Применяя понятие трансверсальности к пространству усеченных разложений функций в ряд Тейлора, можно получить важнейшую информацию как о функциях, так и о семействах функций. Следствия трансверсальности многообразий и отображений — плотность, устойчивос?ь и возмущения — могут быть использованы для формального обоснования большинства интуитивных соображений, изложенных в гл. 3, и особенно тех, что касались формулы (3.28).

Применяя понятие трансверсальности к членам первой степени разложения в ряд Тейлора, мы установили, что свойство функции иметь изолированную критическую точку является наследственным и устойчивым. При обсуждении поведения второй стегени разложения в ряд Тейлора функции в критической точке было показано, что неморсовские функции с $l$ «плохими» переменными могут устойчиво встречаться в $k$-параметрических семействах функций в том случае, если $k \geqslant l(l+1) / 2$.

Соображения трансверсальности дают также информацию о структуре ростков неморсовской функции в вырожденной критической точке. Например, при $l=1$ в $k$-параметрическом семействе функций имеется возможность устойчиво встречать ростки вида $x^{j}(j \leqslant k+2)$, однако росток $x^{k+3}$ не может уже встречаться наследственно. Случай $l=2$ не может встречаться устойчивым образом в $k$-параметрическом семействе, если только не $k \geqslant 3$. В этом случае росток зависит от членов третьей степени и выше. Кроме того, с помощью замены переменных эти члены можно привести к некоторой канонической форме. Достаточно сказать, что в $k$-параметрическом семействе все квадратичные и кубические члены могут обращаться в нуль устойчиво. Оставшийся росток тогда должен зависеть по крайней мере от одного модуля. Случай $l=3$ может устойчиво встречаться лишь в $k$-параметрическом семействе функций, где $k \geqslant 6$, при этом росток также будет зависеть по крайней мере от одного модуля.

Трансверсальность оказывается чрезвычайно полезным и важным понятием при изучении устойчивости и всюду плотности отображений и функций. В дополнение к ссылкам, использованным в данной главе, трансверсальность рассматривается в работах [3-6].

Литература
1. Thom R. Les singularites des applications differentiables, Ann. Inst. Fourier, 6, 43-87 (1955-1956).
2. Golubitsky M., Guillemin V. Stable Mappings and Their Singularities, New York: Springer, 1973. ГИмеется перевод: Голубицкий M., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. — М.: Мир, 1977.]
3. Abraham R., Robbin J. Transversal Mappings and Flows, New York: Benjamin, 1967.
4. Zeeman E. C. Catastrophe Theory, Selected Papers 1972-1977, Reading: Addison-Wesley, 1967.
5. Poston T., Stewart I. N. Catastrophe Theory and Its Applications, London: Pitman, 1978. [Имеется перевод: Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. — M.: Мир, 1980.]
6. Lu Y-C. Singularity Theory and an Introduction to Catastrophe Theory, New York: Springer, 1976.