В классической механике центральная роль отводится потенциальным функциям. В квантовой же механике эта роль принадлежит функциям, значениями которых являются операторы. Тот факт, что теория катастроф оказывается полезным инструментом в классической физике, не вызывает особого удивления, но то, что она столь же полезна в квантовой механике, может показаться неожиданным. Чтобы несколько ослабить впечатление, заметим, что многие результаты в квантовой механике могут быть получены путем непосредственного применения вариационных принципов (Рэлея — Ритца, Хартри, Хартри — Фока) к классическим функциям. Этими функциями часто являются значения операторов, усредненные по пробным волновым функциям. Именно на этом пути мы и попробуем найти связь между квантовой и классической механикой.

Операторы, с которыми мы имеем дело, можно̀ построить из бозонных и фермионных операторов. Они подчиняются отношениям коммутативности и антикоммутативности:
$$\begin{array}{rl}[b_i,b_j^{†}]={\delta }_{ij},& \{f_i,f_j^{+}\}={\delta }_{ij},\\ [b_i,b_j]=0,& \{f_i,f_j\}=0,\\ [b_i^{+},b_j^{+}]=0,& \{f_i^{+},f_j^{+}\}=0,\end{array}$$

где
$$[A,B]=AB-BA\text{ и }\{A,B\}=AB+BA.$$

Здесь $b_i^{†},b_i$ — операторы «рождения» и «уничтожения» бозона для $i$-го состояния, а $f_j^{†},f_j$ — операторы рождения и уничтожения фермиона для $j$-го состояния. Все до сих пор открытые элементарные частицы с целыми (полуцелыми) спинами являются бозонами (фермионами).

Фермионные операторы для единичного состояния действуют в двумерном гильбертовом пространстве с базисными векторами $|0⟩,|1⟩$ следующим образом:
$$\begin{array}{rlrl}{f}^{+}|0⟩& =|1⟩,& f^{†}|1⟩& =0,\\ f|0⟩& =0,& f|1⟩& =|0⟩.\end{array}$$

Бозонные операторы для единичного состояния действуют в бесконечномерном гильбертовом пространстве с базисными векторами $|n⟩,n=0,1,2,\dots$ (представление Фока), следующим образом:
$$\begin{array}{l}{b}^{\mathit{t}}|n⟩=\sqrt{n+1}\mid n+1^{\prime },\\ b|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩.\end{array}$$

Билинейные комбинации $b_i^{†}{b}_j,f_i^{†}{f}_j$ бозонных и фермионных операторов замкнуты относительно коммутативности. Например,
$$[a_i^{+}{a}_j,a_r^{+}{a}_s]=a_i^{+}{a}_s{\delta }_{jr}-a_r^{+}{a}_j{\delta }_{si},$$

где $a=b$ или $a=f$. Это можно показать, исходя из следующего общего свойства коммутирующих операторов:
$$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$$

Данное свойство часто называют деривацией, поскольку оно обобщает обычную операцию дифференцирования на класс операторов.
$\diamond \diamond \diamond$ Множество операторов, замкнутых по отношению к коммутативности, порождает алгебру Ли. Множество операторов $a_i^{+}{a}_j(1⩽i,j⩽r)$ порождает алгебру Ли $\mathfrak{u}(r)$ для $a=b$ или
$a=f$. Ниже эта алгебраическая структура будет явно использована для замены $q$-чисел (огераторов) $c$-числами (функциями), которая является центральным моментом в настоящей серии приложений теории катастроф к квантовой механике. $\diamond \diamond \diamond$ Пусть $A,B,C-(r\times r)$-матрицы, причем $[A,B]=C$. Определим операторы $\mathcal{A}=a_i^{+}{A}_{ij}{a}_j$ и $\mathcal{B},\mathcal{C}$ аналогичным образом. Тогда
$$[A,B]=C\iff [\mathcal{A},\mathcal{B}]=\mathcal{C}\text{. }$$

Короче говоря, существует изоморфизм между матричными алгебрами Ли и операторными алгебрами Ли, основанными на билинейных комбинациях $a_i^{+}{a}_j$ бозонных или фермионных операторов.

Операторы $a_i^{†}{a}_j$ сохраняют численность. Если в $k$-м состоянии имеется $n_k$ частиц и $N=\sum _{k=1}^r{n}_k$, то в результате применения оператора $a_i^{†}{a}_j$ в $i$-м состоянии появится еще одна частица, в $j$-м состоянии станет одной частицей меньше, а число частиц в остальных состояниях не изменится. Короче говоря, операторы $a_i^{+}{a}_j(ieqj$ ) перемещают частицы. Такие операторы часто называют операторами сдзига. Все операторы сдвига коммутируют с оператором полной численности
$$\mathcal{P}=\sum _{i=1}^r{n}_i,n_i=a_i^{†}{a}_i.$$

Если имеется только одна частица, то операторы $a_i^{†}{a}_j$ можно заменить операторами проектирования
$$a_i^{+}{a}_j\iff |i⟩⟨j|.$$

Здесь $|i⟩$-состояние, в котором одна частица пребывает в $i$-м состоянии (или на $i$-м уровне) и нет частиц в других состояниях. Иная эквивалентная интерпретация, иногда оказывающаяся полезной, состоит в том, что частица имеет $r$ возможных состояний $|1⟩,|2⟩,\dots ,|r⟩$ и оператор $a_i^{†}{a}_j$ перемещает частицу из $j$-го состояния в $i$-е состояние.