Для изучения свойств градиентной системы (18.1) в окрестности некоторой точки $x^{0}$ воспользуемся методом фазового портрета ${ }^{1}$.
2.1. $
abla V
eq 0$
Если $
abla V
eq 0$, то
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=-V_{i}+\mathcal{O}(1), \quad V_{i}=\left.\frac{\partial V}{\partial x_{i}}\right|_{x^{0}} .
\]

Пренебрегая членами порядка единицы, получим следующее решение для (18.2):
\[
\left(x(t)-x^{0}\right)_{i}=-V_{i} t .
\]

Отсюда следует, что локальное поведение системы (функции) линейно, как этого и следовало ожидать для точки, в которой движущая (вынуждающая) сила равна $F=-
abla V
eq 0$.

Если значения управляющих параметров слегка изменить от $c^{0}$ до $c^{0}+\delta c^{0}$, то значения первых производных $V_{i}$ также несколько изменятся.

По причинам, указанным в гл. 2, в этом приближении всегда можно выбрать такую систему координат, в которой $d x_{1} / d t=$ $=-1, d x_{j} / d t=0, j=2, \ldots, n$ Это означает, что в достаточно малой окрестности точки $x^{0}$ система будет двигаться прямолинейно в направлении $x_{1}$ с постоянной скоростью, равной -1 .
1) Этот метод был кратко описан в гл. 5.

2.2. $
abla V=0, \operatorname{det} V_{i j}
eq 0$ (равновесие)

Если $
abla V=0$, a $\operatorname{det} V_{i j}
eq 0$ в точке $x^{0}$, то точка $x^{0}$ соответствует невырожденному состоянию равновесия. В окрестности $x^{6}$ градиентные уравнения движения (18.1) принимают вид
\[
\frac{d}{d t} \delta x_{i}=-V_{i j} \delta x_{i}+O(2)
\]

где $\delta x_{i}=x_{i}-x_{i}^{0}$. С точностью до членов второго порядка это система локально линейных уравнений. Проинтегрировав ее, получим
\[
\delta x_{i}(t)=\left(e^{-V t}\right)_{i j} \delta x_{j}(0),
\]

где $V$ – действительная симметрическая ( $n \times n$ )-матрица, как и $\exp (-V t)$. Однако информативней будет сначала применить к (18.3) не зависящее от времени линейное преобразование, приводящее ее к диагональному виду
\[
\frac{d}{d t} y_{i}=-\lambda_{i} y_{l}, \quad \lambda_{i}
eq 0 .
\]

Решения (18.5) могут быть получены элементарно:
\[
\left(y(t)-y^{0}\right)_{i}=\delta y_{i}(0) e^{-\lambda_{i} t} .
\]

Если $\lambda_{i}>0$, то $y_{i}(t)$ стремится к $y_{i}^{0}$ при $t \rightarrow+\infty$; если же $\lambda_{i}<0$, то $y_{i}(t)$ удаляется от $y_{i}^{0}$. Свойства устойчивости градиентной динамической системы в морсовском равновесии характеризуются морсовским $i$-седловым типом равновесия.

Если значения управляющих параметров изменить от $c^{0}$ до $c^{0}+\delta c^{0}$, то положение $x^{0}$ равновесия изменится, но не намного (ср. (5.2)), и значения матричных элементов $V_{i j}$ в точке равновесия также изменятся несущественно. При этом тип равновесия остается прежним, поскольку ни одно из собственных значений матрицы не изменило знака. В результате получаем, что морсовская критическая точка структурно устойчива к возмущениям.

Если, однако, det $V_{i j}=0$, то динамические свойства вблизи равновесия вовсе не обязательно структурно устойчивы к возмущениям. Динамически структурно неустойчивые решения возникают в том случае, когда два или более ненулевых собственных значения $\lambda_{i}$ матрицы $V_{i j}$ равны (динамическая вырожденность). Причину такой неустойчивости проще всего понять, если рассмотреть двумерную динамическую систему $(n=2)$. Если невырожденной критической точкой является $(x, y)=(0,0)$, а оси $x$ и $y$-главные оси, то движение системы от начального положения $(\delta x, \delta y),(\delta x
eq 0, \delta y=0)$ описывается уравнениями
\[
\begin{array}{c}
x(t)=\delta x e^{-\lambda_{1} t}, \\
y(t)=\delta y e^{-\lambda_{2} t} .
\end{array}
\]

Рис. 18.1. Траектория движения системы к состоянию устойчивого равновесия определяется относительной величиной положительных собственных значений матрицы устойчивости.
Двойная стрелка на траектории указывает на большую скорость движения ( $\left.a^{\prime}-\boldsymbol{\beta}^{\prime}\right)$.
Если оба собственных значения матрицы положительны, система (динамически) устойчива. Для того чтобы уточнить динамику движения системы к положению равновесия, вычислим предел
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{y(t)}{x(t)}=\left(\frac{\delta y}{\delta x}\right) \lim _{t \rightarrow \infty} e^{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) t} .
\]

При $\lambda_{2}>\lambda_{1}$ этот предел равен нулю, а при $\lambda_{1}>\lambda_{2}$ он равен $\pm \infty$. Следовательно, система стремится к равновесию вдоль оси $x$, если $\lambda_{1}<\lambda_{2}$, и вдоль оси $y$, если $\lambda_{2}<\lambda_{1}$ (рис. 18.1). В случае $\lambda_{1}=\lambda_{2}$ система (динамически) структурно неустойчива, поскольку она стремится к равновесию по прямолинейной траектории. Возмущение такой системы (рис. 18.1,б) приводит к одному из двух динамически структурно устойчивых состояний, показанных на рис. $18.1, a$, .

Описанный метод может быть обобщен для изучения динамической структурной устойчивости $n$-мерных градиентных систем. Если точка $x^{0}$ является положением устойчивого невырожденного равновесия, а главные оси $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ выбраны так, что $\lambda_{1}>\lambda_{2}>\ldots>\lambda_{n}(>0)$, то динамика движения системы к положению равновесия выглядит следующим образом. Координата $\delta x_{1}$ движется к нулю быстрее всех, за ней следует $\delta x_{2}$ и т. д. Равенство двух или более собственных значений матрицы соответствует динамически структурно неустойчивому состоянию системы, когда сколь угодно малое возмущение может радикально изменить траекторию, по которой она движется к локально устойчивому равновесию.
$\diamond \diamond \diamond$ Такой тип структурной неустойчивости систем в чем-то сродни максвелловской (равные минимумы) структурной неустойчивости статических градиентных систем.
2.3. $
abla V=0$, det $V_{i j}=0$ (выролдение)

Если $
abla V=0$ и $\operatorname{det} V_{i j}=0$ в точке $x^{0}$, то фазовый портрет системы в окрестности $x^{0}$ также можно построить описанным выше методом. Однако довольно часто более удобным оказывается метод, предусматривающий такие операции, как (1) введение возмущения в потенциальную функцию, (2) исследование фазового портрета системы в окрестности каждой изолированной критической точки, и (3) анализ поведения при «очень удаленном» источнике возмущения. Проиллюстрируем этот метод на ряде примеров.

Пример 1. Построим фазовый портрет системы, состояние которой описывается потенциальной функцией вида $V(x, y)=x^{3} / 3+y^{2} / 2$. Наиболее общее возмущение этой потенциальной функции имеет вид
\[
V^{\prime}(x, y ; a)=\frac{x^{3}}{3}+a x+\frac{y^{2}}{2} .
\]

Соответствующие уравнения движения могут быть записаны как
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-\frac{\partial V^{\prime}}{\partial x}=-x^{2}-a, \\
\frac{d y}{d t}=-\frac{\partial V^{\prime}}{\partial y}=-y .
\end{array}
\]

При $a<0$ имеютсядве изолированные критические точки: $(x, y)=(+\sqrt{-a}, 0)$ и $(-\sqrt{-a}, 0)$. Матрица устойчивости имеет вид
\[
V_{i j}=\left[\begin{array}{cc}
2 x & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right] .
\]

поэтому оси $x$ и $y$ являются главными. Фазовые портреты в окрестностях изолированных критических точек схематично изображены на рис. $18.2, a$.

Пример 2. Совершенно аналогичным образом можно построить фазовый портрет системы, состояние которой описывается потенциальной функцией вида $V(x, y)=x^{4} / 4+y^{2} / 2$. Для простоты рассмотрим возмущение $V(x, y)$, сохраняющее симметрию:
\[
V^{\prime}(x, y ; a)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{a x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2} .
\]

Нет необходимости рассматривать возмущения наиболее общего вида, поскольку мы стремимся лишь «морсифицировать» вырожденную критическую точку и в конце концов определить предельное влияние исчезающего воз-

Рис. 18.2.
$a$ – свойства критических точек, полученных из неморсовской критической точки катастрофы $A_{2}$ морсификацией; б – соответствующие потоки; 8 – потоки вблизи вырожденной критической точки, полученной в результате «деморсификации (б). Свойства изолированных критических точек могут быть описаны стрелками: стрелки направлены вдоль главных осей и указывают в сторону крнтической точки, если собственное значение матрнцы $V_{i j}$ положительно (устойчиво), и в обратную сторону, если оно отрнқательно. Длина стрелки показывает величиау соответствующего собственного значения.

Рис. 18.3.
$a$ – морсификация критической точки катасгрофы $A_{+3}$; 6- соответствующие потоки; $\boldsymbol{a}-$ потоки вблизи вырожденной критической точки катастрофы $A_{+3}$ : результат деморсификацин (б).

мущения. Уравнения движения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-\frac{\partial V^{\prime}}{\partial x}=-x^{3}-a x \\
\frac{d y}{d t}=-\frac{\partial V^{\prime}}{\partial y}=-y .
\end{array}
\]

Рис. 18.4.
$a$ – морсификация ростка $D_{-4}=x^{2} y-y^{3} / 3$ и потоки в его окрестности; 6 – предельный случай кслабого поля» портрета (a) дает вартину потоков для вырожденной критической точки $D_{-4}$.

Фазовые портреты системы в окрестногти невырожденных критических точек показаны на рис. 18.3 .

Пример 3. Точно так же можно толучить фазовый портрет для потенциальной функции вида $V(x, y)=x^{2} y-y^{3} / 3$. Схематически этот фазовый портрет был изображен на рис. 5.19. По этому рисунку можно легко восстановить весь портрет для $V(x, y)$ (рис. 18.4).

Фазовый портрет для этой потенциальной функции может быть получен непосредственно, не прибегая к методу возмущения. Уравнения движения

Рис. 18.5. Потоки в окрестности вырожденной критической точки можно найти путем элементарных рассуждений.
Здесь $\dot{x}=0$. Тогда $x y=0$ и $\dot{y}=0$, когда $\ddot{z}= \pm y$. Уравнение сепаратрис: $x=\alpha y, \alpha=0$, $\pm \sqrt{3}$.

имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial x}=-2 x y, \\
\frac{d y}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial y}=-x^{2}+y^{2} .
\end{array}
\]

Горизонтальная компонента скорости (вдоль оси $x$ ) обращается в нуль на прямых $x=0$ и $y=0$, а вертикальная (вдоль оси $y$ ) – на прямых $x=y$ и $x=-y$ (рис. 18.5). Структурно неустойчивые траектории, вдоль которых горизонтальная и вертикальная компоненты скорости пропорциональны, можно найти, положив в (18.3) $x=\alpha y$ и разрешив систему уравнений
\[
\begin{array}{l}
\alpha \frac{d y}{d t}=-2 \alpha y^{2}, \\
\frac{d y}{d t}=\left(1-\alpha^{2}\right) y^{2}
\end{array}
\]

относительно $\alpha$. Тогда $\alpha\left(1-\alpha^{2}\right) y^{2}=-2 \alpha y^{2}$. При любом $y$ решения имєют вид
\[
\alpha=0 \text { (ось } y \text { ), } a= \pm \sqrt{3} .
\]

Эти сепаратрисы и направления движения по ним показаны на рис. 18.5. Используя полученную информацию (две прямые, на которых $d x / d t=0$, две прямые, на которых $d y / d t=0$, и три сепаратрисы), нетрудно построить весь фазовый портрет.

Қак видно из рис. 18.5 , существует определенная симметрия, которая становится совершенно явной, если произвести некоторое преобразование координат и проследить, как меняется поведение потенциальной функции. При

Рис. 18.6. Простое вращение осей координат.
Здесь $x^{\prime}=x \cos \theta+y \sin \theta, y^{\prime}=y \cos \theta-x \sin \theta$.
повороте координатной системы $x, y$ на угол $\theta$ посредством преобразования
\[
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
\]

получим систему координат $x^{\prime}, y^{\prime}$, показанную на рис. 18.6. Такое преобразование имеет следующий геометрический смысл. Если $x(p), y(p)$ – координаты некоторой точки $p$ в старой системе координат $S$, а $x^{\prime}(p), y^{\prime}(p)$ – координаты той же точки в новой системе $S^{\prime}$, то $x, y$ и $x^{\prime}, y^{\prime}$ связаны соотношением (18.16) (рис. 18.6). Положив $\theta=2 \pi / 6$ (рис. 18.5), выразим $x, y$ через $x^{\prime}, y^{\prime}$ :
\[
\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
+\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right] .
\]

Функция $V(x, y)$ легко выражается через новые координаты
\[
\begin{array}{c}
V(x, y)=\quad y \quad\left(x+\frac{y}{\sqrt{3}}\right)\left(x-\frac{y}{\sqrt{3}}\right) \\
\downarrow\left(x^{\prime} y^{\prime}\right)=\left\{\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x^{\prime}+\frac{y^{\prime}}{\sqrt{3}}\right)\right\}\left\{x^{\prime}-\frac{y^{\prime}}{\sqrt{3}}\right\}\left\{\frac{-2}{\sqrt{3}} y^{\prime}\right\}= \\
=-y^{\prime}\left(x^{\prime}+\frac{y^{\prime}}{\sqrt{3}}\right)\left(x^{\prime}-\frac{y^{\prime}}{\sqrt{3}}\right) .
\end{array}
\]

При повороте на $60^{\circ}$ потенциальная функция меняет знак. При отражении от оси $y:(x, y) \rightarrow(-x,+y)$ потенциал не меняется и изменяет знак при отражении от оси $x:(x, y) \rightarrow(x,-y)$. Эти свойства симметрии потенциала находят свое отражение в симметрии фазового портрета, очевидной из рис. 18.5 .

В случае градиентных систем, описываемых потенциальной функцией $V(x ; c)$, зависящей от $k$ управляющих параметров, важно знать, образует ли множество точек в $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k}$, ( $x \in \mathbb{R}^{n}, c \in \mathbb{R}^{k}$ ), являющихся вырожденными критическими точками $V(x ; c)$, замкнутое множество меры нуль. Если это так, то дополнительное множество, состоящее из точек, в которых $V$ имеет ненулевой градиент или находится в состоянии невырожденного равновесия, является открытым и плотным в $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k}$. В этом случае описанные выше методы анализа могут оказаться полезными, поскольку фазовый портрет в окрестности вырожденной критической точки может быть апроксимирован сколь угодно близко фазовыми портретами возмущенных потенциалов, обладающих только изолированными критическими точками.