3.1. «Спиральный хаос»

Для выяснения типов качественных изменений поведения трехмерной динамической системы рассмотрим динамическую систему \”) типа $F_{+}^{2} \times M_{0}^{1}$ (рис. 20.13,a). Если предположить, что неустойчивый фокус лежит в притягивающей плоскости $(x, y)$, то вблизи критической точки динамические уравнения, описывающие состояние динамической системы в цилиндрических координатах, можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=\gamma_{1} r, \\
\frac{d \theta}{d t}=\omega, \quad \gamma_{1} \gamma_{2}>0 \\
\frac{d z}{d t}=-\gamma_{2} z .
\end{array}
\]

Для того чтобы поведение этой системы характеризовалось некоторыми интересными особенностями, добавим в правые части уравнений (20.21) слагаемые, влияние которых будет заключаться в том, чтобы вернуть поток из окрестности больших значений $r$ и малых, но отличных от нуля $|z|$ в окрестность малых $r$ и больших $|z|$. Сечение такого возвратного потока плоскостью $(r, z)$ показано на рис. 20.17,a. Можно, в частности, выбрать замкнутый поток в плоскости $(r, z), \theta=$ const таким образом, чтобы он был типа релаксационных колебаний (рис. 2017,б). Тогда соответствующие уравнения динамической системы принимают форму
\[
\begin{array}{l}
\dot{z}=\gamma(r-F(z)), \\
\dot{r}=-\gamma^{-1}\left(z-z_{0}\right), \\
\dot{\theta}=\omega .
\end{array}
\]

Описание такого потока оказывается достаточно простым при $\gamma \gg 1, \omega \gg \gamma^{-1}$. Из произвольного начального положения $A$ состояние системы быстро приближается к поверхности вращения $r=F(z)$, затем приводится в быстрое вращение вокруг оси $z$ и одновременно медленно по спирали приближается к точке срыва $C$. Далее состояние системы скачком переходит на нижний лист указанной поверхности вращения в точку $D$ и медленно по спирали приближается к ее краю $E$, откуда скачком переходит на верхний лист в точку $B$, после чего процесс повторяется. Качественная природа скачкообразных переходов $C \rightarrow D$ и $E \rightarrow B$ зависит от отношения $\gamma / \omega$ : если оно велико, состояние системы скачком переходит с одного из листов в точку, расположенную почти под ним или над ним, без существенного вращения вокруг оси $z$ (линейный спуск или подъем); если $\gamma / \omega \ll 1$, то состояние системы часто оказывается вовлеченным
1) Модельные динамические систеиы могут не иметь никакой непосредственной связи с реальной действительностью, тем не менее их изучение является первой отважной попыткой пэиоткрыть ящик Пандоры, содержащий странное поведение динамических систем более чем двух измерений.

Рис. 20.17. Трехмерные пстоки, для которых справедливо соотношение $\dot{\theta}=\omega=$ const.
$a$-предельный цикл гладкий; б – предельный цикл соответствует релаксационным колебаниям. Эти потоки представляют собой предельные циклы в плоскости $(r, z)$ и существуют на устойчивом предельном торе, причем возможно их замыкание на себя.

во вращательное движение вокруг оси $z$ во время скачка с одного листа на другой (винтовой подъем или спуск).

Динамическая система, представленная уравнениями (20.22), может быть названа спиральным хаотическим аттрактором. Очевидно, спиральное движение возникает на поверхностях вращения $B C$ и $D E$. Угол $\theta$ (по модулю $2 \pi$ ), при котором происходят внезапные изменения координаты $z$ ( $\gamma / \omega \gg 1)$, может оказаться случайной величиной. В предельном случае $\gamma / \omega \ll 1$ поведение можно назвать спирально-винтовым хаосом. Такое поведение не является хаотическим. Увеличение угловой координаты во время спирального движения и линейного либо винтового подъема или спуска инвариантно относительно процесса вращения, поэтому «хаос» связан с последовательностью $n \Delta \theta \bmod 2 \pi, n=1,2, \ldots$, где величина $\Delta \theta$ очень велика. Можно получить лучшее приближение к хаосу путем деформирования поверхности $0=r-F(z) \rightarrow f(x, y, z)=0$ таким образом, что она уже не будет поверхностью вращения.

Рёсслером была изучена простая динамическая система $\dot{x}=F(x ; c), x \in \mathbb{R}^{3}, c \in \mathbb{R}^{3}$, в которой проявляется спиральный хаос [2]. Уравнения этой динамической системы имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=-y-z, \\
\dot{y}=x+a y, \\
\dot{z}=b+x z-c z .
\end{array}
\]

Рис. 20.18.
Поток, соответствующий динамической системе (20.23), был рассчитан Рёсслером для разных значений управляющих параметров (a,b,c). Один из таких потоков представлен здесь в стереоскопическом изображении [2]. (Сводя глаза, добейтесь, чтобы обе части рисунка расположились одна над другой, затем примите аспирин.)

Рис. 20.19.
Если динамическая система имеет только две изолированные критические точки типа $F_{+}^{2} \times M_{0}^{1}$, поток может переводить систему из одного состояния в другое между окрестностями двух критических точек «хаотическим» образом.

По-видимому, это будет простейшая из динамических систем, обладающих таким типом поведения, который не встречался у двумерных динамических систем, поскольку $n=3$ и в связи с тем, что она содержит лишь один нелинейный член второй степени. Указанная система дает несколько бифуркаций при изменении управляющих параметров $(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}$. Стереоскопическое изображение траектории этой динамической системы в фазовом пространстве $(x, y, z)$ воспроизведено на рис. 20.18. Видны раскручивающаяся спираль на нижнем листе и закручивающаяся спираль на верхнем листе. (Четко виден также линейный спуск, а о том, как выглядит линейный подъем, можно догадаться.).

3.2. Аттрактор Лоренца

Проанализируем поведение системы в случае двух потоков локального типа $F_{+}^{2}+M_{0}^{1}$ в $\mathbb{R}^{3}$ и попытаемся установить, насколько причудливым оно может оказаться. Для этого воспользуемся рис. 20.19: здесь один поток типа $F_{+}^{2} \times M_{0}^{1}$ помещен в точку $(x, y, z)=\left(x_{0}, y_{0}, 0\right)$, плоскость $(x, y, z=0)$ является притягивающей, а спиральное движение в этой плоскости отталкивающим. Другой поток помещен в точку $\left(0, y_{0},-x_{0}\right)$ плоскости ( $y, z, x=0$ ) и является локально притягивающим в окрестности этой точки, а спиральное движение в указанной плоскости является раскручивающимся. Относительно нелокального поведения таких потоков вдали от упомянутых двух критических точек ничего сказать нельзя.

Состояние системы, первоначально соответствующее точке ( $x_{0}, y_{0}, \varepsilon$ ), будет изменяться по раскручивающейся спирали, оставаясь вблизи плоскости $z=0$ до тех пор, пока оно не окажется на достаточно большом расстоянии от первой критической точки. Тогда становится ощутимым влияние плоскости $x=0$, которая является притягивающей вблизи второй критической точки. Когда состояние системы окажется достаточно близким к этой плоскости, оно начнет раскручиваться по спирали, пока не уйдет достаточно далеко от второй критической точки, после чего начнет притягиваться к локально притягивающей плоскости $z=0$, содержащей первый неустойчивый фокус. Затем процесс повторяется. Поведение системы можно сравнить с поведением мячика для настольного тенниса – она «мечется» между окрестностями двух критических точек типа $F_{+}^{2} \times M_{0}^{1}$, причем такое движение может оказаться хаотическим.

Странный аттрактор подобного типа был подробно исследован Лоренцем [3], которого, в частности, интересовало поведение динамических систем
\[
\dot{x}_{i}=F_{i}(x),
\]

совершающих вынужденное диссипативное движение. Для исследования таких систем может быть использовано разложение в ряд Тейлора действующей силы $F_{i}(x)$ вблизи точки
\[
F_{i}(x)=c_{i}-b_{i j} x_{j}+a_{i j k} x_{j} x_{k}+\mathcal{O}(3) .
\]

Если ограничиться членами второй степени, то можно не выявить сути анализа вынужденных диссипативных систем, однако при этом действительно выявляется нелинейность, достаточно сложная, чтобы занять работой математиков на многие годы. Полезно также предположить, что величина $a_{i j k} x_{i} x_{j} x_{k}$ тождественно обращается в нуль, а форма $b_{i j} x_{i} x_{j}$ является положительно определенной.

Можно ввести простой критерий, позволяющий определить, когда динамическая система (20.24) имеет аттрактор. Предположим, что при $t=t_{0}$ мы вырезаем из пространства состояний объем $V$. В течение времени $t-t_{0}$ каждая точка этого объема сместится в новую точку. Можно попытаться выяснить, как будет при этом меняться объем. Для больших интервалов времени такая задача может оказаться не вполне корректной в связи с тем, что новый «объем» окажется очень пористым (канторовским множеством), однако для малых промежутков времени поставленная задача корректна. В соответствии со сказанным положим $t-t_{0} \rightarrow d t$. За это время каждая точка $V$ пройдет лишь небольшое расстояние. Следовательно, каждая точка, лежащая внутри $V$, перейдет в некоторую точку, также лежащую внутри $V$, за бесконечно малый отрезок времени $d t$. Изменение формы, а значит, и объема $V$ в течение времени $d t$ обусловлено лишь точками поверхности $V$. Поэтому изменение объема определяется поверхностным интегралом
\[
V\left(t_{0}+d t\right)-V\left(t_{0}\right)=\oint_{\partial V} d x_{i} \wedge d S_{i},
\]

где $d S_{i}$ – ориентированный элемент поверхности. Таким образом, скорость изменения объема дается выражением
\[
\frac{d V}{d t}=\oint_{\partial V} \frac{d x_{i}}{d t} \wedge d S_{i}=\oint_{\partial V} F_{i} \wedge d S_{i} .
\]
(Здесь было использовано динамическое уравнение $\dot{x}_{i}=F_{i}$.) Этот поверхностный интеграл связан с дивергенцией векторного поля $F$
\[
\lim _{V \rightarrow 0} \frac{1}{V} \frac{d V}{d t}=\lim _{V \rightarrow 0} \frac{\oint_{\partial V} F_{i} \wedge d S_{i}}{V} \stackrel{\operatorname{def}}{=} \operatorname{div} F .
\]

В локально декартовой системе координат $F=\Sigma \partial F_{i} / \partial x_{i}$. Этот результат можно рассматривать как обобщение теоремы Лиувилля. Недиссипативные потоки в классическом фазовом пространстве бездивергентны, вследствие чего элементы объема фазового пространства в случае гамильтоновых потоков
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}
\]

сохраняются (теорема Лиувилла).
Для ограниченного класса нелинейных систем, определяемых формулами (20.24), имеем $\operatorname{div} c_{i}=0$ и $a_{i j k} x_{j} x_{k}=0$; поэтому
\[
\operatorname{div} F=\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(-b_{i j} x_{j}\right)=-b_{i i}=-\operatorname{tr} b<0 .
\]

Поскольку $b_{i j}$ – постоянные, мера любого объема растет с течением времени как $V(t)=V(0) e^{-t \mathrm{tr} b}$. Потоки, связанные с (20.24б), стягивают объемы к нулю, вследствие чего (20.24б) должны иметь притягивающее множество меры нуль.

Уравнения, подробно изучавшиеся Лоренцем, возникают в связи с задачей Бенара и имеют вид
\[
\begin{array}{lrl}
\dot{x}=-\sigma x+\sigma y, & & \sigma>0, \\
\dot{y}=r x-y & -x z, & r>0, \\
\dot{z}= & -b z+x y, & b>0 .
\end{array}
\]

Два нелинейных слагаемых, очевидно, удовлетворяют условию $a_{i j k} x_{i} x_{j} x_{k}=0$, а линейные слагаемые – условию положительной определенности ( $b_{i j}$ можно сделать симметричными путем подстановки $\left.z \rightarrow z^{\prime}=z-r+\sigma\right)$. Поскольку величина $\operatorname{tr} b=$ $=-(\sigma+1+b)$ отрицательна, мера любого малого объема асимптотически приближается к нулю при $t \rightarrow \infty$, даже если объем окажется сильно искаженным.

Динамическая система (20.28) имеет критическую точку $(x, y, z)=(0,0,0)$ при всех значениях $r$. В случае $r>1$ она имеет две дополнительные критические точки $C, C^{1}$ с координатами
\[
\begin{array}{c}
C: \quad\left(x_{0}, x_{0}, z_{0}\right), \quad z_{0}=r-1, \quad x_{0}=\sqrt{b z_{0}} . \\
C^{\prime}: \quad\left(-x_{0},-x_{0}, z_{0}\right),
\end{array}
\]

Других критических точек у этой системы нет.
Свойства устойчивости указанных критических точек могут быть установлены стандартными методами теории линейной устойчивости. Уравнения (20.28), линеаризованные вблизи любой из критических точек, имеют вид
\[
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}
\delta x \\
\delta y \\
\delta z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
-\sigma & \sigma & 0 \\
r-z & -1 & -x \\
y & x & -b
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\sigma x \\
\sigma y \\
\sigma z
\end{array}\right] .
\]

Для критической точки $(0,0,0)$ характеристическое уравнение записывается следующим образом:
\[
(\lambda+b)\left[\lambda^{2}+(\sigma+1) \lambda+\sigma(1-r)\right]=0 .
\]

Собственные значения, определяемые этим уравнением, таховы:
\[
\begin{array}{l}
\lambda=-\left(\frac{\sigma+1}{2}\right)+\left[\left(\frac{\sigma+1}{2}\right)^{2}-\sigma(1-r)\right]^{1 / 2}, \\
\lambda=-\left(\frac{\sigma+1}{2}\right)-\left[\left(\frac{\sigma+1}{2}\right)^{2}-\sigma(1-r)\right]^{1 / 2}, \\
\lambda=-b .
\end{array}
\]

Рассматриваемая критическая точка будет типа $F_{-}^{2} \times M_{0}^{1}$ при $r<r_{-1}=1-\sigma^{-1}(\sigma+1)^{2} / 4$, типа $M_{0}^{3}$ при $r_{-1} \leqslant r<1$ и типа $M_{1}^{3}$ при $r>1$.

Характеристическое уравнение, соответствующее критическим точкам $C, C^{\prime}$, имеет вид
\[
\lambda^{3}+(\sigma+b+1) \lambda^{2}+(r+\sigma) b \lambda+2 b \sigma(r-1)=0 .
\]

При $r \downarrow 1+$ три собственных значения, определяемые (20.33), имеют следующие пределы:
\[
\begin{array}{l}
\lambda \rightarrow 0^{-}, \\
\lambda \rightarrow-(\sigma+1), \\
\lambda \rightarrow-b .
\end{array}
\]

Таким образом, когда $r$ возрастает до +1 , первое из трех собственных значений (20.32) для критической точки $(0,0,0$ ) увеличивается до нуля. В этой точке происходит бифуркация типа $A_{+3}$, причем две критические точки типа $M_{0}^{3}$ покидают начало координат и их каноническое поведение подчиняется закону квадратного корня (ср. с (20.29)). Указанная бифуркация может быть записана в виде
\[
M_{0}^{3} \xrightarrow{r \rightarrow r_{1}=1} M_{1}^{3}+2 M_{0}^{3} .
\]

В 1-параметрическом семействе уравнений, в которых присутствуют бифуркации, связанные с элементарными катастрофами, можно было бы ожидать «бифуркацию» складки типа $A_{2}$. Однако вместо нее мы обнаруживаем бифуркацию сборки. Это объясняется тем, что вследствие симметрии, присущей уравнениям Лоренца (20.28) (их инвариантность при замене $x \rightarrow$ $\rightarrow-x, y \rightarrow-y, z \rightarrow+z$ ), катастрофа $A_{2}$ подавляется, т. е. остается единственная катастрофа, которая может возникнуть при обычных условиях,- – катастрофа $A_{3}$.

При дальнейшем возрастании величины $r$ и переходе ею значения +1 новых качественных изменений в критической точке, расположенной в начале кординат, не происходит. Два изменення качественного характера возникают для критических точек, соответствующих $C, C^{\prime}$. При некотором промежуточном значении $r_{f}$ два действительных отрицательных собственных значения (20.33) становятся равными. При возрастании $r$ с переходом через значение $r_{f}$ качественная природа точек $C, C^{\prime}$ меняется с устойчивого морсовского седла на устойчивый фокус:
\[
M_{0}^{3} \xrightarrow{r \rightarrow r_{f}=1} M_{1}^{3} \times 2 M_{0}^{3} .
\]

Тогда, если $\sigma>b+1$, то при
\[
r^{4}=\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}
\]

действительная часть пары комплексно сопряженных собственных значений проходит через нуль. Критические точки, соответствующие $C, C^{\prime}$, качественно меняют свой тип с $F_{-}^{2}$ на $F_{+}^{2}$. Изменение свойства динамической устойчивости в фокусе связано с бифуркацией Хопфа. При $r \rightarrow r_{4}$ имеем инверсию бифуркации Хопфа. Неустойчивые предельные циклы, окружающие точки $C, C^{\prime}$ в плоскости, содержащей спиральное движение, стягиваются при $r \rightarrow r_{4}$ в устойчивые фокусы по стандартному степенному закону $\left(r_{4}-r\right)^{1 / 2}$ и в конце концов пропадают. В краткой форме бифуркацию в $r_{4}$ можно записать следующим образом:
\[
F_{-}^{2} \times M_{0}^{1}+T^{1} \times M_{1}^{2} \xrightarrow{r \rightarrow r_{4}} F_{+}^{2} \times M_{0}^{1} .
\]

При $r>r_{4}$ остаются только три критические точки и все они неустойчивые.

Изучение свойств уравнений Лоренца в зависимости от возрастающего параметра $r$ привело нас на «ничейную территорию» при $r>r_{4}$. Для исследования проблем, связанных с ничейной территорией, существует проверенный метод, заключающийся в том, чтобы приближаться к той же области «с другой стороны». В соответствии с этим целесообразно исследовать свойства уравнений Лоренца в зависимости от убывающего параметра $r$. Подобное исследование было выполнено Роббинсом [4]. Результаты этой работы можно сформулировать следующим образом:
– при $1 / r=0$ существует устойчивое симметричное периодическое решение;
– это устойчивое симметритное периодическое решение продолжает существовать при малых $1 / r$, т. е. при достаточно больших $r$;
– при $r=r_{a}$ симметричное периодическое решение теряет свою устойчивость и от него ответвляются два устойчивых асимметричных периодических решения;
– при $r=r_{b}<r_{a}$ каждое асимметричное периодическое решение теряет свою устойчивость, и в результате бифуркации рождается пара двухконтурных решений удвоенного периода;
– при $r=r_{c}<r_{b}$ эти решения теряют свою устойчивость и от каждого двухконтурного решения ответвляется пара четырехконтурных решений, период которых равен учетверенному начальному периоду;
– возникает каскад бифуркаций описанного типа. $2^{n}$-контурные решения теряют свою устойчивость при $r=r_{n}$ и от

Рис. 20.20. Качественные свойства устойчивого аттрактора для уравнения Лоренца (20.28) существенно зависят от величины управляющего параметра $r[4]$.

каждого из них ответвляются два устойчивых $2^{n+1}$-контурных решения. Дочерние решения имеют периоды, равные удвоенным периодам порождающих решений;
– точки бифуркации сходятся к точке сгущения $r_{\infty}$, причем величина $r_{\infty}$ больше, чем $r_{4}$;
– ничейная территория «хаоса» отсутствует при $r_{4}<r<$
$<r_{\infty}$.
Уравнения (20.28) подвергались всестороннему изучению многими авторами, начиная с Лоренца, который проинтегрировал их численно, используя фиксированные значения управ-

Рис. 20.20 (Продолжение.)
ляющих параметров $\sigma=10, b=8 / 3$ и единственный переменный управляющий параметр $r$. Сводка обсуждавшихся выше бифуркационных свойств модели Лоренца представлена на рис. 20.20 .

Проанализируем теперь поведение этих уравнений при увеличении $r$ от нулевого значения. При $0<r<r_{1}=1$ имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Другими словами, любое начальное состояние будет приближаться к началу координат при $t \rightarrow \infty$. Когда $r$ становится близким к единице, возникает критическое замедление, а при достижении величиной $r$ значения +1 начало координат теряет устойчивость и от него ответвляются два морсовских аттрактора $M_{0}^{3}$, причем оба глобально и локально устойчивы. За исключением одномерного множества точек, каждая точка в пространстве состояний $\mathbb{R}^{3}$ будет приближаться к $C$ или $C^{\prime}$ при $t \rightarrow \infty$. С увеличением $r$ до величины $r_{i}=1,345$ происходит качественное изменение $M_{0}^{3} \rightarrow F_{-}^{2} \times M_{0}^{1}$, однако оно не влияет ни на локальную, ни на глобальную устойчивость аттракторов $C, C$.

При увеличении $r$ до значений $r_{2} \approx 13,926$ двє неустойчивые траектории, исходящие из начала координат, возвращаются в начало координат при $t \rightarrow \infty$ [5], при этом аттракторы $C$, $C^{\prime}$ перестают быть глобальными аттракторами. Напротив они окружены окрестностями $N, N^{\prime}$, в которых являются локальными. Точка, исходящая из области, лежащей вне этих окрестностей, может совершать колебательные движения из окрестности $N$ в окрестность $N^{\prime}$ и обратно (не в саму точку $N$ или $N^{\prime}$ ) , по существу, случайным или беспорядочным образом, пока траектория не войдет в точку $N$ или $N^{\prime}$. Затем эта траектория будет завиваться по спирали к $C$ или $C^{\prime}$ с одной фурьекомпонентой частоты. Такое поведение называют метастабильным хаосом. Помимо указанных двух типов поведения существует бесконечно много периодически замкнутых траекторий и бесконечно много неустойчивых турбулентных замкнутых траекторий. Такие траектории имеют меру нуль.

Когда $r$ возрастает, приближаясь к значению $r_{3} \approx 24,06$, мера $N, N^{\prime}$ уменьшается, мера множества точек, из которых может начаться метастабильный хаос, возрастает и возникает некоторое критическое замедление. Время пребывания точки в состоянии метастабильного хаоса до захвата ее окрестностями $N$ или $N^{\prime}$ и вырождения хаоса – увеличивается при $r \rightarrow r_{3}$. В случае $r=r_{3}$ две неустойчнвые траектории, исходящие из начала координат, приближаются к неустойчивой замкнутой траектории при $t \rightarrow \infty$. Когда $t$, возрастая, достигает значения $r_{3}$, множество хаотических отталкивающих центров становится множеством аттракторов. Это множество будет иметь меру нуль, а его область притяжения – положительную меру.

Когда $r$ возрастает, приближаясь к значению $r_{4} \approx 24,74$, неустойчивые предельные циклы $T^{1} \times M_{1}^{2}$ стягиваются к фокусам $F_{-}^{2} \times M_{0}^{1}$, так что окрестности $N, N^{\prime}$ уменьшаются по размерам и мере. Область притяжения хаотического устойчивого аттрактора увеличивается за счет $N, N^{\prime}$. При $r=r_{4}$ возникает инверсия бифуркации Хопфа, при $r>r_{4}$ остается «странный аттрактор».

Проанализируем случай $r>r_{4}$, т. е. критические точки $C$, $C^{\prime}$ будут типа $F_{+}^{2} \times M_{0}^{1}$. Плоскости, содержащие спиральное

Рис. 20.21.
Лоренц предложил полезную эвристическую модель странного аттрактора, содержащую поверхность, распадающуюся при достаточно больших $z$ на два листа, как показано на рисунке. Движенне динамической системы характеризуется чередованием потоков типа $F_{+}^{2} \times M_{0}^{1}$ на верхнем и нижнем лис ах. В действительности такая поверхность нмеет весьма своеобразную топологическую структуру. Для этой системы управляющии параметр $r=28$, а три переменных состояния пересчитаны в масштабе $10: 1$ [3].

движение этих фокусов, устойчивы, несмотря на то что само движение по раскручивающейся спирали неустойчиво. Точка в $\mathrm{R}^{3}$ будет притянута по направлению к этим двум плоскостям. Оказавшись вблизи притягивающей плоскости, эта точка будет захвачена «смерчем» и начнет удаляться по спирали от фокуса. Когда в процессе своего движения точка пересечет плоскость $y=0$, она начнет притягиваться по направлению к другой плоскости, где находится неустойчивый фокус. Точка системы начинает падать по направлению к этому другому фокусу. Когда она приближается к притягивающей плоскости, то начинает по спирали уходить от фокуса. В результате расстояние от второго фокуса должно стать достаточно большим, так что точка должна снова пересечь плоскость $y=0$. Затем точка состояния системы будет притягиваться обратно к центру первого неустойчивого фокуса, и описанное движение повторяется.

Лоренц предложил удобное представление хаотических траекторий, возникающих при $r>r_{4}$ (рис. 20.21). Траектории динамической системы лежат вблизи тонкой (меры нуль) притягивающей двумерной поверхности. При $z<\sim 17$ движение происходит на одном листе, а при $z>\sim 17$ имеем два листа, каждый из которых содержит неустойчивый фокус. Спираль раскручивается (например, против часовой стрелки из точки C) на верхнем листе, пока не пересечет плоскость $y=0$, откуда она начинает раскручиваться из другого фокуса ( $C^{\prime}$ ) в противоположном направлении (по часовой стрелке). Раскручивание спирали из этого фокуса продолжается на нижнем листе, пока она не пересечет плоскость $y=0$, и с этого момента она переносит свою привязанность обратно к точке $C$.

Этот странный аттрактор не является ни двумерной поверхностью, ни спаянным двумерным многообразием. По существу, он представляет собой топологический объект патологической природы. Вместо двух листов, связанных неустойчивыми кривыми, выходящими из начала координат, мы имеем бесконечно много таких листов. Дуга, проходящая через «обложки этой книги» с бесконечным числом листов, пересекает листы по канторовскому множеству.