До сих пор рассматривались только «типичные» функции или семейства функций, т. е. «находящиеся в общем положении». Это означает, что члены ряда Тейлора при разложении функции в окрестности любой точки независимы и что на них не накладывается никаких органичений. Если на систему наложены какие-либо ограничения симметрии, то они проявятся в виде ограничений на члены ряда Тейлора при разложении потенциальной функции в ряд в окрестности некоторой точки.

Попытаемся распространить теорию катастроф на класс симметричных функций. Для этого рассмотрим функцию $F(x, y ; c)$ двух переменных состояния $(x, y)$ и $k$ управляющих параметров $c \in \mathbb{R}^{k}$; будем предполагать, что $F$ имеет критическую точку в начале системы координат, и рассмотрим отдельно влияние четырех различных органичений симметрии на разложение в ряд Тейлора.

Пример 1. $F(x, y ; c)$ не меняется при замене $x \rightarrow \pm x$. Ряд Тейлора может содержать только четные степени $x$ :
\[
F(x, y ; c)=F_{00}+F_{20} x^{2}+F_{02} y^{2}+F_{40} x^{4}+\ldots .
\]

Поскольку $\partial^{p+q} F / \partial x^{p} \partial y^{q}=F_{p q}=(-)^{p} F_{p q}$, все коэффициенты $F_{p q}$ с нечетным $p$ должны быть равны нулю; $F_{01}$ также равно нулю, поскольку начало системы координат является критической точкой.

Пример 2. $F(x, y ; c)$ не меняется при замене $x \rightarrow \pm x$ и $y \rightarrow \pm y$. При наложении таких ограничений симметрии $F_{p q}=(-)^{p} F_{p q}=(-)^{q} F_{p q}=$ $=(-)^{p+q} F_{p q}$, поэтому все коэффициенты с нечетными $p$ или $q$ должны быть равны нулю, и
\[
F(x, y ; c)=F_{00}+F_{01} y+F_{20} x^{2}+F_{02} y^{2}+F_{21} x^{2} y+\ldots .
\]

Пример 3. $F(x, y ; c)$ инвариантна относительно восьмиэлемөнтной группы $C_{4 v}$, состоящей из отражений относнтельно прямых $x=0, y=0, x=y$, $\boldsymbol{x}=-y$ и вращений на $\pi / 2, \pi, 3 \pi / 2,2 \pi=0$ рад. (Вращения порождаются парой отражений.) Из инвариантности относительно отражений от прямых $x=0, y=0$ вытекают ограничения, обсуждавшиеся выше (разд. 2). Инвариантность относительно отражений ог прямой $x=y$ налагает дополнительное ограничение $F_{p q}=F_{q p}$, поэтому разложение $F(x, y ; c)$ в ряд Тейлора теперь имеет вид
\[
F(x, y ; c)=F_{00}+F_{20}\left(x^{2}+y^{2}\right)+F_{40}\left(x^{4}+y^{4}\right)+F_{22} x^{2} y^{2}+\ldots
\]

Пример 4. $F(x, y ; c)$ инвариантна относительно группы вращений:
где
\[
\begin{array}{c}
\left(F\left(x^{\prime}, y^{\prime} ; c\right)=F(x, y ; c) .\right. \\
\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Тогда $F$ является функцией только одного инварианта $\left(r^{2}=x^{2}+y^{2}\right.$ ) группы вращений и
\[
F(x, y ; c)=F_{0}+F_{2} r^{2}+F_{4} r^{4} .
\]

В каждом из приведенных рядов коэффициенты ряда Тейлора являются функциями $k$ управляющих параметров $c$, хотя это явно не указывалось. Теперь с помощью методов, описанных в гл. 3 и 4, для всех типов ограничений симметрии можно изучать канонические формы и универсальные деформации функций $F(x, y ; c)$.
1. Влияние управляющих параметров. Вообще говоря, $k$ управляющих параметров $c$ можно выбрать таким образом, чтобы главные члены ряда Тейлора стали равны нулю. Если $k=3$, главные члены разложения $F(x, y ; c)$ в ряд Тейлора (константы опущены) в соответствии с (17.5i) – (17.5 iv) имеют вид
\[
\begin{aligned}
F(x, y ; c) & \xrightarrow{\mathrm{i}}(0)+F_{03} y^{3}+F_{40} x^{4}+\ldots, \\
& \xrightarrow{\mathrm{ii}}(0)+F_{40} x^{4}+F_{22} x^{2} y^{2}+F_{04} y^{4}+\ldots, \\
& \xrightarrow{\mathrm{ii1}}(0)+F_{60}\left(x^{6}+y^{6}\right)+F_{42} x^{2} y^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+\ldots, \\
& \xrightarrow{\mathrm{iv}}(0)+F_{8} r^{8}+\ldots .
\end{aligned}
\]

В случае (17.5ii) один из трех квадратичных коэффициентов также может быть сделан равным нулю. Результаты, описанные ниже, зависят от того, равен ли нулю член $F_{40}$ или $F_{22}$. В (17.6) члены, заключенные в скобки и помеченные индексом 0 , могут быть сделаны равными нулю соответствующим выбором трех управляющих параметров.
2. Влияние плавного изменения переменных. Определим, от каких членов высшего порядка можно избавиться с помощью нелинейного преобразования, сохраняющего симметрию, и от каких нельзя. Члены, от которых нельзя избавиться, образуют росток $k$-параметрического семейства $F(x, y ; c)$. Эти симметризованные ростки могут зависеть от модулей. Для четырех случаев, рассмотренных выше, можно построить гладкое преобразование, сохраняющее симметрию и приводящее функции из.

(17.6) к следующим каноническим формам:
\[
\begin{array}{l}
= \pm\left(x^{\prime 6}+y^{\prime 6}\right)+a x^{\prime 2} y^{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)= \\
= \pm r^{\prime 8} \text {. } \\
\end{array}
\]
3. Универсальные деформации. После того как с помощью гладкого преобразования переменных функции (17.6) приведе. ны к каноническому виду, желательно найти наиболее общую деформацию получившегося ростка. Если введенная группа симметрий достаточно велика, то универсальная деформация состоит точно из тех членов в (17.6), которые были сделаны равными нулю соответствующим выбором управляющих параметров. Если группа симметрий настолько мала, что при изменении начала системы координат симметрия сохраняется, то в деформацию могут входить линейные члены. Таким образом, в четырех случаях [(17.5) и (17.6)] универсальные деформации имеют вид
\[
\begin{array}{l}
p(x, y) \rightarrow p_{01} y+p_{20} x^{2}+p_{21} x^{2} y, \\
\rightarrow\left\{\begin{array}{ll}
p_{20} x^{2}+p_{02} y^{2}+p_{22} x^{2} y^{2}+p_{40} x^{4}, & F_{40}=0, \\
p_{20} x^{2}+p_{02} y^{2}+p_{22} x^{2} y^{2}, & F_{22}=0,
\end{array}\right. \\
\left.\rightarrow p_{20}\left(x^{2}+y^{2}\right)+p_{40}\left(x^{4}+y^{4}\right)+p_{22} x^{2} y^{2}+\underline{p_{42} x^{2} y^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right.}\right) \text {, } \\
\rightarrow p_{2} r^{2}+p_{4} r^{4}+p_{6} r^{6} . \\
\end{array}
\]

Аналогичная процедура используется и в общем случае. Предположим, что $F$ есть $k$-параметрическое семейство функций $n$ переменных состояния и что $F$ должно быть инвариантно относительно некоторой группы симметрий $G$, действующей в $\mathbb{R}^{n}$. Пусть $\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x), \ldots, \varphi_{i}(x), \ldots$ – однородные неприводимые инвариантные многочлены на $\mathbb{R}^{n}$ относительно $G$, и пусть $\varphi_{i}(x)$ имеет степень $d_{i}$. Полное множество однородных инвариантных многочленов $\varphi_{i}(x)$ можно найти, анализируя характеры, как это было сделано в гл. 11. Тогда разложение $F(x ; c)$ имеет вид
\[
F(x ; c)=\sum F_{p_{1}} \ldots p_{i} \ldots \phi_{1}^{p 1}(x) \ldots \phi_{i}^{p t}(x) \ldots,
\]

где коэффициент $F_{p_{1}} \ldots$…. ряда Тейлора есть коэффициент при члене степени $p_{1} d_{1}+\ldots+p_{i} d_{i}+\ldots$, инвариантном относительно $G$. Будем считать, что $G$ не имеет линейных инвариантов, т.е. $0 \in \mathbb{R}^{n}$ является критической точкой. Тогда элементарная теория катастроф применительно к симметризованной функции (17.9) позволяет (1) расположить коэффициенты $F_{p 1} \ldots$…. в убывающем порядке и выбрать $k$ управляющих параметров так, чтобы первые $k$ ненулевых коэффициентов ряда Тейлора обратились в нуль; (2) найти гладкое преобразование переменных, сохраняющее симметрию и удаляющее «наибольшее число» членов высших порядков. Полученная функция будет ростком функции $F(x ; c)$, инвариантным относительно группы симметрий $G$. При этом универсальная деформация будет содержать члены, первоначально обращенные в нуль соответствующим выбором управлений, и любые члены ростка, умноженные на модуль (такие члены в (17.8 ii) и (17.8 iii) подчеркнуты).

Если предполагается, что $F(x ; c)$ инвариантна относи тельно группы симметрий $G$ (действующей в начале) и что $F(x ; c)$ имеет минимумы (но $x=0$ минимумом не является), то существует несколько значений $x^{0} \in \mathbb{R}^{n}$, в которых $F(x ; c)$ достигает минимума. Более того, группа инвариантности $F(x ; c)$ около $x^{0}$ является подгруппой группы $G$. В $x^{0}$ матрица устойчивости $F$ может быть вырожденной, а может и не быть. Для иллюстрации этих соображений рассмотрим функцию $F(x ; c)$ д действительных переменных состояния $x_{1}, \ldots, x_{n}$, инвариантну относительно действительной ортогональной группы $S O(n)$. Тогда разложение $F(x ; c)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $0 \in \mathbb{R}^{n}$ имеет вид
\[
F(x ; c)=\text { const }+F_{2} r^{2}+F_{4} r^{4}+F_{6} r^{6}+\ldots,
\]

где $r^{2}=x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}$.
При $F_{2}=0$ система претерпевает фазовый переход второго рода, если $F_{4}>0$, и переход нулевого рода, если $F_{4}<0$, а $F_{6}>$ $>0$. Если $F_{4}>0$ и $F_{6}=F_{8}=\ldots=0$, то $F$ имеет минимум при
\[
\begin{array}{c}
r^{2}=-\frac{F_{2}}{2 F_{4}}>0 \text { для } F_{2}<0, \\
F\left(r^{2}=-\frac{F_{2}}{2 F_{4}} ; c\right)=-\frac{F_{2}^{2}}{4 F_{4}}<0,
\end{array}
\]

который не является единственным, поскольку $F$ принимает одинаковые значения во всех точках, находящихся на расстоянии $\left(-F_{2} / 2 F_{4}\right)^{1 / 2}$ от начала координат. Если зафиксировать точку $x^{0}=(0, \ldots, 0, r)$, то $F(x ; c)$ будет инвариантна относительно І руппы вращений $S O(n-1)$, действующей на первые $(n-1)$ координат $x_{1}, \ldots, x_{n-1}$. Матрица устойчивости функции $F$, вычисленная в $x^{0}$ (или в любой эквивалентной точке), имеет единичный ранг: одно собственное значение положительно, $\lambda=$ $=-4 F_{2}>0$, а остальные $n-1$ равны нулю. Такое понижение симметрии при переходе от единственного минимума в $0 \in \mathbb{R}^{n}$
Рис. I7.5. Потенциальная функция $V=x^{2}+y^{2}$ обладает симметрией $O(2)$ относительно точки минимума $(x, y)=(0,0)$. Потенциальная функция $V=-\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ также обладает симметрией $O(2)$ относительно начала. Однако относительно любого другого минимума (например, $\left(x_{0}, y_{0}\right)=$ $=(1 / \sqrt{2}, 0))$ она обладает только симметрией отражения $O(1):(1 / \sqrt{2}+\delta x, \delta y) \rightarrow$ $\rightarrow(1 / \sqrt{2}+\delta x,-\delta y)$.

к неединственному минимуму в $r
eq 0$ иногда называют спонтанным нарушением симметрии. Для случая $n=2$ это понятие иллюстрируется на рис. 17.5 , где парой группа – подгруппа являются $O(2)$ и $O(1)$ (включая отражения).
$\diamond \diamond \diamond$ Большинство физиков (за исключением специалистов по физике твердого тела), к сожалению, в течение длительного времени (1929-1959 гг.) избегали такого мощного математического аппарата, как теория групп. Когда важность этой теории, наконец, стала очевидной, за нее ухватились с такой страстью, как будто пытались наверстать упущенное. Теперь многие физики, в особенности занимающиеся элементарными частицами, используют теорию групп как основной инструмент аналитического исследования. Именно последнее обстоятельство послужило поводом для столь бурного обсуждения «спонтанного нарушения симметрии». Однако в нарушении симметрии нет ничего спонтанного: оно лишь следствие неведомых пока динамических свойств или действия какого-то вариационного принципа. За словом «спонтанный», как за дымовой завесой, скрывают полное незнание математического аппарата для исследования нелинейных эффектов, который в конце концов и дает описание наблюдаемых физических процессов. Именно этот аппарат является центральным элементом в анализе данных явлений. Наличие симметрии обусловливает возможность появления катастроф высших порядков за счет уменьшения числа управляющих параметров. Аналогичное значение могут иметь различные симметрии для данной нелинейной динамической системы. Можно сказать, что нелинейному математическому аппарату принадлежит центральная роль, а симметрии – второстепенная. Симметрия и существует только для того, чтобы ее нарушать. Представление о «спонтанном нарушении симметрии» как о движущей силе некоторого физического процесса означает полное непонимание сущности последнего.