C

Короче говоря, существует изоморфизм между матричными алгебрами Ли и операторными алгебрами Ли, основанными на билинейных комбинациях ai+aj бозонных или фермионных операторов.

Операторы aiaj сохраняют численность. Если в k-м состоянии имеется nk частиц и N=k=1rnk, то в результате применения оператора aiaj в i-м состоянии появится еще одна частица, в j-м состоянии станет одной частицей меньше, а число частиц в остальных состояниях не изменится. Короче говоря, операторы ai+aj(ieqj ) перемещают частицы. Такие операторы часто называют операторами сдзига. Все операторы сдвига коммутируют с оператором полной численности
P=i=1rni,ni=aiai.

Если имеется только одна частица, то операторы aiaj можно заменить операторами проектирования
ai+aj|ij|.

Здесь |i-состояние, в котором одна частица пребывает в i-м состоянии (или на i-м уровне) и нет частиц в других состояниях. Иная эквивалентная интерпретация, иногда оказывающаяся полезной, состоит в том, что частица имеет r возможных состояний |1,|2,,|r и оператор aiaj перемещает частицу из j-го состояния в i-е состояние.

1
Оглавление
email@scask.ru