6. ВЫводы

Автономные динамические системы сложнее градиентных динамических систем и потому имеют более сложную структуру. Они сводятся к градиентным в том случае, когда $(\mathrm{rot}F{)}_{ij}=$ $=\partial F_i/\partial x_i-\partial F_i/\partial x_j=F_{ii}-F_{ij}=0$. В критической точке динамическая система локально эквивалентна градиентной, если она имеет различные действительные собственные значения.

Для изучения автономных динамических систем пригодны многие положения и методы, разработанные для анализа градиентных систем. Критическими точками автономных динамических систем являются точки $x^0\in {\mathbb{R}}^n$, в которых вынуждающая сила $F$ равна нулю. В критических точках возможно вырождение. Вырождение связано с бифуркациями, и от него можно избавиться морсификацией. Для глобального описания двумерных динамических систем особенно удобным оказывается метод фазового портрета.

Динамические и структурные свойства устойчивости динамической системы определяются собственными значениями матрицы устойчивости $F_{ij}$ в критической точке. Матрицы $F_{ij}$ параметризуютея точками пространства ${\mathbb{R}}^{n^2}$. Сепаратриса точек пространств ${\mathbb{R}}^{n^2}$, описывающих структурно неустойчивые системы, определяется из условия $S_a{S}_b=0$, где $S_a$ и $S_b$ выражаются через собственные значения ${\lambda }_i$ матрицы $F_{ij}$ (19.12). Компоненты сепаратрисы, определяемые из условий $S_a=0,S_{b}eq0$, описывают структурно неустойчивые системы с изолированными критическими точками, а компоненты сепаратрисы, определяемые условием $S_b=0$, описывают вырожденные критические точки и определяют бифуркационное множество. Были рассмотрены трехмерные компоненты сепаратрисы в $R^4$ для двумерных динамических систем, а также $n$-мерный случай.

Был проведен анализ возмущения вокруг компонент сепаратрисы, определяемых условиями $S_a=0,S_{b}eq0$. Такие возмущения качественно влияют на свойства критической точки, но при этом число критических точек остается прежним.

Трехмерные компоненты бифуркационного множества в ${\mathbb{R}}^4$ описывают вырожденные критические точки двух различных типов; изучались дважды вырожденная критическая точка типа «седло — узел» и ее деформации.

Мы встретились с новым типом динамически неустойчивого поведения — вихрем, или центром. Возмущения центров приводят к описаниям суб- и суперкритических бифуркаций Хопфа. Бифуркации Хопфа в двумерных динамических системах с одним или более управляющими параметрами тесно связаны с симметрическими катастрофами типа $A_{\pm (2k+1)}$.

В 1-параметрических семействах двумерных динамических систем структурно устойчивым образом могут встретиться только седло-узлы и точки бифуркации Хопфа.

Общую программу исследования свойств автономных динамических систем в духе представлений и методов элементарной теории катастроф можно сформулировать следующим образом:
— определить бифуркационное множество в ${\mathbb{R}}^{n^2}$, связанное с матрицей устойчивости $F_{ij}$ (19.12б);
— построить наиболее общую деформацию для динамических систем, описывающихся точками каждой компоненты определенного бифуркационного множества;
— определить геометрические свойства каждой построенной деформации.
Эта программа выходит за рамки настоящей книги.
$\diamond \diamond \diamond$ Английский перевод статьи [1] можно найти в работе [2]. Качественная топологическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений изложена в работе [3].

Литература
1. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Lösung von einer stationären eines Differentialsystems, Ber. Math.-Phys. Kl. der Säch. Akad. der Wiss. zu Leipzig, 94 (19 Januar 1942).
2. Marsden J. E, McCracker M. The Hopf bifurcation and its applications, New York: Springer, 1976. [Имеется перевод: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980.]
3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1975.