В классической механике центральная роль отводится потенциальным функциям. В квантовой же механике эта роль принадлежит функциям, значениями которых являются операторы. Тот факт, что теория катастроф оказывается полезным инструментом в классической физике, не вызывает особого удивления, но то, что она столь же полезна в квантовой механике, может показаться неожиданным. Чтобы несколько ослабить впечатление, заметим, что многие результаты в квантовой механике могут быть получены путем непосредственного применения вариационных принципов (Рэлея – Ритца, Хартри, Хартри – Фока) к классическим функциям. Этими функциями часто являются значения операторов, усредненные по пробным волновым функциям. Именно на этом пути мы и попробуем найти связь между квантовой и классической механикой.

Операторы, с которыми мы имеем дело, можно̀ построить из бозонных и фермионных операторов. Они подчиняются отношениям коммутативности и антикоммутативности:
\[
\begin{aligned}
{\left[b_{i}, b_{j}^{\dagger}\right]=\delta_{i j}, } & \left\{f_{i}, f_{j}^{+}\right\}=\delta_{i j}, \\
{\left[b_{i}, b_{j}\right]=0, } & \left\{f_{i}, f_{j}\right\}=0, \\
{\left[b_{i}^{+}, b_{j}^{+}\right]=0, } & \left\{f_{i}^{+}, f_{j}^{+}\right\}=0,
\end{aligned}
\]

где
\[
[A, B]=A B-B A \quad \text { и }\{A, B\}=A B+B A .
\]

Здесь $b_{i}^{\dagger}, b_{i}$ – операторы «рождения» и «уничтожения» бозона для $i$-го состояния, а $f_{j}^{\dagger}, f_{j}$ – операторы рождения и уничтожения фермиона для $j$-го состояния. Все до сих пор открытые элементарные частицы с целыми (полуцелыми) спинами являются бозонами (фермионами).

Фермионные операторы для единичного состояния действуют в двумерном гильбертовом пространстве с базисными векторами $|0\rangle,|1\rangle$ следующим образом:
\[
\begin{aligned}
f^{+}|0\rangle & =|1\rangle, & f^{\dagger}|1\rangle & =0, \\
f|0\rangle & =0, & f|1\rangle & =|0\rangle .
\end{aligned}
\]

Бозонные операторы для единичного состояния действуют в бесконечномерном гильбертовом пространстве с базисными векторами $|n\rangle, n=0,1,2, \ldots$ (представление Фока), следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
b^{\boldsymbol{t}}|n\rangle=\sqrt{n+1} \mid n+1^{\prime}, \\
b|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle .
\end{array}
\]

Билинейные комбинации $b_{i}^{\dagger} b_{j}, f_{i}^{\dagger} f_{j}$ бозонных и фермионных операторов замкнуты относительно коммутативности. Например,
\[
\left[a_{i}^{+} a_{j}, a_{r}^{+} a_{s}\right]=a_{i}^{+} a_{s} \delta_{j r}-a_{r}^{+} a_{j} \delta_{s i},
\]

где $a=b$ или $a=f$. Это можно показать, исходя из следующего общего свойства коммутирующих операторов:
\[
[A, B C]=[A, B] C+B[A, C] .
\]

Данное свойство часто называют деривацией, поскольку оно обобщает обычную операцию дифференцирования на класс операторов.
$\diamond \diamond \diamond$ Множество операторов, замкнутых по отношению к коммутативности, порождает алгебру Ли. Множество операторов $a_{i}^{+} a_{j}(1 \leqslant i, j \leqslant r)$ порождает алгебру Ли $\mathfrak{u}(r)$ для $a=b$ или
$a=f$. Ниже эта алгебраическая структура будет явно использована для замены $q$-чисел (огераторов) $c$-числами (функциями), которая является центральным моментом в настоящей серии приложений теории катастроф к квантовой механике. $\diamond \diamond \diamond$ Пусть $A, B, C-(r \times r)$-матрицы, причем $[A, B]=C$. Определим операторы $\mathscr{A}=a_{i}^{+} A_{i j} a_{j}$ и $\mathscr{B}, \mathscr{C}$ аналогичным образом. Тогда
\[
[A, B]=C \Leftrightarrow[\mathscr{A}, \mathscr{B}]=\mathscr{C} \text {. }
\]

Короче говоря, существует изоморфизм между матричными алгебрами Ли и операторными алгебрами Ли, основанными на билинейных комбинациях $a_{i}^{+} a_{j}$ бозонных или фермионных операторов.

Операторы $a_{i}^{\dagger} a_{j}$ сохраняют численность. Если в $k$-м состоянии имеется $n_{k}$ частиц и $N=\sum_{k=1}^{r} n_{k}$, то в результате применения оператора $a_{i}^{\dagger} a_{j}$ в $i$-м состоянии появится еще одна частица, в $j$-м состоянии станет одной частицей меньше, а число частиц в остальных состояниях не изменится. Короче говоря, операторы $a_{i}^{+} a_{j}(i
eq j$ ) перемещают частицы. Такие операторы часто называют операторами сдзига. Все операторы сдвига коммутируют с оператором полной численности
\[
\mathscr{P}=\sum_{i=1}^{r} n_{i}, \quad n_{i}=a_{i}^{\dagger} a_{i} .
\]

Если имеется только одна частица, то операторы $a_{i}^{\dagger} a_{j}$ можно заменить операторами проектирования
\[
a_{i}^{+} a_{j} \Leftrightarrow|i\rangle\langle j| .
\]

Здесь $|i\rangle$-состояние, в котором одна частица пребывает в $i$-м состоянии (или на $i$-м уровне) и нет частиц в других состояниях. Иная эквивалентная интерпретация, иногда оказывающаяся полезной, состоит в том, что частица имеет $r$ возможных состояний $|1\rangle,|2\rangle, \ldots,|r\rangle$ и оператор $a_{i}^{\dagger} a_{j}$ перемещает частицу из $j$-го состояния в $i$-е состояние.