Нелинейные системы, по существу, являются более трудными для изучения, чем их линейные аналоги. Для описания $n$-мерных нелинейных динамических систем мы не располагаем таким широким комплексом теорем, который существует для описания линейных динамических систем. Поэтому лучший выход состоит в том, чтобы найти интересные точки и поверхности в пространстве ${\mathbb{R}}^n$ и вблизи таких инвариантных множеств выполнить линейный анализ устойчивости.

Цель этой главы заключалась в том, чтобы показать, каким более или менее упорядоченным. образом можно подойти к проблеме построения таких интересных инвариантных множеств. Здесь был представлен подобный подход преимущественно графического характера. Размерность такого графического метода зависит от размерности $n$ пространства состояний. Этот метод в упрощенном виде был использован для двумерного графического построения в комплексной плоскости корней усеченной матрицы устойчивости. Подобные методы дают возможность без особых затруднений строить динамические потоки и изолированные нелокальные инвариантные поверхности, а также помогают понять характер возникающих бифуркаций.

Было проведено изучение некоторых интересных нелинейных динамических систем, и среди них структурно устойчивого потока. Рождение такого потока происходит в результате бифуркации Хопфа, что является предельным циклом, топологически эквивалентным окружности $T_1$. По мере увеличения степени нелинейности структурно устойчизого возмущения гармонического осциллятора этот поток становится все более сплюснутым и деформированным. В пределе получим релаксационные колебания.

Кроме того, были изучены потоки в ${\mathbb{R}}^3$ и построен один интересный поток, замыкающийся на себя. В качестве исходного материала послужило одно из базовых нульмерных критических множеств в ${\mathbb{R}}^3(F_{+}^2\times M_0^1)$, а также механизм «обратной связи». Этот поток моделирует поведение простейшей нелинейности динамической системы в ${\mathbb{R}}^3$. Была рассмотрена пара таких нульмерных критических множеств в $R^3$. Их можно было расположить таким образом, чтобы переменная состояния прыгала хаотическим образом от одного фокуеа к другому. Этот результат дает весьма полезную наглядную демонстрацию поведения нелинейных уравнений Лоренца. Несколько подробнее были рассмотрены локальные критические свойства $(r_1,r_f,r_4)$, однако относительно нелокальных бифуркаций $(r_2,r_3)$ мы располагаем довольно скудными сведениями. Подобная система нелинейных уравнений была использована для описания неустойчивости слоя жидкости, подогреваемого снизу, и неустойчивого лазерного излучения.

Показана важность теоремы о центральном многообразии, представляющая собой для динамических систем аналог леммы Тома о расщеплении, предложенный для описания положения равновесия градиентных систем. Использование этой теоремы позволяет уменьшить размерность сложной нелинейной задачи с $n=$ $=\dim {\mathbb{R}}^n$ до $\dim V_c$. Последнее как раз является числом собственных значений матрицы устойчивости $F_{ij}$ с нулевыми действительными частями. Таким образом, исследование бифуркаций исходной динамичесқой системы сводится к исследованию лишь таких бифуркаций, которые могут возникнуть на центральном многообразии. Это обстоятельство служит обоснованием описанных методов определения «неприводимых потоков» для $n$-мерных динамических систем.

В заключение было дано описание картины Рюэля — Тейкенса перехода к турбулентности в результате каскада из четырех, трех или меньшего числа последовательных бифуркаций Хопфа. Приведено обсуждение двух гидродинамических экспериментов, результаты которых согласуются с описанной картиной. По-видимому, с ней согласуются также и наблюдения перехода к турбулентности в оптически бистабильной системе [16].

Литература
1. Zeeman E. C. Catastrophe Theory, Selected Papers 1972-1977, Reading: Addison-Wesley, 1977.
2. Rössler O. E. Different Types of Chaos in Two Simple Differential Equations, Z. Naturforsch., 31a, 1664-1580 (1976).
3. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow, J. Atoms. Sci., 20, 130-141 (1963).
4. Robbins K. A. Periodic Solutions and Bifurcation Structure at High $r$ in the Lorenz Model, SIAM J. Appl., Math., 36, 457-472 (1979).
5. Treve Y. M. Theory of Chaotic Motion with Application to Controlled Fusion Research, in: Topics in Nonlinear Dynamics, A Tribute to Sir Edward Bullard (S. Jorna, Ed.), New York: American Institute of Physics, 1978, pp. 147-220.
6. Saltzman B. Finite Amplitude Free Convection as an Initial Value Problem — 1. J. Atoms Sci., 19, 329-341 (1962).
7. Risren H., Nummedal K. Self-Pulsing in Lasers, J. Appl. Phys., 39, 46624672 (1968).
8. Haken H. Analogy Between Higher Instabilities in Fiulds and Lasers, Phys. Lett., 53A, 77-78 (1975).
9. Arnol’d V. I. Ordinary Differential Equations, Cambridge: M.I.T. Press, 1973.
10. Ruelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence, Commun. Math. Phys., 20, 167-192 (1971).
11. Marsden J. E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications, New York: Springer, 1976.
12. Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurence of Strange Axiom A Attractions Near Quasi — Periodic Flows on $T^m,m⩾3$, Commun. Math. Phys., 64, 35-40 (1978).
13. Gollub J. P., Swinney H. L. Onset of Turbulence in a Rotating Fluid, Phys. Rev. Lett., 35, 927-930 (1975).
14. Gollub J. P., Benson S. V. Chaotic Response to Periodic Perturbation of a Convecting Fluid, Phys. Rev. Lett., 41, 948-951 (1978).
15. Curry J. H. Chaotic Response to Periodic Modulation of a Convecting Fluid, Phys. Rev. Lett., 43, 1013-1016 (1979).
16. Gibbs H. M., Hopf F. A., Kaplan D. L., Schoemaker R. L. Observation of Chaos in Optical Bistability, Phys. Rev. Lett., 46, 474-477 (1981).,