Одномерная динамическая система $\dot{x}=f(x)$, не зависящая от параметров управления, как правило, имеет только изолированные критические точки, в которых $f(x)=0$. Кроме того, в этих точках обычно $f^{\prime}(x)
eq 0$. Таким образом, одномерная динамическая система содержит критические точки (центры) двух видов – притягивающие и отталкивающие:
\[
\frac{d x}{d t}=k x, \quad k
eq 0 .
\]

Для притягивающего центра $k<0$, для отталкивающего $k>0$ (рис. 20.1).

Рис. 20.1. В одномерной динамической системе изолированная критическая точка может быть либо притягивающей $\left(M_{0}^{1}\right)$, либо отталкивающей $\left(M_{1}^{1}\right)$.

Рис. 20.2.
В случае устоичивого одномерного аттрактора ( $V \approx+x^{2}$ ) добавление составляющей потока в направлении $y$ в форме $\left(+y^{2},-y^{2}, y\right.$ ) приводит к возникновению критических точек типа $M_{0}^{2}$ и $M_{1}^{2}$, а также критического потока типа $T^{1} \times M_{0}^{1}$ после того, как поток замкнется на себя.

В связи с этим возникает вопрос: какого типа критические точки можно ожидать в двумерных динамических системах и каково будет их критическое поведение? Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем за основу критические точки для одномерной динамической системы. Для этого (рис. 20.2) выберем морсовское нулевое седло $+x^{2}$ в $R^{1}(f=-
abla V)$ (рис. 20.2) и «сложим» его либо с морсовским нулевым седлом $+y^{2}$, либо с морсовским 1 -седлом – $y^{2}$. Получающаяся в результате изолированная кри-уравнения, приводящие к катастрофам

Рис. 20.3.
В случае неустойчивой одномерной критической точки ( $V \approx-x^{2}$ ) добавленне составляющей потока в направленни $y$ в форме $\left(+y^{2},-y^{2}, y\right.$ ) приводит к возникновению критнческих точек типа $M_{1}^{2}$ н $M_{2}^{2}$, а также критического потока типа $T^{1} \times M_{1}^{1}$ после того, как поток замкнется на себя.

тическая точка представляет собой морсовское нулевое седло $M_{0}^{2}$ или морсовское 1-седло $M_{1}^{2}$ (рис. 20.2,a,б). Вместе с тем поток можно наложить так, как показано на рис. 20.2 , в. В этом случае критическая точка уже не будет изолированной. Однако если замкнуть поток на себя (рис. 20.2,8), то соответствующее критическое поведение будет отвечать случаю устойчивого «кругового» движения. Такая критическая траектория (уже не точка!) называется устойчивым предельным циклом и обозначается как $T^{1} \times M_{0}^{1}$.

Следуя вышеописанному пути, можно построить двумерные критические точки и потоки, исходя из неустойчивой критической точки $M_{1}^{1}$. Складывая устойчивый член $\left(+y^{2}\right)$, неустойчивый член $\left(-y^{2}\right)$ и ненулевой поток $(\sim y)$, получаем морсовское

Рис. 20.4.
При стягивании радиуса устойчивого или неустойчивого предельного дикла расположенный внутри фокус (неустойчивый или устойчивый) прекращает свое существование. Поток при $r \rightarrow 0$ соответствует устойчивому илн неустойчивому фокусу.
1 -седло $M_{1}^{2}$ (рис. 20.3,a), морсовское 2 -седло $M_{2}^{2}$ (рис. 20.3,б) и неустойчивый предельный цик. $T^{1} \times M_{1}^{1}$ (рис. 20.3, в).

Однако данный метод «зашнуровывания» не позволяет проследить все структурно устойчивые типы критического поведения, которые могут существовать в случае двумерной динамической системы, поскольку были пропущены фокусы. Один из возможных методов, позволяющих установить присутствие фокусов среди структурно устойчивых типов критических точек, состоит в том, чтобы устремить радиус предельного цикла к нулю (рис. 20.4). В пределе при $r \rightarrow 0$ поток вокруг устойчивого предельного цикла $T^{1} \times M_{0}^{1}$ напоминает поток в случае устойчивого фокуса $F_{-}^{2}$; вокруг неустойчивого предельного цикла $T^{1} \times M_{1}^{1}$ он напоминает поток в случае неустойчивого фокуса $F_{+}^{2}$. Такой метод сжимания цикла эквивалентен буфуркации Хопфа.

Изолированные морсовские седла $M_{0}^{2}, M_{1}^{2}, M_{2}^{2}$, фокусы $F_{-}^{2}$, $F_{+}^{2}$ и предельные циклы $T^{1} \times M_{0}^{1}, T^{1} \times M_{1}^{1}$ являются единственно возможными типами структурно устойчивого критического поведения двумерных динамических систем.
$\diamond \diamond \diamond$ Фокусы $F_{ \pm}^{2}$ первоначально были пропущены по следующей причине. Мы начали с критических точек в одном измерении при ненулевом собственном значении. Налагая поток во втором измерении, мы ввели форму $\dot{y}=\mathrm{const}$ или $\dot{y}=k y$, где $k$ – ненулевая постоянная. Для определения комплексно сопряженных собственных значений необходимо было бы увеличить размерность новых потоков на два, а не на единицу.

1.1. Осциллятор Ван-дер-Поля

Бифуркация Хопфа
Некоторые из описанных типовых особенностей критического поведения автономных динамических систем присущи простому гармоническому осциллятору. Такой осциллятор
\[
m \ddot{x}+k x=0
\]

и его возмущения можно рассматривать как своеобразную «проблему атома водорода» в теории динамических задач (т. е. проблему, достаточно простую для решения и вместе с тем достаточно сложную, чтобы использовать результат). Уравнение гармонического осциллятора (20.2) можно записать в стандартной, характерной для динамической системы форме в виде двух связных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d x}{d t}=p & (m=1), \\
\frac{d p}{d t}=-x & (k=1) .
\end{array}
\]

Решения системы (20.3) имеют вид $\quad x=R \sin (\omega t+\phi), \quad p=$ $=R \cos (\omega t+\phi), \omega=\sqrt{k / m}$. Поскольку эти траектории соответствуют вихрю (рис. 19.17), система (20.3) структурно неустойчива.
$\diamond \diamond \diamond$ Уравнения гармонического осциллятора (20.3) можно получить из гамильтониана. Любой не зависящий от времени гамильтониан консервативен и структурно неустойчив по отношению к возмущениям диссипативного типа. Поэтому в классической механике использование соображений о структурной устойчивости возможно лишь после весьма осторожного отбора класса систем и типа возмущений, подлежащих анализу.

Структурно устойчивое линейное возмущение гармонического осциллятора (20.2) есть не что иное, как гармонический осциллятор с затуханием:
\[
\ddot{x}+\gamma \dot{x}+x=0 .
\]

Это уравнение может быть записано в стандартной, характерной для динамической системы форме ( $p \rightarrow y$ ):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=y-\gamma x, \\
\frac{d y}{d t}=-x .
\end{array}
\]

Уравнение (20.4) имеет решения вида $x \sim e^{\lambda t}$, причем собственное значение $\lambda$ удовлетворяет уравнению
\[
\lambda^{2}+\gamma \lambda+1=0 .
\]

Рис. 20.5.
Пространство управляющих параметров в случае гармонического осциллятора с затуханием (20.4) делится на четыре открытыє области тремя точками, две из которых $(\gamma= \pm 2)$ принадлежат максвелловскому $\mathscr{\mathscr { S }}_{M}$ и одна – бифуркационному $\mathscr{S}_{B}$ множеству. Эти четыре открытые области параметризуют структурно устойчивые гармонические осцилляторы.

Если рассматривать $\gamma$ как управляющий параметр, то одномерное пространство $\mathbb{R}^{1}$ управляющих параметров будет разделено на четыре несоприкасающиеся открытые области, в которых структурно устойчивое поведение системы представлено двумя точками $\gamma= \pm 2$ в максвелловском множестве $\mathscr{P}_{\text {м }}$ и точкой $\gamma=$ $=0$ в множестве бифуркаций $\mathscr{P}_{B}$. Такое разделение наряду с примерами структурно устойчивого и структурно неустойчивого динамического поведения показано на рис. 20.5.

Гармонический осциллятор (20.2) обладает также рядом физически интересных нелинейных возмущений, которые структурно устойчивы. Один класс таких возмущений имеет вид
\[
\ddot{x}+\gamma f(x) \dot{x}+x=0
\]

или
\[
\dot{x}=y-\gamma F(x), \quad \dot{y}=-x .
\]

Введем следующие допущения:
1. $(d / d t) F(x)=f(x) \dot{x}$
2. $f(-x)=+f(x)$ и $F(-x)=-F(x)$;
3. Функции $f(x)$ и $F(x)$ гладкие и дифференцируемые;
4. Функция $f(x)$ конечна на конечном интервале оси $x$;
5. $\gamma \geqslant 0$.

Постоянная $\gamma$ определяет интенсивность демпфирования. Осциллятор Ван-дер-Поля можно получить, полагая $F(x)=x^{3}+$ $+a x ; f(x)=3 x^{2}+a$ (20.6). Это структурно устойчивое возмущение гармонического осциллятора можно исследовать методами теории катастроф, при условии что величина $\gamma$ либо очень мала, либо очень велика.

Заметим, что $F(0)=0$ в силу допущений 2 и 3 . Следовательно, $(x, y)=(0,0)$ является решением системы (20.6б) при всех значениях $\gamma$. Свойства устойчивости этого решения определяются величиной $\gamma f(0)$, как показано на рис. 20.5. Если $f$ зависит от одного или нескольких управляющих параметров, то при $\gamma f\left(0 ; a_{1}, \ldots\right)= \pm 2$ соответствующая система описывается точкой множества Максвелла $\mathscr{P}_{M}$, а при $\gamma f\left(0 ; a_{1}, \ldots\right)=0$ локальное равновесие при $(x, y)=(0,0)$ является центром. Таким образом, следует ожидать наличия буфуркации Хопфа, связанной с этим структурно неустойчивым поведением. Определим в явной форме поведение, соответствующее предельному циклу при малых $\gamma$, и буфуркацию Хопфа в случае $f(x)=3 x^{2}+a$.

Свойства динамической системы (20.6б) можно установить при помощи метода фазовых портретов (гл. 19). Нас особенно будет интересовать определение аттракторов (20.6), роль которых могут выполнять изолированные точки или замкнутые устойчивые периодические траектории $T^{1} \times M_{0}^{1}$. Уравнение (20.6) имеет лишь одну изолированную критическую точку, а именно $(x, y)=(0,0)$. Если эта точка представляет собой устойчивый фокус, окруженный предельным циклом, то последний должен быть неустойчивым. Аналогично, если имеется устойчивый предельный цикл, то заключенный в нем фокус неустойчив (рис. 20.4). Форма устойчивого предельного цикла может быть определена интегрированием уравнений динамической системы (20.6) по возрастающему времени с использованием начальных условий $\left(x_{0}, y_{0}\right)
eq(0,0)$. Форма неустойчивого предельного цикла может быть найдена интегрированием по убывающему времени, начиная от критической точки. Қак только будет установлен контур предельного цикла, можно при помощи контурных интегралов определить период движения
\[
T=\oint d t=\oint-\frac{d y}{x}=\oint \frac{d x}{y-\gamma F(x)} .
\]

Исключая $d t$ из (20.6б), получаем
\[
x d x+y d y-\gamma F(x) d y=0 .
\]

Поскольку $x d x+y d y=\frac{1}{2} d\left(x^{2}+y^{2}\right)$, интеграл по замкнутому контуру от выражения (20.8) приводит к условию
\[
\oint F(x) d y=0 .
\]
(Это условие будем использовать для определения канонической зависимости радиуса предельного цикла по бифуркации Хопфа.)

Рассмотрим случай $|\gamma f(0 ; a)| \ll 1$. Фокус в точке $(x, y)=$ $=(0,0)$ устойчив, если $\gamma f(0 ; a)>0$, и неустойчив, если $\gamma f(0 ; a)<0$. В связи с тем что траектории вокруг фокуса мед-

Рис. 20.6. Субкритическая бифуркация Хопфа приводит к устойчивому фокусу.
Период предельного цикла фнксирован, а его раднус зависнт от параметрического расстояния от точки бифуркации Хопфа по кәноническому закону квадратного корня.

ленно закручиваются или раскручиваются, если величина $\gamma f(0, a)$ мала, значения $x(t), y(t)$ в течение времени одного оборота приближенно определяются зависимостями $x \simeq R \sin \omega t$, $y \simeq R \cos \omega t(\omega=1)$. Чтобы найти радиус $R$ предельного цикла, по форме близкого к окружности (когда этот предельный цикл существует), используем усеченное соотношение $f(x ; a)=a+$ $+3 x^{2}+O^{\prime}(4)$. Тогда
\[
\begin{aligned}
x & \simeq R \sin \theta, \\
y & \simeq R \cos \theta, \\
F(x ; a) & =x^{3}+a x, \\
\oint\left[R^{3} \sin ^{3} \theta+a R \sin \theta\right](-R \sin \theta) d \theta & =-\pi R^{2}\left(\frac{3}{4} R^{2}+a\right)=0 .
\end{aligned}
\]

При $a
eq 0$ имеется изолированная критическая точка, соответствующая значению $R=0$, которая устойчива, если $a>0$, и неустойчнва, если $a<0$. В случае $a>0$ другие близкие решения отсутствуют, а при $a<0$ имеется устойчивый предельный цикл радиуса
\[
R=\sqrt{\frac{-4 a}{3}} .
\]

Эта докритическая бифуркация Хопфа показана на рис. 20.6 [1]. Период данного предельного цикла определяется соотношением (20.7) и равен
\[
T=\oint-\frac{d(R \cos \theta)}{R \sin \theta}=+2 \pi ;
\]

положительный знак указывает на закручивание против часовой стрелки; период связан с выбором $\omega=\sqrt{k / m}=1$.

Релалсационные колебания
Большим значениям $\gamma$ (20.6) обычно соответствуют большие значения $y$. Чтобы избежать неудобств, связанных с проведением операций над большими величинами, введем новую переменную фазового пространства согласно соотношениям
\[
y=\gamma z, \quad \gamma^{-1} \ll 1 .
\]

Тогда уравнения динамической системы принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\gamma(z-F(x)), \\
\frac{d z}{d t}=-\gamma^{-1} x .
\end{array}
\]

Исключая $t$, можно записать уравнение интегральных кривых системы (20.14) в следующей форме:
\[
(z-F(x)) \frac{d z}{d x}=-\frac{x}{\gamma^{2}}(\simeq 0) .
\]

При больших значениях $\gamma$ имеем либо
\[
\begin{array}{l}
\frac{d z}{d x} \simeq 0, \quad \text { либо } \\
z-F(x) \simeq 0 .
\end{array}
\]

Движение динамической системы в плоскости $(x, z)$ показано на рис. 20.7 при $F(x)=x^{3}+a x$ и $a<0$. Два внешних отрезка $\mathrm{S}$-образной кривой – аттракторы, в чем можно убедиться путем анализа устойчивости в линейном приближении. Средний участок этой кривой, заключенный между двумя вертикальными касательными, представляет собой отталкивающее множество. При $x>0$ имеем $\dot{z}<0$, а при $x<0$ будет $\dot{z}>0$. Если эволюция динамической системы начинается из точки $A$, система быстро приблизится к кривой $z=F(x)$ согласно уравнению (20.14а), поскольку значение $\gamma$ велико. Состояние динамической системы будет представлено точкой на этой кривой в фазовом пространстве. Указанная точка медленно перемещается влево, потому что $\dot{z}=-\gamma^{-1} x$. Когда эта точка достигнет точки $B$, лежащей на пересечении с вертикальной касательной, произойдет быстрый скачок в точку $C$ на нижней ветви, затем последует медленное движение вдоль кривой $z=F(x)$ до точки $D$ и внезапный скачок в точку $E[1]$.

При движении из других начальных точек $A^{\prime}$ и $A^{\prime \prime}$ система достигает притягивающей части поперечного сечения сборки $z=F(x)$ в результате быстрого перемещения (рис. 20.7). Как только система достигнет этой кривой, она будет совершать циклические движения по замкнутому контуру $B C D E B$ по чередующимся быстрым – медленным – быстрым – медленным пе-

Рис. 20.7. Кривая $z-F(x)=0$ как поперечное сечение сборки.
Две внешние ветви устойчивы, одна внутрєнияя неустойчива. Қ этому аттрактору приближаются все потоки, в какой бы точке $A, A^{\prime}, A^{\prime \prime}$,… они ни начинались, которые затем совершают циклические движения по траектории ‘ $E B C D E$, представляя релаксацнонные колебания в режнме быстро – медленно – быстро – медленно.

риодическим траекториям. Такая замкнутая траектория называется релаксационным колебанием. Соответствующие масштабы времени имеют порядок $1 / \gamma$ для быстрых скачков и порядок $\gamma$ для медленных перемещений. В результате период колебания определяется следующим приближенным выражением:
\[
\begin{aligned}
T \simeq 2 \int_{E}^{B}-\frac{\gamma d z}{x} & =-2 \gamma \int_{E}^{B} \frac{f(x)}{x} d x=2 \gamma \int_{E}^{B}\left(3 x+\frac{a}{x}\right) d x= \\
& =\gamma\left\{3\left(x_{E}^{2}-x_{B}^{2}\right)+2 a \ln \frac{x_{E}}{x_{B}}\right\} .
\end{aligned}
\]

В случае осциллятора Ван-дер-Поля релаксационные колебания возникают в режиме множественных состояний, т. е. при $a<0$.
При $a<0, x_{B}=\sqrt{-a / 3}, x_{E}=2 \sqrt{-a / 3}$,
\[
T \simeq|\gamma a|(3-2 \ln 2) \simeq 1,6|\gamma a|, \quad a<0 .
\]
$\diamond \diamond \diamond$ В качестве структурно устойчивого возмущения гармонического осциллятора был (осциллятор Ван-дер-Поля) $-F(x ; a)=$ $=x^{3}+a x$. Смена устойчивости происходит в критической точке $(x, y)=(0,0)$ при уменьшении параметра $a$ с прохождением через нулевое значение. Со сменой устойчивости связана бифуркация Хопфа. От решения $(x, y)=(0,0)$ ответвляется новый круговой (при малых a) аттрактор. При дальнейшем уменьше-

Рис. 20.8 .
Структурно устойчивые предельные циклы могут быть разрушены двумя способами. a-радиус предельного цикла может быть стянут к нулю, в результате чего он исчезает при бифуркации Хопфа; б-он может столкнуться и взаимно уничтожиться с другим предельным циклом, обладающим потас оба предельных цикла затем исчезают в процессе, который по существу, является возникновением катастрофы складки.

нии параметра $a$ предельный цикл сдавливается и его форма искажается. В предельном случае $(|\gamma| \gg 1)$ этот предельный цикл принимает форму релаксационных колебаний.
$\diamond \diamond \diamond$ По отношению к возмущениям предельные циклы структурно устойчивы. При возмущении системы с изолированным предельным циклом новая система будет иметь изолированный предельный цикл вблизи исходного изолированного предельного цикла. Разрушить предельный цикл в 1-параметрическом семействе двумерных динамических систем можно, либо «сжимая» его и «превращая» во внутренний фокус (рис. 20.8,a), либо заставив его столкнуться и аннигилировать с другим предельным циклом (рис. 20.8,б). Последний случай легко отождествить с катастрофой складки $A_{2}$, если рассмотреть поперечное сечение потока, огибающего предельные циклы. Предельные циклы в $\mathbb{R}^{n}, n>2$ не являются структурно устойчивыми, если они возникают на торах $T^{k}, k>1$.
$\diamond \diamond \diamond$ Бифуркацию Хопфа и релаксационные колебания осциллятора Ван-дер-Поля мы отождествили с ограниченной по симметрии катастрофой сборки. Функции $F(x)$, связанные с ограниченными по симметрии катастрофами $A_{k}(20.6)$ более высокого

порядка, можно использовать для построения динамических систем, в которых наблюдаются более интересные явления. Для таких более сложных систем справедливы рассуждения, приведенные в последних двух разделах.

Сложные динамические системы поддаются анализу, когда их структуре присущи ощутимо различные временные маситабы.