В качестве первого примера неравновесных систем были рассмотрены консервативные динамические системы. Вторым примером являются диссипативные статические системы. Система может находиться в стационарном состоянии, далеком от состояния термодинамического равновесия, если в нее поступает некоторый внешний поток энергии, которую система расходует. Такой процесс сопровождается возникновением и «исчезновением» энтропии.

Для вычисления энергии основного состояния и свободной энергии, приходящихся на одну частицу, и при выводе динамических уравнений движения для гамильтонианов, описанных в разд. 3, оказались полезными различные вариационные принципы. Однако общего вариационного принципа [19] для отыскания стационарных состояний системы, далеких от состояния термодинамического равновесия, пока что нет (несмотря на постоянные уверения в обратном [20-22]).

Описанный в предыдущем разделе подход с использованием лагранжиана неприменим к рассматриваемым здесь диссипативным системам. Для определення стационарного состояния системы можно воспользоваться иетодом Ляпунова, если в наши рассуждения «подтасовать» некоторые феноменологические предположения. Ниже мы поясним, что и как для этого надо сделать. Пока же займемся изучением динамических свойств системы, анализируя уравнение движения Гейзенберга для средних значений операторов.

Если $\mathcal{O}$ – некоторый оператор и $\langle\mathcal{O}\rangle$ – его среднее значение, то зависимость $\langle\mathcal{O}\rangle$ от времени описывается уравнением движения Гейзенберга
\[
i \hbar \frac{d}{d t}\left\langle O^{0}\right\rangle=\left\langle\left[O^{\circ}, \mathscr{C}\right]\right\rangle+\left\langle i \hbar \frac{\partial O}{\partial t}\right\rangle .
\]

Если оператор $\mathcal{O}$ явно не зависит от времени, то последний член в (15.137) исчезает. В этом разделе предполагается, что все операторы явно от времени не зависят, поэтому $\partial O / \partial t=0$.

В условиях термодинамического равновесия $\partial\left\langle O^{\circ}\right\rangle / \partial t=0$, поэтому среднее $[O, \mathscr{H}]$ равно нулю. Если операторы включают все операторы сдвига, входящие в расширенные модели Дикке $\left(a_{i i}, E_{j i} j
eq i\right)$, то полученное таким образом множество средних значений $\langle[\mathcal{O}, \mathscr{H}]\rangle$ совпадает с системой уравнений, полученной из вариаций
\[
\delta e^{-\beta F}=\delta \operatorname{tr} e^{-\beta \mathscr{H}}=0
\]

по всем параметрам порядка ( $\mu_{i i},\left\langle E_{j i} / N\right\rangle, j
eq i$ ).
Для вывода феноменологического уравнения движения для среднего $\langle\mathcal{O}\rangle$ в диссипативном случае будем предполагать, что:
a) внешние ограничения «сжимают» среднее значение $\langle\mathcal{O}\rangle_{c}$ до некоторого значения $O$, которое экспериментатор может контролировать;
б) если система подверглась воздействию возмущения, то среднее значение оператора $\boldsymbol{O}$ постепенно вернется к своему невозмущенному значению с постоянной времени $\gamma_{\theta}$, т. е. возмущение всегда затухает как $\delta\left\langle O_{0}\right\rangle e^{-\gamma_{O} t}$.

Эти феноменологические предположения можно непосредственно ввести в уравнение Гейзенберга для $\left\langle O^{\prime}\right\rangle$, справедливое лишь для консервативных систем:
\[
i \hbar \frac{d}{d t}\left\langle O^{\prime}\right\rangle \rightarrow i h\left(\frac{d}{d t}+\gamma_{O}\right)\left(\langle O\rangle-\left\langle O^{\prime}\right\rangle_{c}\right)
\]

Если оператор $O$ не эрмитов, то $\langle\mathcal{O}\rangle$ может и не быть действительным числом. В этом случае $\langle O\rangle$ может зависеть от времени, оставаясь постоянной по абсолютной величине. Целесообразно выделить из $\left\langle O^{\prime}\right\rangle$ все быстро меняющиеся множители, записав их в виде явного фазового множителя:
\[
\left\langle O^{\circ}\right\rangle=\langle\widetilde{O}\rangle e^{-i \omega t}
\]

Анализируя уравнение движения Гейзенберга, можно найти значение угловой скорости $\omega$. Если
\[
\langle[\mathcal{O}, \mathscr{H}]\rangle=\hbar \omega\left\langle O^{\prime}\right\rangle+\text { другие члены, }
\]

то коэффициент $\hbar \omega$ при $\langle\mathcal{O}\rangle$ в правой части (15.141) можно рассматривать как аналог угловой скорости $\hbar \omega / \hbar$.

Стационарное состояние системы можно получить, положив все производные по времени равными нулю. Однако так можно поступить только после того, как все «высокочастотные» временные зависимости выделены из средних значений неэрмитовых операторов. Тогда феноменологическое уравнение для среднего значения оператора $\left\langle O^{\prime}\right\rangle$ (знак тильды для краткости опущен) принимает вид
\[
-i \hbar \gamma_{O}\langle\mathcal{O}\rangle_{c}=-i \hbar \gamma_{O}\langle O\rangle+\text { другие члены. }
\]

Это уравнение можно непосредственно получить из уравнения движения Гейзенберга для $\langle\mathcal{O}\rangle$ с помощью очень простого алгоритма:
1. $i \hbar(d / d t)\left\langle O^{\circ}\right\rangle=\hbar \omega\left\langle O^{\prime}\right\rangle \quad+$ Другие члены
\[
\text { 2. }-i h \gamma_{O}\left\langle O_{c}\right\rangle_{c}=-i \hbar \gamma_{O}\left\langle O^{\circ}\right\rangle+\text { Другие члены }
\]

Для многих систем состояние, далекое от равновесного, можно охарактеризовать параметрами порядка, являющимися средними значениями неэрмитовых операторов. В равновесных условиях эти значения равны нулю и остаются таковыми при медленных отклонениях от положения равновесия. Ненулевые значения средних этих операторов сдвига имеют непосредственное отношение к фазовым переходам. Такие переходы переводят систему с «ветви термодинамического равновесия» на другую упорядоченную ветвь.
$\diamond \diamond \diamond$ Уравнения состояния системы в термодинамическом равновесии однородны, в то время как уравнения для системы с внешним воздействием неоднородны. Эти неоднородности возникают исключительно из-за феноменологического члена вйда $\gamma_{G}\langle\boldsymbol{O}\rangle_{c}$.

Особый интерес для нас представляет описание стационарного состояния лазера. Лазер весьма интересен в связи с тем, что он является системой, далекой от равновесного состояния и претерпевающей фазовые переходы, когда накачка энергии в лазер происходит быстрее, чем эта энергия может рассеиваться только за счет релаксации. Мы уже видели, что модели Дикке представляют собой удобный инструмент для изучения лазеров, поэтому перейдем к исследованию свойств описываемых расширенными моделями Дикке существенно неравновесных систем.
Для таких моделей
\[
\mathscr{H}=\sum_{1 \leqslant i<j}^{r} \hbar \omega_{j i} a_{j i}^{\dagger} a_{j i}+\sum_{i=1}^{r} \varepsilon_{i} E_{i i}+\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{1 \leqslant i<j}^{r} \lambda_{j i} a_{j i}^{\dagger} E_{i j}+\lambda_{j i}^{*} a_{j i} E_{j i} .
\]

Коммутатор $\mathscr{H}$ с многочастичным, усредненным многочастичным или одночастичным оператором является оператором того же типа. Если в качестве переиенных состояния выбрать средние значения одночастичных операторов и усредненные операторы $\mu_{i i}=\left\langle a_{j i} / \sqrt{N}\right\rangle, v_{i j}=\left\langle E_{i j} / N\right\rangle=\left\langle e_{i j}^{(\alpha)}\right\rangle$, то уравнения движения Гейзенберга для этих операторов имеют вид
\[
\begin{aligned}
i \hbar \dot{\mu}_{j i} & =-\hbar \omega_{j i} \mu_{j i}+\lambda_{j i} v_{i j}, \\
i \hbar \dot{v}_{i j} & =\left(\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}\right) v_{i j}+\lambda_{j i}^{*} \mu_{j i}\left(v_{i i}-v_{j j}\right), \\
i \hbar \dot{v}_{i i} & =\lambda_{j i} \mu_{j i}^{*} v_{i j}-\lambda_{j i}^{*} \mu_{j i} v_{i j}^{*} .
\end{aligned}
\]

Феноменологические уравнения движения непосредственно строятся с помощью описанного выше алгоритма. При этом делаются следующие предположения:
постоянные времени для $\mu_{j i}, v_{i j}, v_{i i}$ равны $\tilde{\gamma}_{j i}, \gamma_{i j}, \gamma_{i i}$;
механизм накачки изменяет вероятности заполнения энергетических уровней атома, но не сохраняет фазовой информации. Тогда сжатые средние значения операторов сдвига равны нулю. В случае сильного рассеяния энергии или слабых взаимодействий величина $v_{i i} \simeq\left(v_{i i}\right)_{c}$ является вероятностью заполнения $i$-го индивидуального уровня.

С учетом этих предположений феноменологические уравнения могут быть записаны как
\[
\begin{array}{c}
0=-i \hbar \tilde{\gamma}_{j i} \mu_{j i}+\lambda_{j i} v_{i j}, \\
0=-i \hbar \gamma_{i j} v_{i j}+\lambda_{j i}^{*} \mu_{j i}\left(v_{i i}-v_{j i}\right) \\
-i \hbar \gamma_{i i}\left(v_{i i}\right)_{c}=-i \hbar \gamma_{i i} v_{i i}+\left\{\sum_{k>i} \lambda_{k i} \mu_{k i}^{*} v_{i k}-\sum_{k<i} \lambda_{i k} \mu_{i k}^{*} v_{k i}\right\}- \\
-\left\{\sum_{k>i} \lambda_{i k}^{*} \mu_{i k} v_{i k}-\sum_{k<i} \lambda_{k i}^{*} \mu_{k i} v_{k i}\right\}
\end{array}
\]

Эту систему уравнений можно редуцировать следующим образом:
1) выразить $\mu_{j i}$ из (15.146i) через $v_{j i}$;
2) подставить полученное выражение в (15.146ii) и (15.146iii). и исключить из этих выражений $\mu_{i j}$;
3) выразить $\left(v_{i i}-v_{j i}\right)$ (15.146iii) через параметры порядка $v_{i j}$ и параметры накачки $\left(v_{i i}\right)_{c}-\left(v_{i j}\right)_{c}$.

В результате получаем следующую систему уравнений состояния:
\[
\begin{array}{l}
v_{i j}\left\{\hbar^{2} \gamma_{i j} \tilde{\gamma}_{j i}+\left|\lambda_{j i}\right|^{2}\left(v_{i i}-v_{j j}\right)\right\}=0, i<j, \\
v_{i i}-v_{j j}=\left(v_{i i}\right)_{c}-\left(v_{j j}\right)_{c}+2 \sum_{k} \theta(k, i) \frac{\left|\lambda_{i k} v_{k i}\right|_{-2}^{2}}{\hbar^{2} \tilde{\gamma}_{k i} \gamma_{i i}}- \\
-2 \sum_{k} \theta(k, j) \frac{\left|\lambda_{j k} v_{k j}\right|^{2}}{\hbar^{2} \tilde{\gamma}_{k j} \gamma_{j j}} .
\end{array}
\]

Здесь нет суммирования по немым индексам, все суммы показаны явно. Функция $\theta$ обладает следующими свойствами:
\[
\begin{aligned}
\theta(k, i) & =-1, & & k<i, \\
& =0, & & k=i, \\
& =+1, & & k>i .
\end{aligned}
\]

Предполагается, что в условиях термодинамического равновесия средние значения всех операторов перемещения равны нулю. Если в отсутствие накачки состояние системы упорядочено, то предположение 2 (см. стр. 54) следует изменить. Тогда средние значения – это вероятности заполнения, определяемые соотношениями
\[
v_{i i}=\frac{e^{-\beta e_{i}}}{z(\beta)}, \quad z(\beta)=\sum_{i=1}^{r} e^{-\beta \varepsilon_{i}} .
\]

В этом случае функция $v_{i i}-v_{j i}$ положительна. Когда включается накачка, возбужденные уровни становятся более заселенными за счет нижних уровней. Однако все параметры порядка $v_{i j}$ остаются нулевыми до тех пор, пока между какими-либо уровнями не установится инверсная заселенность. В частности, бифуркация упорядоченного состояния $v_{i j}
eq 0$ возникает при силе накачки, равной
\[
\left(v_{i j}\right)_{c}-\left(v_{i i}\right)_{c}=\frac{\hbar^{2} \gamma_{i j} \tilde{\gamma}_{j i}}{\left|\lambda_{i i}\right|^{2}}=\left(\frac{\hbar \gamma_{i j}}{\lambda_{i j}}\right)\left(\frac{\hbar \tilde{\gamma}_{j i}}{\lambda_{i i}}\right) .
\]

Положив $r=2$, получим фенсменологическую теорию лазера, основанную на модели Дикке и развитую Хейкеном и другими.

Из $r$-уровневой модели Дикке следует, что стационарное поведение может быть весьма разнообразным. Если только одна из констант $\lambda_{j i}$ отлична от нуля, то может произойти фазовый переход второго рода при условии, что инверсная заселенность

Рис. 15.8. Функция распределения фотосчетчика для лазера в предпороговом (G) и дальнем послепороговом $(L)$ режимах [24]. ( $S$ – статистическая смесь излучения лазера в этих двух режимах.)

достаточно большая. Часто этого удается добиться селективной накачкой одного уровня при «холодных» других. Описание такого фазового перехода нисколько не отличается от описания двухуровневой модели Дикке [23]. В том случае, когда более одной константы связи отличны от нуля, возможны фазовые переходы первого рода. В случае принципа максимального промедления эти переходы определяются ответвлением ненулевых решений от множества решений $\left[\mu_{i i}(c), v_{i j}(c)\right]=0$ уравнений (15.146), где управляющими параметрами являются инверсные заселенности $\left(v_{i i}\right)_{c}$. Такие фазовые переходы в действительности происходят в спинодальных точках и имеют нулевой род. Фазовые переходы первсго рода обычно происходят на если уравнения (15.147), определяющие стационарное состояние, можно вывести из потенциала. В противном случае (если повезет) можно будет найти фазовый переход первого рода по правилу Максвелла.

Қак только найдено множество устойчивых решений (15.146), средние значения всех одночастичных операторов тем самым определены, как и средние для всех фотонных операторов $a^{\dagger} a$, $a a^{+}$для каждой моды. Эти средние можно использовать для вычисления редуцированных операторов плотности $\rho_{A}, \rho_{F}$ атомов и поля. Оператором плогности для $r$-уровневой системы является $(r \times r)$ :матрица, т. е.
\[
v_{i j}=\left\langle e_{i j}\right\rangle=\operatorname{tr} \rho_{A} e_{i j}, \quad \rho_{A}=\sum_{i, j} v_{i j} e_{i j} .
\]

Для одной моды поля возможно бесконечное число состояний. Тем не менее редуцированный оператор плотности поля можно следующим образом записать как функцию средних значений операторов:
\[
\rho_{F} \simeq e^{M\left[a^{\dagger} a-\left\langle a^{\dagger}\right\rangle a-\langle a\rangle a^{\dagger}\right]},
\]

где
\[
\mathscr{P}=\frac{1}{e^{-M}-1}=\left\langle a^{\dagger} a\right\rangle-\left\langle a^{\dagger}\right\rangle\langle a\rangle
\]

определяет параметр $M$ и шум $N$ через корреляционную функцию $\left\langle a^{\dagger} a\right\rangle-\left\langle a^{\dagger}\right\rangle\langle a\rangle$.

Оператор плотности использовался при построении функции распределения фотосчетчика для лазера с произвольным отношением сигнал/шум $\mathscr{S} / \mathcal{P}$, где $\mathscr{P}=\left\langle a^{+}\right\rangle\langle a\rangle$. Эта функция сравнивалась с экспериментальной, полученной для лазера, работающего в предпороговом и дальнем послепороговом режимах (рис. 15.8).