6. ВЫводы

Автономные динамические системы сложнее градиентных динамических систем и потому имеют более сложную структуру. Они сводятся к градиентным в том случае, когда $(\operatorname{rot} F)_{i j}=$ $=\partial F_{i} / \partial x_{i}-\partial F_{i} / \partial x_{j}=F_{i i}-F_{i j}=0$. В критической точке динамическая система локально эквивалентна градиентной, если она имеет различные действительные собственные значения.

Для изучения автономных динамических систем пригодны многие положения и методы, разработанные для анализа градиентных систем. Критическими точками автономных динамических систем являются точки $x^{0} \in \mathbb{R}^{n}$, в которых вынуждающая сила $F$ равна нулю. В критических точках возможно вырождение. Вырождение связано с бифуркациями, и от него можно избавиться морсификацией. Для глобального описания двумерных динамических систем особенно удобным оказывается метод фазового портрета.

Динамические и структурные свойства устойчивости динамической системы определяются собственными значениями матрицы устойчивости $F_{i j}$ в критической точке. Матрицы $F_{i j}$ параметризуютея точками пространства $\mathbb{R}^{n^{2}}$. Сепаратриса точек пространств $\mathbb{R}^{n^{2}}$, описывающих структурно неустойчивые системы, определяется из условия $S_{a} S_{b}=0$, где $S_{a}$ и $S_{b}$ выражаются через собственные значения $\lambda_{i}$ матрицы $F_{i j}$ (19.12). Компоненты сепаратрисы, определяемые из условий $S_{a}=0, S_{b}
eq 0$, описывают структурно неустойчивые системы с изолированными критическими точками, а компоненты сепаратрисы, определяемые условием $S_{b}=0$, описывают вырожденные критические точки и определяют бифуркационное множество. Были рассмотрены трехмерные компоненты сепаратрисы в $R^{4}$ для двумерных динамических систем, а также $n$-мерный случай.

Был проведен анализ возмущения вокруг компонент сепаратрисы, определяемых условиями $S_{a}=0, S_{b}
eq 0$. Такие возмущения качественно влияют на свойства критической точки, но при этом число критических точек остается прежним.

Трехмерные компоненты бифуркационного множества в $\mathbb{R}^{4}$ описывают вырожденные критические точки двух различных типов; изучались дважды вырожденная критическая точка типа «седло – узел» и ее деформации.

Мы встретились с новым типом динамически неустойчивого поведения – вихрем, или центром. Возмущения центров приводят к описаниям суб- и суперкритических бифуркаций Хопфа. Бифуркации Хопфа в двумерных динамических системах с одним или более управляющими параметрами тесно связаны с симметрическими катастрофами типа $A_{ \pm(2 k+1)}$.

В 1-параметрических семействах двумерных динамических систем структурно устойчивым образом могут встретиться только седло-узлы и точки бифуркации Хопфа.

Общую программу исследования свойств автономных динамических систем в духе представлений и методов элементарной теории катастроф можно сформулировать следующим образом:
– определить бифуркационное множество в $\mathbb{R}^{n^{2}}$, связанное с матрицей устойчивости $F_{i j}$ (19.12б);
– построить наиболее общую деформацию для динамических систем, описывающихся точками каждой компоненты определенного бифуркационного множества;
– определить геометрические свойства каждой построенной деформации.
Эта программа выходит за рамки настоящей книги.
$\diamond \diamond \diamond$ Английский перевод статьи [1] можно найти в работе [2]. Качественная топологическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений изложена в работе [3].

Литература
1. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Lösung von einer stationären eines Differentialsystems, Ber. Math.-Phys. Kl. der Säch. Akad. der Wiss. zu Leipzig, 94 (19 Januar 1942).
2. Marsden J. E, McCracker M. The Hopf bifurcation and its applications, New York: Springer, 1976. [Имеется перевод: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. – М.: Мир, 1980.]
3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975.