3.1. $n=2$

В критической точке $n$-мерной динамической системы матрица устойчивости $F_{i j}$ может быть представлена точкой пространства $\mathbb{R}^{n^{2}}$. Это пространство разделяется на ряд открытых областей, параметризующих системы с качественно различным изменением динамической устойчивости. Открытые области отделяются одна от другой сепаратрисой в $\mathbb{R}^{n^{2}}$ с компонентами размерности $n^{2}-1, n^{2}-2, \ldots, 1,0$ и, следовательно, имеющей меру нуль. Сепаратриса параметризует структурно неустойчивые матрицы устойчивости. Структурная неустойчивость может возникать по двум причинам:
1. Два собственных значения или более $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ могут быть равными. Эту часть $\mathscr{P}_{a}$ сепаратрисы можно найти аналитически из выражения
\[
S_{a} \stackrel{\text { def }}{=} \prod_{j>i=1}^{n}\left(\lambda_{i}-\lambda_{i}\right)=0 .
\]
2. Действительная часть одного (или нескольких) собственного значения может быть равна нулю. Эту часть сепаратрисы $\mathscr{P}_{b}$ можно найти аналитически из выражения
\[
S_{b} \stackrel{\text { def }}{=} \prod_{i=1}^{n}\left(\operatorname{Re} \lambda_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n} \frac{\left(\lambda_{i}+\lambda_{i}^{*}\right)}{2}=0 .
\]

Структурно устойчивые открытые области в $\mathbb{R}^{n^{2}}$ характеризуются условиями $S_{a}
eq 0, S_{b}
eq 0$. Для открытых областей, описывающих динамически устойчивые системы, имеют место неравенства
\[
\operatorname{Re} \lambda_{i}<0, \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

В точках на компонентах сепаратрисы $\mathscr{P}_{a}$, в которых $S_{a}=$ $=0, S_{b}
eq 0$, не происходит никаких изменений динамической устойчивости. Эти точки из $\mathbb{R}^{n^{2}}$ определяют структурно неустойчивые, но невырожденные динамические системы. В окрестности любой точки этой компоненты сепаратрисы имеются точки, описывающие изолированные критические точки качественно различных типов, но с одинаковой инерцией (рис. 18.1).

Изменения динамической устойчивости связаны с компонентами сепаратрисы $\mathscr{D}_{b}$, для которых $S_{b}=0, S_{a}
eq 0$. Эти точки определяют в $\mathbb{R}^{n^{2}}$ структурно неустойчивые вырожденные динамические системы. Вырожденность критических точек связана с ответвлением новых решений от старых, поэтому компоненты сепаратрисы, определяемые равенством $S_{b}=0$ (19.12), называют бифуркационным множеством матрицы $F_{i j}$.

Свойства точек пространства $\mathbb{R}^{n}$, определенные алгебраическими условиями (19.12), перечислены в следующей таблице:
$\diamond \diamond \diamond$ Компоненты $\mathscr{P}_{b}$ бифуркагионного множества динамических систем аналогичны компонентам градиентных систем. В обоих случаях точки бифуркационного множества описывают системы с вырожденными критическими точками. Компоненты $\mathscr{P}_{a}$ для динамических систем – аналоги максвелловского множества, т. е. множества точек в пространстве управляющих параметров градиентных систем, описывающих структурно неустойчивые потенциальные функции, для которых критические значения в двух или более критических точках совпадают.

Эти общие замечания можно использовать для упрощения описания сепаратрисы в пространстве $\mathbb{R}^{4}$ матрицы устойчивости двумерных динамических систем. Множество $\mathscr{P}_{a}$, описывающее изолированные, структурно неустойчивые критические точки, определяется соотношениями
\[
\begin{array}{llr}
S_{a}=\left(\lambda_{+}-\lambda_{-}\right)=0 & \Rightarrow \omega^{2}-r^{2}-s^{2}=0, \\
S_{b}
eq 0 & \Rightarrow & \lambda
eq 0 .
\end{array}
\]

Точки из $\mathscr{P}_{a}$ отвечают динамическим системам с двумя равными ненулевыми собственными значениями. Деформация таких систем приводит к динамической системе с различными действительными собственными значениями.

Бифуркационное множество $\mathscr{P}_{b}$ определяется из (19.12). В случае действительных собственных значений $\left(r^{2}+s^{2}-\omega^{2}>\right.$ $>0$ ) выражение (19.12б) сводится к
\[
\lambda_{+} \lambda_{-}=0 \Rightarrow \lambda^{2}+\omega^{2}=r^{2}+s^{2},
\]

в случае комплексных собственных значений $\left(r^{2}+s^{2}-\omega^{2}<\right.$ $<0$ ) выражение (19.12б) принямает вид
\[
\left(\operatorname{Re} \lambda_{+}\right)\left(\operatorname{Re} \lambda_{-}\right)=\lambda^{2}=0 \Rightarrow \lambda=0 .
\]

Қаждое из соотношений (19.14) – (19.16) содержит уравнение, связывающее четыре действительных параметра $(\lambda, \omega, r, s)$. В результате в 1-параметрическом семействе двумерной динамической системы $F_{i j}(c)$ можно столкнуться с трехмерными компонентами сепаратрисы, определяемыми соотношениями (19.14)(19.16) при структурно устойчивых вариациях управляющего параметра. Однако невозможно встретиться с двумерной компо-
\[
\begin{aligned}
\omega^{2} & =r^{2}+s^{2}, \quad \omega
eq 0, \\
\lambda & =0,
\end{aligned}
\]

изменяя параметр структурно устойчивым образом, если только $F_{i j}(c)$ не зависит от двух или более управляющих параметров.

В соответствии с «принципом лома» целесообразно исследовать деформации таких динамических систем, которые параметризуются точками на сепаратрисе, определяемой соотношениями (19.12). Перейдем к рассмотрению этой задачи.
Возмущения при равных ненулевых собственных значениях
Динамическая система с двумя равными ненулевыми собственными значениями структурно неустойчива по отношению к возмущениям. Двумерной динамической системе, обладающей этим свойством, отвечает точка конуса $\omega^{2}-r^{2}-s^{2}=0, \lambda
eq 0$. Наиболее общая деформация такой динамической системы, оставляющая на месте изолированные критические точки, имеет вид
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=F_{i}(x)+\delta F_{i}(x)=F_{i j} x_{j}+\delta F_{i j} x_{j}+\mathcal{O}(2) .
\]

Собственные значения матрицы $F_{i j}$ имеют ненулевые действительные части, поэтому при достаточно малых возмущениях $\delta F$ аналогичным свойством будут обладать и собственные значения возмущенной матрицы устойчивости $(F+\delta F)_{i j}$. В результате локальные свойства возмущенной системы можно определить, изучая линеаризованную систему
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=(F+\delta F)_{i j} x_{j} .
\]

Для двумерной динамической системы, описываемой функцией вида (19.8), положим
\[
\delta F=\left[\begin{array}{cc}
\delta \lambda+\delta r & \delta s+\delta \omega \\
\delta s-\delta \omega & \delta \lambda-\delta r
\end{array}\right] .
\]

Разность «возмущенных» собственных значений равна
\[
\lambda_{+}^{\prime}-\lambda_{-}^{\prime}=2 \sqrt{r^{\prime 2}+s^{\prime 2}-\omega^{\prime 2}},
\]

где $r^{\prime}=r+\delta r$ и т. д. Эта разность есть действительная величина, если точка ( $\omega^{\prime}, r^{\prime}, s^{\prime}$ ) лежит вне конуса, и чисто мнимая, если точка лежит внутри конуса.

Предположим, что система уравнений (19.19) зависит от $k$ управляющих параметров $c$. Тогда координаты $(\lambda, \omega, r, s$ ) зависят от $c$. В случае $k=1$ кривая $(\lambda(c), \omega(c), r(c), s(c)) \in \mathbb{R}^{4}$ может пересечь конус $r^{2}+s^{2}-\omega^{2}=0, \omega
eq 0, \lambda
eq 0$ при структурно устойчивом изменении $c$. Эта кривая может проходить как снаружи конуса внутрь, так и наоборот, при этом собственные значения $F$ в «процессе рассеяния» изменяются от пары различных действительных чисел к комплексно сопряженной паре (рис. 19.5).

Если $k \leqslant 3$, то путь в $\mathbb{R}^{4}$ не может проходить через вершину конуса и $\omega=0, \lambda
eq 0$; если $k \geqslant 3$, то кривую, проходящую через вершину конуса, можно аппроксимировать отрезком прямой. Этот отрезок может либо проходить из конуса наружу, либо целиком лежать вне конуса, за исключением единственной точки пересечения в его вершине. В этом случае получаем «лобовые столкновения» собственных значений (рис. 19.6).

Когда мы имеем дело с градиентной, а не с динамической системой, $\omega=\delta \omega=0$ и путь в подпространстве $\omega=0$ пространства $\mathbb{R}^{4}$ может пройти через вершину конуса $r=s=0, \lambda
eq 0$ при структурно устойчивой деформации, если $k \geqslant 2$. Тогда «лобовые столкновения» собственных значений происходят так, как показано на рис. $19.6,6$.

Вместо «управляемых» путей в $\mathbb{R}^{4}$ рассмотрим возмущения (или деформации) $\delta F$, которые являются «изотропными» в том смысле, что функция распределения вероятностей для $\delta F$ имеет вид
\[
P(\delta \lambda, \delta \omega, \delta r, \delta s)=f\left(\delta \lambda,(\delta \omega)^{2}+(\delta r)^{2}+(\delta s)^{2}\right) .
\]
1. Для 1-параметрического семейства двумерной динамической системы возможно существование изолированных элементов с дважды вырожденными собственными значениями. Деформация такой системы, представимой точкой конуса $r^{2}+s^{2}-\frac{1}{2}$ $-\omega^{2}=0, \omega
eq 0, \lambda
eq 0$, вызванная случайным возмущением $\delta F$ с функцией распределения (19.22), приведет к динамической системе с различными действительными собственными значениями (с вероятностью $1 / 2$ ) и комплексно сопряженными собственными значениями (также с вероятностью $1 / 2$ ). Возмущения, оставляющие собственные значения равными, имеют меру нуль.
2. Два равных ненулевых собственных значения с $\omega=0$ впервые встречаются в 3-параиетрических семействах двумерных динамических систем. В этом случае деформация с функцией распределения вероятностей вида (19.22) приводит к динамической системе с комплексными собственными значениями

Рис. 19.5. Одномерная кривая пространства $R^{4}$ может структурно устойчивым образом пересекать трехмерную поверхность $\omega^{2}=r^{2}+s^{2}$ в изолированных точках. При пересечении этой поверхности два собственных значения «отталкивают друг друга» под прямым углом.

Рис. 19.6. При прохождении кривой управляющих параметров в пространстве через вершину конуса два собственных значения «отталкивают друг друга» как при «лобовом столкновении».

с вероятностью $(1-\cos \pi / 4)=1-1 / \sqrt{2}$ и различными действительными собственными значениями с вероятностью $1 / \sqrt{2}$.
3. В случае градиентных систем вырожденность типа равенства собственных значений впервые встречается в 2 -параметрических семействах. Деформации таких систем приводят к динамическим системам с различными действительными собственными значениями с вероятностью 1 .
3.2. $n>2$

В случае $n>2$ для четкого визуального, геометрического представления свойств линеаризованной матрицы устойчивости $F_{i j}$ и для выяснения, каким образом различные подмножества из $\mathbb{R}^{n^{2}}$, параметризующие матрицу $F_{i j}$ с различными типами вырожденности, соединяются друг с другом, требуются иные методы, чем в случае $n>1$. Один из таких методов, родственный «диаграммному» методу (гл. 7), излагается ниже. Этот метод может быть применен для определения числа существующих открытых связных подмножеств из $\mathbb{R}^{n^{2}}$, параметризующих структурно устойчивые линеаризованные матрицы устойчивости. Кроме того, его можно использовать совместно с «методом стягивания» для определения спектра «присоединений» или «смежностей» открытых множеств, т. е. для выявления «близких» между собой открытых множеств («близкие» означает «имеющие общее пограничное множество»). Комбинация этих методов с методами, изложенными в гл. 14, оказывается полезной при определении структуры сепаратрисы в пространстве $\mathbb{R}^{n^{2}}$.

Отметим прежде всего, что, сколь бы ни было велико $n$, все $n$ собственных значений действительной линеаризованной ( $n \times$ $\times n$ ) -матрицы устойчивости $F$ можно расположить в комплексной плоскости $\mathbb{C}^{1}=\mathbb{R}^{2}$. Каждая точка пространства $\mathbb{R}^{n^{2}}$ единственным образом определяет $F_{i j}$ (и наоборот), и каждая $F_{i j}$ единственным образом определяет распределение собственных значений на этой плоскости (но не наоборот). Предположим, что некоторая точка $p \in \mathbb{R}^{n^{2}}$ определяет ( $n \times n$ ) -матрицу $F_{i j}(p)$ и что $F_{i j}(p)$ имеет различные собственные значения, причем все с ненулевыми действительными частями. Тогда все точки, достаточно близкие к $p$, определяют $(n \times n)$-матрицы $F_{i j}(p)+\delta F_{i j}$; все собственные значения этих матриц различны и имеют ненулевые действительные части (т. е. при такой деформации ни одно из собственных значений не пересекает ось мнимых чисел). По этой причине множество точек пространства $\mathbb{R}^{n^{2}}$, параметризующих матрицы $F_{i j}$, для которых (см. (19.12)) $S_{a}
eq 0, S_{b}
eq 0$, открыто и плотно в $\mathbb{R}^{n^{2}}$, а соответствующие матрицы структурно устойчивы и образуют плотное подмножество в множестве действительных $(n \times n)$-матриц. Это открытое множество в $\mathbb{R}^{n^{2}}$ есть $\mathbb{R}^{n^{2}}-\left(\mathscr{P}_{a} \cup \mathscr{S}_{b}\right)$.

Между этими связными открытыми множествами в $\mathbb{R}^{n^{2}}-$ – $\left(\mathscr{P}_{a} \cup \mathscr{\mathscr { S }}_{b}\right)$ и качественно различными распределениями соб. ственных значений $(n \times n)$-матрицы в комплексной области имеется взаимно-однозначное соответствие при условии, что определенным образом учитываются направления движения вокруг каждого фокуса. Диаграммный метод определения геометрии системы в $\mathbb{R}^{n^{2}}$ предусматривает перечисление всех возможных качественно различных распределений собственных значений действительной $(n \times n)$-матрицы в комплексной области. Все собственные значения должны быть различными и иметь ненулевые действительные части; кроме того, предполагается, что каждому распределению соответствует одно связное открытое множество в $\mathbb{R}^{n^{2}}$ и что объединение открытых множеств есть $\mathbb{R}^{n^{2}}-\left(\mathscr{P}_{a} \cup \mathscr{P}_{b}\right) ;$ это множество плотно в $\mathbb{R}^{n^{2}}$.

Для иллюстрации диагрампного метода вернемся еще раз к случаю $n=2$ (пример 1) и проанализируем случай $n=3$ (пример 2).

Пример 1. Выяснить геометрические свойства $(2 \times 2)$-матрицы устойчивости $F_{i j}$.

Решение. Под геометрией $\mathbb{R}^{n^{2}}$ и геометрией матриц устойчивости мы понимаем одно и то же. Действительная $(2 \times 2)$-матрица имеет два собственных значения, которые могут быть действительными или комплексно сопряженными. В первом случас собственные значения могут быть расположены следующим образом: оба слева от нуля, по разные стороны от нуля, оба справа от нуля. Во втором слугае пара собственных значений может лежать либо в левой, либо в правой полуплоскости. Далее вращение вокруг фокуса может быть либо в положительном, либо в отрицательном направлении. Пять различных распределений собственных значений, дополненных информацией о направлении вращения, показаны на рис. 19.7. Қаждой диаграмме соответствует некоторое открытое связное множество в $\mathbb{R}^{4}$ : всего имеется семь открытых связных множеств в $\mathbb{R}^{4}$, и каждое из них параметризует линеаризованную динамическую систему с качественно отличным от других характером поведения.

Пример 2. Выяснить геометрические свойства матриц устойчивости размером $3 \times 3$.
$P$ ещение. Все три собственных значения могут быть действительными, или одно из них действительное и пара комплексно сопряженных. Все качественно различные распределения собственных значений показаны на рис. 19.8, при этом для фокусов показана возможность существования двух различных направлений потока. Всего имеется $16(=4+2 \cdot 6)$ открытых связных множеств, из которых только пять параметризуют динамически устойчивые системы.

В комбинации с методом стягивания диаграммный метод может быть использован для определения того, какие множества являются соприкасающимися, а какие нет. Другими словами, два открытых множества соприкасаются, если они имеют общее распределение вырожденных собственных значений.

Пример 3. Определить, какие открытые множества в $\mathbb{R}^{9}$, описывающие устойчивые системы, соприкасаются с открытым множеством, имеющим три действительных отрицательных собственных значения.

Рис. 19.7. Два действительных корня могут располагаться в двух полуплоскостях тремя разными способами.
Комплексно сопряженная пара может распэлагаться в одной из полуплоскостей. Такая пара описывает фокус с положительным яли отрицательным направлением движения.

Рис. 19.8. Десять различных возможных расположений собственных значений действительной ( $3 \times 3$ )-матрицы.
С учетом направлений движения вокруг фокусов для линеаризованной трехмерной динамической системы возможны 16 качественно различных типов поведения.

Решение. Граница открытого множества (рис. 19.9) определяется равенством $S_{a}=0$ (19.12a). Три различных собственных значения стягиваются. к вырожденному случаю всеми возможными способами. Все другие открытые

Рис. 19.9. Диаграммы, которые можно «ужать» до одной и той же вырожденной диаграммы, представляют смежные открытые области в пространстве $R^{n^{2}}$. Все пять указанных устойчивых и качественно различных трехмерных систем смежные.

Рис. 19.10.
a – три структурно устоичивые системы соприкасаются между собои через общую компоненту сепаратрнсы, параметризующую систему с трехкратно вырожденным отрицательным собственным значением; б-многие открытые множества не являются смежными с вырожденной диаграммой (показано одно из них).

множества с одинаковыми стягиваннями соприкасаются и имеют общую указанную компоненту сепаратрисы.

IIример 4. Для ( $5 \times 5$ )-матриц устойчивости указать открытые множества, соприкасающиеся по компоненте сепаратрисы, параметризующей матрицы с тремя вырожденными отрицательными собственными значениями и парой комплексно сопряженных собственных значений, лежащей в правой полуплоскости.

Рис. 19.11. Размерности компонент сепаратрисы в пространстве $\mathbb{R}^{4}$ для $(2 \times 2)$-матрицы устойчивости.
Қомпоненты с размерностями 0, 1, 2, 3 параметризуют системы с вырождением.
Решение. Требуемые пять открытых множеств изображены на рис. 19.10 , где также показано открытое множество, не «близкое» к этой компоненте сспаратрисы.

Ясно, что диаграммы распределений собственных значений, соответствующих вырождению, описывают точки на сепаратрисе $\mathscr{C}_{a}$ в $\mathbb{R}^{n^{2}}$, однако они характеризуют компоненты этой сепаратрисы не однозначно. Размернссти различных компонент сепаратрисы определяются из жордановой канонической формы, связанной с вырожденной диаграммой, при этом используются методы, изложенные в гл. 14. Эта процедура иллюстрируется на следующих примерах.

Пример 5. Определить структуру сепаратрисы $\mathscr{P}_{a}$ в пространстве, описывающем $(2 \times 2)$-матрицы устойчивостю.

Решение. Три открытых множества (рис. 19.11) с двумя корнями в отрицательной полуплоскости имеют единственную общую компоненту. Эта компонента параметризует ( $2 \times 2$ )-матрицы с дважды вырожденным отрицательным собственным значением. Матрица устойчивости может иметь вид $\lambda \lambda$ (диагональная) или $\lambda^{2}$ (жорданова верхняя треугольная). Диагональная матрица может встретиться только в 3-параметрических семействах (табл. 14.1), поэтому соответствующая компонента сепаратрисы имеет размерность $1(=4-3)$. Верхняя треугольная матрица $\lambda^{2}$ может встретиться в однопараметрических семействах; она параметризуется $3(=4-1$ )-мерной компонентой сепаратрисы. В терминах параметризации (19.8) два собственных значения могут быть равны, только если $\omega^{2}=r^{2}+s^{2}$, т. е. соответствующая точка лежит на поверхности конуса в пространстве $\mathbb{R}^{3}$. Если эта точка находится в вершине $\omega=0(\Rightarrow r=s=0)$, то $\lambda$ может быть любым, соответствующая матрица диагональна и данная компонента сепаратрисы имеет размерность 1. Если $\omega
eq 0$, то $F_{i j}$ неприводима к диагональному виду. Четыре параметра ( $\lambda, \omega, r, s)$ удовлетворяют одному ограничению, поэтому соответствующая компонента сепаратрисы трехмерна.

Аналогичные рассуждения справедливы и в том случае, когда вырожденные собственные значения лежат в правой полуплоскости. Если вырожлено начало, то появляется дополнительное ограничение вида $\lambda=0$. В результате размерности компонент понижаются следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{2}: 3 \rightarrow 0^{2}: 2, \\
\lambda \lambda: 1 \rightarrow 00: 0 .
\end{array}
\]
вающих ( $3 \times 3$ )-матрицы с тремя вырожденными отрицательными собственными значениями.

Решение. Соответствующими жордановыми формами могут быть $\lambda^{3}$, $\lambda^{2} \lambda, \lambda \lambda \lambda$. Связанные с ними канонические формы Жордана – Арнольда имеют размерности 2, 4, 8 (табл. 14.1). Поэтому три компоненты сепаратрисы, параметризующие эту вырожденную диаграмму, имеют размерности: 9-2, $9-4$ и $9-8$, т. е. 7,5 и 1 .

Пример 7. Определить размерности компонент сепаратрисы, параметризующих вырожденное распределение, показанное на рис. 19.10.

Решение. Соответствующая структура корней есть $(\lambda)^{3} \alpha \bar{\alpha}$. Трижды вырожденный корень может иметь такую же каноническую жорданову форму, как в примере 6 , поэтому размерности компонент сепаратрисы $\mathscr{P}_{\text {a }}$, параметризующих эту вырожденную диаграмму, равны $25-2=23,25-4=21$ и $25-8=17$