3.1. $n=2$

В критической точке $n$-мерной динамической системы матрица устойчивости $F_{ij}$ может быть представлена точкой пространства ${\mathbb{R}}^{n^2}$. Это пространство разделяется на ряд открытых областей, параметризующих системы с качественно различным изменением динамической устойчивости. Открытые области отделяются одна от другой сепаратрисой в ${\mathbb{R}}^{n^2}$ с компонентами размерности $n^2-1,n^2-2,\dots ,1,0$ и, следовательно, имеющей меру нуль. Сепаратриса параметризует структурно неустойчивые матрицы устойчивости. Структурная неустойчивость может возникать по двум причинам:
1. Два собственных значения или более ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ могут быть равными. Эту часть ${\mathcal{P}}_a$ сепаратрисы можно найти аналитически из выражения
$$S_a\stackrel{\text{ def }}{=}\prod _{j>i=1}^n({\lambda }_i-{\lambda }_i)=0.$$
2. Действительная часть одного (или нескольких) собственного значения может быть равна нулю. Эту часть сепаратрисы ${\mathcal{P}}_b$ можно найти аналитически из выражения
$$S_b\stackrel{\text{ def }}{=}\prod _{i=1}^n\left(\mathrm{Re}{\lambda }_i\right)=\prod _{i=1}^n\frac{({\lambda }_i+{\lambda }_i^{\ast })}{2}=0.$$

Структурно устойчивые открытые области в ${\mathbb{R}}^{n^2}$ характеризуются условиями $S_{a}eq0,S_{b}eq0$. Для открытых областей, описывающих динамически устойчивые системы, имеют место неравенства
$$\mathrm{Re}{\lambda }_i<0,i=1,2,\dots ,n.$$

В точках на компонентах сепаратрисы ${\mathcal{P}}_a$, в которых $S_a=$ $=0,S_{b}eq0$, не происходит никаких изменений динамической устойчивости. Эти точки из ${\mathbb{R}}^{n^2}$ определяют структурно неустойчивые, но невырожденные динамические системы. В окрестности любой точки этой компоненты сепаратрисы имеются точки, описывающие изолированные критические точки качественно различных типов, но с одинаковой инерцией (рис. 18.1).

Изменения динамической устойчивости связаны с компонентами сепаратрисы ${\mathcal{D}}_b$, для которых $S_b=0,S_{a}eq0$. Эти точки определяют в ${\mathbb{R}}^{n^2}$ структурно неустойчивые вырожденные динамические системы. Вырожденность критических точек связана с ответвлением новых решений от старых, поэтому компоненты сепаратрисы, определяемые равенством $S_b=0$ (19.12), называют бифуркационным множеством матрицы $F_{ij}$.

Свойства точек пространства ${\mathbb{R}}^n$, определенные алгебраическими условиями (19.12), перечислены в следующей таблице:
$\diamond \diamond \diamond$ Компоненты ${\mathcal{P}}_b$ бифуркагионного множества динамических систем аналогичны компонентам градиентных систем. В обоих случаях точки бифуркационного множества описывают системы с вырожденными критическими точками. Компоненты ${\mathcal{P}}_a$ для динамических систем — аналоги максвелловского множества, т. е. множества точек в пространстве управляющих параметров градиентных систем, описывающих структурно неустойчивые потенциальные функции, для которых критические значения в двух или более критических точках совпадают.

Эти общие замечания можно использовать для упрощения описания сепаратрисы в пространстве ${\mathbb{R}}^4$ матрицы устойчивости двумерных динамических систем. Множество ${\mathcal{P}}_a$, описывающее изолированные, структурно неустойчивые критические точки, определяется соотношениями
$$\begin{array}{ll}{S}_a=({\lambda }_{+}-{\lambda }_{-})=0& \Rightarrow {\omega }^2-r^2-s^2=0,\\ S_{b}eq0& \Rightarrow & \lambda eq0.\end{array}$$

Точки из ${\mathcal{P}}_a$ отвечают динамическим системам с двумя равными ненулевыми собственными значениями. Деформация таких систем приводит к динамической системе с различными действительными собственными значениями.

Бифуркационное множество ${\mathcal{P}}_b$ определяется из (19.12). В случае действительных собственных значений $(r^2+s^2-{\omega }^2>$ $>0$ ) выражение (19.12б) сводится к
$${\lambda }_{+}{\lambda }_{-}=0\Rightarrow {\lambda }^2+{\omega }^2=r^2+s^2,$$

в случае комплексных собственных значений $(r^2+s^2-{\omega }^2<$ $<0$ ) выражение (19.12б) принямает вид
$$\left(\mathrm{Re}{\lambda }_{+}\right)\left(\mathrm{Re}{\lambda }_{-}\right)={\lambda }^2=0\Rightarrow \lambda =0.$$

Қаждое из соотношений (19.14) — (19.16) содержит уравнение, связывающее четыре действительных параметра $(\lambda ,\omega ,r,s)$. В результате в 1-параметрическом семействе двумерной динамической системы $F_{ij}(c)$ можно столкнуться с трехмерными компонентами сепаратрисы, определяемыми соотношениями (19.14)(19.16) при структурно устойчивых вариациях управляющего параметра. Однако невозможно встретиться с двумерной компо-
$$\begin{array}{rl}{\omega }^2& =r^2+s^2,\omega eq0,\\ \lambda & =0,\end{array}$$

изменяя параметр структурно устойчивым образом, если только $F_{ij}(c)$ не зависит от двух или более управляющих параметров.

В соответствии с «принципом лома» целесообразно исследовать деформации таких динамических систем, которые параметризуются точками на сепаратрисе, определяемой соотношениями (19.12). Перейдем к рассмотрению этой задачи.
Возмущения при равных ненулевых собственных значениях
Динамическая система с двумя равными ненулевыми собственными значениями структурно неустойчива по отношению к возмущениям. Двумерной динамической системе, обладающей этим свойством, отвечает точка конуса ${\omega }^2-r^2-s^2=0,\lambda eq0$. Наиболее общая деформация такой динамической системы, оставляющая на месте изолированные критические точки, имеет вид
$$\frac{d{x}_i}{dt}=F_i(x)+\delta F_i(x)=F_{ij}{x}_j+\delta F_{ij}{x}_j+\mathcal{O}(2).$$

Собственные значения матрицы $F_{ij}$ имеют ненулевые действительные части, поэтому при достаточно малых возмущениях $\delta F$ аналогичным свойством будут обладать и собственные значения возмущенной матрицы устойчивости $(F+\delta F{)}_{ij}$. В результате локальные свойства возмущенной системы можно определить, изучая линеаризованную систему
$$\frac{d{x}_i}{dt}=(F+\delta F{)}_{ij}{x}_j.$$

Для двумерной динамической системы, описываемой функцией вида (19.8), положим
$$\delta F=\left[\begin{array}{cc}\delta \lambda +\delta r& \delta s+\delta \omega \\ \delta s-\delta \omega & \delta \lambda -\delta r\end{array}\right].$$

Разность «возмущенных» собственных значений равна
$${\lambda }_{+}^{\prime }-{\lambda }_{-}^{\prime }=2\sqrt{r^{\prime 2}+s^{\prime 2}-{\omega }^{\prime 2}},$$

где $r^{\prime }=r+\delta r$ и т. д. Эта разность есть действительная величина, если точка ( ${\omega }^{\prime },r^{\prime },s^{\prime }$ ) лежит вне конуса, и чисто мнимая, если точка лежит внутри конуса.

Предположим, что система уравнений (19.19) зависит от $k$ управляющих параметров $c$. Тогда координаты $(\lambda ,\omega ,r,s$ ) зависят от $c$. В случае $k=1$ кривая $(\lambda (c),\omega (c),r(c),s(c))\in {\mathbb{R}}^4$ может пересечь конус $r^2+s^2-{\omega }^2=0,\omega eq0,\lambda eq0$ при структурно устойчивом изменении $c$. Эта кривая может проходить как снаружи конуса внутрь, так и наоборот, при этом собственные значения $F$ в «процессе рассеяния» изменяются от пары различных действительных чисел к комплексно сопряженной паре (рис. 19.5).

Если $k⩽3$, то путь в ${\mathbb{R}}^4$ не может проходить через вершину конуса и $\omega =0,\lambda eq0$; если $k⩾3$, то кривую, проходящую через вершину конуса, можно аппроксимировать отрезком прямой. Этот отрезок может либо проходить из конуса наружу, либо целиком лежать вне конуса, за исключением единственной точки пересечения в его вершине. В этом случае получаем «лобовые столкновения» собственных значений (рис. 19.6).

Когда мы имеем дело с градиентной, а не с динамической системой, $\omega =\delta \omega =0$ и путь в подпространстве $\omega =0$ пространства ${\mathbb{R}}^4$ может пройти через вершину конуса $r=s=0,\lambda eq0$ при структурно устойчивой деформации, если $k⩾2$. Тогда «лобовые столкновения» собственных значений происходят так, как показано на рис. $19.6,6$.

Вместо «управляемых» путей в ${\mathbb{R}}^4$ рассмотрим возмущения (или деформации) $\delta F$, которые являются «изотропными» в том смысле, что функция распределения вероятностей для $\delta F$ имеет вид
$$P(\delta \lambda ,\delta \omega ,\delta r,\delta s)=f(\delta \lambda ,(\delta \omega {)}^2+(\delta r{)}^2+(\delta s{)}^2).$$
1. Для 1-параметрического семейства двумерной динамической системы возможно существование изолированных элементов с дважды вырожденными собственными значениями. Деформация такой системы, представимой точкой конуса $r^2+s^2-\frac{1}{2}$ $-{\omega }^2=0,\omega eq0,\lambda eq0$, вызванная случайным возмущением $\delta F$ с функцией распределения (19.22), приведет к динамической системе с различными действительными собственными значениями (с вероятностью $1/2$ ) и комплексно сопряженными собственными значениями (также с вероятностью $1/2$ ). Возмущения, оставляющие собственные значения равными, имеют меру нуль.
2. Два равных ненулевых собственных значения с $\omega =0$ впервые встречаются в 3-параиетрических семействах двумерных динамических систем. В этом случае деформация с функцией распределения вероятностей вида (19.22) приводит к динамической системе с комплексными собственными значениями

Рис. 19.5. Одномерная кривая пространства $R^4$ может структурно устойчивым образом пересекать трехмерную поверхность ${\omega }^2=r^2+s^2$ в изолированных точках. При пересечении этой поверхности два собственных значения «отталкивают друг друга» под прямым углом.

Рис. 19.6. При прохождении кривой управляющих параметров в пространстве через вершину конуса два собственных значения «отталкивают друг друга» как при «лобовом столкновении».

с вероятностью $(1-\cos \pi /4)=1-1/\sqrt{2}$ и различными действительными собственными значениями с вероятностью $1/\sqrt{2}$.
3. В случае градиентных систем вырожденность типа равенства собственных значений впервые встречается в 2 -параметрических семействах. Деформации таких систем приводят к динамическим системам с различными действительными собственными значениями с вероятностью 1 .
3.2. $n>2$

В случае $n>2$ для четкого визуального, геометрического представления свойств линеаризованной матрицы устойчивости $F_{ij}$ и для выяснения, каким образом различные подмножества из ${\mathbb{R}}^{n^2}$, параметризующие матрицу $F_{ij}$ с различными типами вырожденности, соединяются друг с другом, требуются иные методы, чем в случае $n>1$. Один из таких методов, родственный «диаграммному» методу (гл. 7), излагается ниже. Этот метод может быть применен для определения числа существующих открытых связных подмножеств из ${\mathbb{R}}^{n^2}$, параметризующих структурно устойчивые линеаризованные матрицы устойчивости. Кроме того, его можно использовать совместно с «методом стягивания» для определения спектра «присоединений» или «смежностей» открытых множеств, т. е. для выявления «близких» между собой открытых множеств («близкие» означает «имеющие общее пограничное множество»). Комбинация этих методов с методами, изложенными в гл. 14, оказывается полезной при определении структуры сепаратрисы в пространстве ${\mathbb{R}}^{n^2}$.

Отметим прежде всего, что, сколь бы ни было велико $n$, все $n$ собственных значений действительной линеаризованной ( $n\times$ $\times n$ ) -матрицы устойчивости $F$ можно расположить в комплексной плоскости ${\mathbb{C}}^1={\mathbb{R}}^2$. Каждая точка пространства ${\mathbb{R}}^{n^2}$ единственным образом определяет $F_{ij}$ (и наоборот), и каждая $F_{ij}$ единственным образом определяет распределение собственных значений на этой плоскости (но не наоборот). Предположим, что некоторая точка $p\in {\mathbb{R}}^{n^2}$ определяет ( $n\times n$ ) -матрицу $F_{ij}(p)$ и что $F_{ij}(p)$ имеет различные собственные значения, причем все с ненулевыми действительными частями. Тогда все точки, достаточно близкие к $p$, определяют $(n\times n)$-матрицы $F_{ij}(p)+\delta F_{ij}$; все собственные значения этих матриц различны и имеют ненулевые действительные части (т. е. при такой деформации ни одно из собственных значений не пересекает ось мнимых чисел). По этой причине множество точек пространства ${\mathbb{R}}^{n^2}$, параметризующих матрицы $F_{ij}$, для которых (см. (19.12)) $S_{a}eq0,S_{b}eq0$, открыто и плотно в ${\mathbb{R}}^{n^2}$, а соответствующие матрицы структурно устойчивы и образуют плотное подмножество в множестве действительных $(n\times n)$-матриц. Это открытое множество в ${\mathbb{R}}^{n^2}$ есть ${\mathbb{R}}^{n^2}-({\mathcal{P}}_a\cup {\mathcal{S}}_b)$.

Между этими связными открытыми множествами в ${\mathbb{R}}^{n^2}-$ — $({\mathcal{P}}_a\cup {\mathcal{S}}_b)$ и качественно различными распределениями соб. ственных значений $(n\times n)$-матрицы в комплексной области имеется взаимно-однозначное соответствие при условии, что определенным образом учитываются направления движения вокруг каждого фокуса. Диаграммный метод определения геометрии системы в ${\mathbb{R}}^{n^2}$ предусматривает перечисление всех возможных качественно различных распределений собственных значений действительной $(n\times n)$-матрицы в комплексной области. Все собственные значения должны быть различными и иметь ненулевые действительные части; кроме того, предполагается, что каждому распределению соответствует одно связное открытое множество в ${\mathbb{R}}^{n^2}$ и что объединение открытых множеств есть ${\mathbb{R}}^{n^2}-({\mathcal{P}}_a\cup {\mathcal{P}}_b);$ это множество плотно в ${\mathbb{R}}^{n^2}$.

Для иллюстрации диагрампного метода вернемся еще раз к случаю $n=2$ (пример 1) и проанализируем случай $n=3$ (пример 2).

Пример 1. Выяснить геометрические свойства $(2\times 2)$-матрицы устойчивости $F_{ij}$.

Решение. Под геометрией ${\mathbb{R}}^{n^2}$ и геометрией матриц устойчивости мы понимаем одно и то же. Действительная $(2\times 2)$-матрица имеет два собственных значения, которые могут быть действительными или комплексно сопряженными. В первом случас собственные значения могут быть расположены следующим образом: оба слева от нуля, по разные стороны от нуля, оба справа от нуля. Во втором слугае пара собственных значений может лежать либо в левой, либо в правой полуплоскости. Далее вращение вокруг фокуса может быть либо в положительном, либо в отрицательном направлении. Пять различных распределений собственных значений, дополненных информацией о направлении вращения, показаны на рис. 19.7. Қаждой диаграмме соответствует некоторое открытое связное множество в ${\mathbb{R}}^4$ : всего имеется семь открытых связных множеств в ${\mathbb{R}}^4$, и каждое из них параметризует линеаризованную динамическую систему с качественно отличным от других характером поведения.

Пример 2. Выяснить геометрические свойства матриц устойчивости размером $3\times 3$.
$P$ ещение. Все три собственных значения могут быть действительными, или одно из них действительное и пара комплексно сопряженных. Все качественно различные распределения собственных значений показаны на рис. 19.8, при этом для фокусов показана возможность существования двух различных направлений потока. Всего имеется $16(=4+2\cdot 6)$ открытых связных множеств, из которых только пять параметризуют динамически устойчивые системы.

В комбинации с методом стягивания диаграммный метод может быть использован для определения того, какие множества являются соприкасающимися, а какие нет. Другими словами, два открытых множества соприкасаются, если они имеют общее распределение вырожденных собственных значений.

Пример 3. Определить, какие открытые множества в ${\mathbb{R}}^9$, описывающие устойчивые системы, соприкасаются с открытым множеством, имеющим три действительных отрицательных собственных значения.

Рис. 19.7. Два действительных корня могут располагаться в двух полуплоскостях тремя разными способами.
Комплексно сопряженная пара может распэлагаться в одной из полуплоскостей. Такая пара описывает фокус с положительным яли отрицательным направлением движения.

Рис. 19.8. Десять различных возможных расположений собственных значений действительной ( $3\times 3$ )-матрицы.
С учетом направлений движения вокруг фокусов для линеаризованной трехмерной динамической системы возможны 16 качественно различных типов поведения.

Решение. Граница открытого множества (рис. 19.9) определяется равенством $S_a=0$ (19.12a). Три различных собственных значения стягиваются. к вырожденному случаю всеми возможными способами. Все другие открытые

Рис. 19.9. Диаграммы, которые можно «ужать» до одной и той же вырожденной диаграммы, представляют смежные открытые области в пространстве $R^{n^2}$. Все пять указанных устойчивых и качественно различных трехмерных систем смежные.

Рис. 19.10.
a — три структурно устоичивые системы соприкасаются между собои через общую компоненту сепаратрнсы, параметризующую систему с трехкратно вырожденным отрицательным собственным значением; б-многие открытые множества не являются смежными с вырожденной диаграммой (показано одно из них).

множества с одинаковыми стягиваннями соприкасаются и имеют общую указанную компоненту сепаратрисы.

IIример 4. Для ( $5\times 5$ )-матриц устойчивости указать открытые множества, соприкасающиеся по компоненте сепаратрисы, параметризующей матрицы с тремя вырожденными отрицательными собственными значениями и парой комплексно сопряженных собственных значений, лежащей в правой полуплоскости.

Рис. 19.11. Размерности компонент сепаратрисы в пространстве ${\mathbb{R}}^4$ для $(2\times 2)$-матрицы устойчивости.
Қомпоненты с размерностями 0, 1, 2, 3 параметризуют системы с вырождением.
Решение. Требуемые пять открытых множеств изображены на рис. 19.10 , где также показано открытое множество, не «близкое» к этой компоненте сспаратрисы.

Ясно, что диаграммы распределений собственных значений, соответствующих вырождению, описывают точки на сепаратрисе ${\mathcal{C}}_a$ в ${\mathbb{R}}^{n^2}$, однако они характеризуют компоненты этой сепаратрисы не однозначно. Размернссти различных компонент сепаратрисы определяются из жордановой канонической формы, связанной с вырожденной диаграммой, при этом используются методы, изложенные в гл. 14. Эта процедура иллюстрируется на следующих примерах.

Пример 5. Определить структуру сепаратрисы ${\mathcal{P}}_a$ в пространстве, описывающем $(2\times 2)$-матрицы устойчивостю.

Решение. Три открытых множества (рис. 19.11) с двумя корнями в отрицательной полуплоскости имеют единственную общую компоненту. Эта компонента параметризует ( $2\times 2$ )-матрицы с дважды вырожденным отрицательным собственным значением. Матрица устойчивости может иметь вид $\lambda \lambda$ (диагональная) или ${\lambda }^2$ (жорданова верхняя треугольная). Диагональная матрица может встретиться только в 3-параметрических семействах (табл. 14.1), поэтому соответствующая компонента сепаратрисы имеет размерность $1(=4-3)$. Верхняя треугольная матрица ${\lambda }^2$ может встретиться в однопараметрических семействах; она параметризуется $3(=4-1$ )-мерной компонентой сепаратрисы. В терминах параметризации (19.8) два собственных значения могут быть равны, только если ${\omega }^2=r^2+s^2$, т. е. соответствующая точка лежит на поверхности конуса в пространстве ${\mathbb{R}}^3$. Если эта точка находится в вершине $\omega =0(\Rightarrow r=s=0)$, то $\lambda$ может быть любым, соответствующая матрица диагональна и данная компонента сепаратрисы имеет размерность 1. Если $\omega eq0$, то $F_{ij}$ неприводима к диагональному виду. Четыре параметра ( $\lambda ,\omega ,r,s)$ удовлетворяют одному ограничению, поэтому соответствующая компонента сепаратрисы трехмерна.

Аналогичные рассуждения справедливы и в том случае, когда вырожденные собственные значения лежат в правой полуплоскости. Если вырожлено начало, то появляется дополнительное ограничение вида $\lambda =0$. В результате размерности компонент понижаются следующим образом:
$$\begin{array}{l}{\lambda }^2:3\to 0^2:2,\\ \lambda \lambda :1\to 00:0.\end{array}$$
вающих ( $3\times 3$ )-матрицы с тремя вырожденными отрицательными собственными значениями.

Решение. Соответствующими жордановыми формами могут быть ${\lambda }^3$, ${\lambda }^2\lambda ,\lambda \lambda \lambda$. Связанные с ними канонические формы Жордана — Арнольда имеют размерности 2, 4, 8 (табл. 14.1). Поэтому три компоненты сепаратрисы, параметризующие эту вырожденную диаграмму, имеют размерности: 9-2, $9-4$ и $9-8$, т. е. 7,5 и 1 .

Пример 7. Определить размерности компонент сепаратрисы, параметризующих вырожденное распределение, показанное на рис. 19.10.

Решение. Соответствующая структура корней есть $(\lambda {)}^3\alpha \overline{\alpha }$. Трижды вырожденный корень может иметь такую же каноническую жорданову форму, как в примере 6 , поэтому размерности компонент сепаратрисы ${\mathcal{P}}_{\text{a }}$, параметризующих эту вырожденную диаграмму, равны $25-2=23,25-4=21$ и $25-8=17$