5.1. Модель МГЛ

Для данной модели (15.25) первые два шага этого простого алгоритма мотут быть представлены как
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathscr{H}}{\bar{N}}=\frac{1}{2} \varepsilon \frac{\left(E_{22}-E_{11}\right)}{N}+\frac{1}{2} V\left\{\left(\frac{E_{12}}{N}\right)^{2}+\left(\frac{E_{21}}{N}\right)^{2}\right\}+ \\
+\frac{1}{2} W\left\{\frac{E_{12}}{N}, \frac{E_{21}}{N}\right\}, \\
h_{C}=-\frac{1}{2} \varepsilon\left(z_{1}^{*} z_{1}-z_{2}^{*} z_{2}\right)+\frac{1}{2} V\left\{\left(z_{1}^{*} z_{2}\right)^{2}+\left(z_{2}^{*} z_{1}\right)^{2}\right\}+ \\
+\frac{1}{2} W\left\{\left(z_{1}^{*} z_{2}\right)\left(z_{2}^{*} z_{1}\right)+\left(z_{2}^{*} z_{1}\right)\left(z_{1}^{*} z_{2}\right)\right\} . \\
\end{array}
\]

Классическую функцию $h_{C}$ следует минимизировать по $z_{1}$ и $z_{2}$, где $\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}=1$. Фаза полной волновой функции $|\Psi\rangle=$ $=\mathrm{col}\left(z_{1}, z_{2}\right)$ произвольна. Эту фазу можно выбрать так, чтобы $z_{1}$ былодействительным и неотрицательным. Тогда $z_{1}=\sqrt{1-z_{2}^{*} z_{2}}$. Удобно определить $z_{2}$ как
\[
z_{2}=e^{-i \phi} \sin \frac{1}{2} \theta .
\]

В этом случае имеем $z_{1}=\cos \frac{1}{2} \theta$.
Используя элементарные тригонометрические тождества $\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}=\cos ^{2} \frac{1}{2} \theta-\sin ^{2} \frac{1}{2} \theta=\cos \theta, z_{1}^{*} z_{2}=e^{-i \phi} \sin \frac{1}{2} \theta \cos \frac{1}{2} \theta=$ $=\frac{1}{2} e^{-i \phi} \sin \theta$, функцию $h_{C}$ можно привести к виду
\[
h_{C}=-\frac{1}{2} \varepsilon \cos \theta+\frac{1}{2} V\left(\frac{1}{2} \sin \theta\right)^{2}\left(e^{-2 i \phi}+e^{+2 i \phi}\right)+W\left(\frac{1}{2} \sin \theta\right)^{2} .
\]

Эта функция зависит от азимутального угла $\phi$, если $V
eq 0$. Вначале ее можно минимизировать по $\phi$ :
\[
h_{C}^{\prime}=-\frac{1}{2} \varepsilon \cos \theta+(W-|V|)\left(\frac{1}{2} \sin \theta\right)^{2} .
\]

Минимум достигается в $\theta=0$, если параметры квадрупольного взаимодействия $V, W$ малы или равны нулю. Критические точки $h_{c}^{\prime}$ можно определить обычными методами:
\[
\frac{\partial h_{C}^{\prime}}{\partial \theta}=\frac{1}{2} \sin \theta\{\varepsilon+(W-|V|) \cos \theta\}=0 .
\]

Решениями этого уравнения являются
\[
\sin \theta=0, \quad \cos \theta=\frac{\varepsilon}{|V|-W} \quad \text { при } \quad|V|-W>\varepsilon .
\]

Фазовый переход второго рода имеет место при $|V|-W=\varepsilon$. Энергия одного нуклона в основном состоянии равна
\[
\begin{array}{ll}
\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{E_{\boldsymbol{g}}}{N}=-\frac{1}{2} \varepsilon, & \varepsilon>|V|-W, \\
=-\frac{1}{2} \varepsilon \cdot \frac{1}{2}\left\{\frac{\varepsilon}{|V|-W}+\frac{|V|-W}{\varepsilon}\right\}, & \varepsilon<|V|-W .
\end{array}
\]

На рис. 15.1 это асимптотическое значение величины $E_{g} / N$ сравнивается с величиной $E_{g} / N$ при конечных $N$. Эти конечные значения были подсчитаны путем численной диагонализации гамильтониана $(15.25)$, который является $(2 J+1) \times(2 J+1)$ матрицей, где $J=N / 2$ [10]. Такую диагонализацию матрицы

Рис. 15.1. Сравнение энергии основного состояния $E_{g} / N$ для модели МГЛ $(15.36)$ с $W=0$, вычисленной путем диағонализации матрицы при $N=8,20$, 50 , с аналитической зависимостью (15.41) для случая $0 \leqslant|V| / \varepsilon \leqslant 5$.

необходимо проводить каждый раз, когда изменяются параметры $(V, W)$. Из рис. 15.1 видно, что численные значения $E_{g} / N$ сходятся к аналитически полученному асимытотическому значению (15.41) с ростом $N$.

Гамильтониан (15.25) фактически описывает два процесса. Член $\varepsilon J_{3}$ достигает минимума, когда все нуклоны находятся в основном состоянии. Второй член ( $V$ ) минимален, когда состояние каждого нуклона есть линейная комбинация основного и возбужденных состояний. Третий член ( $W$ ) достигает минимума, когда все нуклоны находятся в основном состоянии ( $W>0$ ) или если состояние каждого нуклона есть линейная комбинация основного и возбужденных состояний $(W<0)$. Сумма этих трех членов минимальна, когда
\[
\begin{array}{l}
|\Psi\rangle=\operatorname{col}(1,0), \\
=\operatorname{col}\left(\left[\frac{|V|-W+\varepsilon}{2(|V|-W)}\right]^{1 / 2},-\frac{V}{|V|}\left[\frac{|V|-W-\varepsilon}{2(|V|-W)}\right]^{1 / 2}\right), \\
\varepsilon<|V|-W .
\end{array}
\]

Если сила взаимодействия достаточно велика $(|V|-W>\varepsilon)$, то она возбуждает каждый нуклон, переводя его в состояние, являющееся линейной комбинацией основного и возбужденных состояний. Это возбуждение, уменьшая собственную энергию отдельных нуклонов $\left(\varepsilon J_{3}\right)$, еще больше увеличивает энергию взаимодействия. Именно по этой причине при сильных взаимодействиях нуклоны «предпочитают» находиться в упорядоченном состоянии с $\sin \theta
eq 0$, а не в основном состоянии $\theta=0$. $\diamond \diamond \diamond$ Если $V=0$, то минимальное значение $h_{c}$ не зависит от азимутального угла $\phi$. Эта инвариантность называется калибровочной инвариантностью; она исчезает при $V
eq 0$.
5.2. Модель Дикке

Для модели Дикке (15.26) первый шаг алгоритма, описанного в разд. 4, приводит к выражению
\[
\begin{aligned}
\frac{\mathscr{G}}{N}=\hbar \omega \frac{a^{\dagger} a}{N} & +\frac{1}{2} \varepsilon \frac{\left(E_{22}-E_{11}\right)}{N}+\lambda\left(\frac{a^{+}}{\sqrt{N}}\right)\left(\frac{E_{12}}{N}\right)+ \\
& +\lambda^{*}\left(\frac{a}{\sqrt{N}}\right)\left(\frac{E_{21}}{N}\right) .
\end{aligned}
\]

Классический предел $h_{C}$ этого оператора получается подстановкой $a^{\dagger} / \sqrt{N}=\mu^{*}$ и т. д. В результате $h_{C}$ можно записать через угловые переменные $(\theta, \phi)$, как это было описано в предыдущем разделе, т. е. в виде
\[
h_{C}=\hbar \omega \mu^{*} \mu-\frac{1}{2} \varepsilon \cos \theta+\lambda \mu^{*}\left(\frac{1}{2} e^{-i_{\phi}} \sin \theta\right)+\lambda^{*} \mu\left(\frac{1}{2} e^{+i \phi} \sin \theta\right) \text {. }
\]

Эта функция инвариантна относительно следующих преобразований:
\[
e^{-i \phi} \rightarrow e^{-i(\phi+\psi)}, \quad \mu \rightarrow \mu e^{-i \psi} .
\]

В модели Дикке также имеется калибровочная инвариантность, как и в модели МГЛ при $V=0$.

Функцию $h_{C}$ проще всего минимизировать, исключив $\mu, \mu^{*}$ и воспользовавшись условием равенства нулю градиента:
\[
\frac{\partial h_{C}}{\partial \mu}=\hbar \omega \mu^{*}+\lambda^{*}\left(\frac{1}{2} e^{i \phi} \sin \theta\right)=0 .
\]

В результате получаем функцию от $(\theta, \phi)$
\[
h_{C}^{\prime}=-\frac{1}{2} \varepsilon \cos \theta-\frac{\lambda^{*} \lambda}{\hbar \omega}\left(\frac{1}{2} \sin \theta\right)^{2} .
\]

совпадающую с (15.38′), если положить
\[
\frac{|\lambda|^{2}}{\hbar \omega}=|V|-W .
\]

Модель Дикке (15.26) всегда обладает калибровочной инвариантностью, в то время как для модели МГЛ (15.25) это так, только если $V=0$. Отсюда вытекает, что обе модели очень тесно связаны, когда $V=0$ и $W=-|\lambda|^{2} / \hbar \omega$.

В моделях МГЛ и Дикке происходят те же самые фазовые переходы второго рода на основном энергетическом уровне, поскольку их потенциалы $h_{C}^{\prime}$, определяемые формулами (15.38′) и (15.45′), по существу, идентичны. Однако, поскольку исходные гамильтонианы не изоморфны, физические детали фазовых переходов различны. Если $|\lambda|^{2}>\varepsilon \hbar \omega$, затраты энергии на перевод каждого атома в состояние линейной комбинации основного и возбужденных состояний и на то, чтобы в данном состоянии поля число фотонов было отлично от нуля, превосходят энергию, высвобождающуюся в результате поляризационного взаимодействия. Атомная $\left|\Psi_{A}\right\rangle$ и полевая $\left|\Psi_{F}\right\rangle$ суперпозиции состояний, минимизирующие энергию основного состояния (как полную, так и приходящуюся на одну частицу), приведены в табл. 15.2.

Таблица 15.2. Свойства модели Дикке при $\mathbf{N} \rightarrow \infty$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline \begin{tabular}{l}
Нормализованная \\
константа связи
\end{tabular} & $\left|\Psi_{a}\right\rangle=\operatorname{col}\left(z_{1}, z_{2}\right)$ & $\left|\Psi_{f}\right\rangle$ & $E_{g} / N$ \\
\hline
\end{tabular}
\[
\begin{array}{l}
\frac{\lambda^{2}}{\varepsilon \hbar \omega}<1 \\
\frac{\lambda^{2}}{\varepsilon \hbar \omega}>1 \quad(\cos \\
\cos \theta=\varepsilon \hbar \omega / \lambda^{2} \\
\mu= \\
=\frac{-\lambda e^{-i \phi} \sin \frac{1}{2} \theta}{2 \hbar \omega}
\end{array}
\]
$-\varepsilon / 2$
\[
\begin{array}{ccc}
\frac{\lambda^{2}}{\varepsilon \hbar \omega}>1 & \left(\cos \frac{1}{2} \theta,\right. & -\frac{\varepsilon}{2} \times \\
\left.e^{-t \phi} \sin \frac{1}{2} \theta\right) & \times \frac{1}{2}\left|\cos \theta+\frac{1}{\cos \theta}\right| \\
\hline
\end{array}
\]
$\cos \theta=\varepsilon \hbar \omega / \lambda^{2}$
$\mu=$
$\qquad$
$\diamond \diamond$ Тесная связь между критическими свойствами моделей МГЛ и Дикке может показаться неожиданной. Однако такое сходство можно пояснить, если трактовать операторы, входящие в модель МГЛ, как $c$-числа. Тогда «условие равновесия»
\[
\frac{\partial h_{Q}}{\partial\left(a^{\dagger} / \sqrt{\bar{N})}\right.}=\hbar \omega \frac{a}{\sqrt{\bar{N}}}+\lambda\left(\frac{E_{12}}{N}\right)=\left[\frac{a}{\sqrt{\bar{N}}}, N h_{Q}\right] \simeq 0
\]

дает связь между атомными и полевыми операторами, т. е. оператор $a / \sqrt{N}$ «пропорционален» $E_{12} / N$. Исключив фотонные операторы из гамильтониана (15.43i) и используя (15.47), получим следующий эффективный гамильтониан:
\[
h_{Q}=\frac{1}{2} \varepsilon \frac{\left(E_{22}-E_{11}\right)}{N}-\frac{\lambda^{*} \lambda}{\hbar \omega}\left(\frac{E_{12}}{N}\right)\left(\frac{E_{21}}{N}\right) .
\]

Естественно поэтому ожидать, что имеется очень сильное сходство между критическими свойствами гамильтонианов МГЛ и Дикке и, даже более того, между расширенными моделями МГЛ и расширенными моделяии Дикке. Это, конечно же, не есть строгое доказательство, однако оно полезно как «мостик», соединяющий два класса моделей.
5.3. Расширенные модели МГЛ

Гамильтониан расширенной модели МГЛ можно записать как сумму трех членов:
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{H}_{M G L}=D+V+W, \\
\frac{D}{N}=\sum_{i=1}^{r} \varepsilon_{i} \frac{E_{i i}}{N}, \\
\frac{V}{N}=\frac{1}{2} \sum_{1 \leqslant i<j}^{r} V_{i j}\left(\frac{E_{i j}}{N}\right)^{2}+V_{j i}\left(\frac{E_{i j}}{N}\right)^{2}, \\
\frac{W}{N}=\frac{1}{2} \sum_{i \leqslant i<i}^{r} W_{i j}\left(\frac{E_{i j}}{N}\right)\left(\frac{E_{i i}}{N}\right)+W_{j i}\left(\frac{E_{j i}}{N}\right)\left(\frac{E_{i j}}{N}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $E_{i i}$ – эрмитов оператор, и $E_{i j}=E_{j i}^{\dagger}$. Энергии $\varepsilon_{i}$ действительны, и $V_{i j}=V_{j i}^{*}, W_{i j}=W_{j i}^{*}$. Классический предел функции $h_{Q}=\mathscr{H} / N$ легко строится по правилам, приведенным в разд. 2:
\[
h_{C}=\sum_{i=1}^{r} \varepsilon_{i} z_{i}^{*} z_{i}+\frac{1}{2} \sum_{1 \leqslant i<j}^{r} V_{i j}\left(z_{i}^{*} z_{j}\right)^{2}+
\]
$+\frac{1}{2} \sum_{1 \leqslant i<y}^{r} W_{i j} z_{i}^{*} z_{j} z_{j}^{*} z_{i}+$ Комплексно сопряженные члены. (15.51)
Члены, относящиеся к $D$ и $W$, инвариантны относительно преобразования $z_{i} \rightarrow z_{j} e^{-i \phi_{j}}$, а член, относящийся $к$, не инвариантен. Это соответствует калибровочной инвариантности операторов $D$ и $W$ при замене $E_{i j} \rightarrow e^{i\left(\varphi_{i}-\varphi_{j}\right)} E_{i j}$. Расширенная модель МГЛ при $V=0$ обладает максимальной калибровочной инвариантностью. Чем большее число членов $V_{i j}$ отлично от, нуля, тем в большей степени нарушается эта инвариантность.

Фазу констант $V_{i j}$, описывающих попарное взаимодействие, можно изменить, изменяя фазы амплитуд $z_{j}$ волновой функции. Эти $r$ степеней свободы можно использовать для того, чтобы $r$ величин $V_{i j}$ из общего числа $\left(\begin{array}{l}r \\ 2\end{array}\right)=r(r-1) / 2$ сделать положительными или равными нулю. При $r=2$ или $r=3$ все постоянные $V_{i j}$ можно сделать действительными, однако при $r>3$ это уже невозможно. Предположим для простоты, что все константы $V_{i j}, W_{i j}$ действительны. Если все $V_{i j}$ действительны, классический предел оператора $V$ имеет стационарное значение только тогда, когда все $z_{j}$ действительны. Поэтому достаточно минимизировать $h_{C}$ на сфере
\[
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{r}^{2}=1,
\]

где $z_{j}=x_{j}$ – действительное число.
Для простоты мы рассматриваем расширенные модели МГЛ, в которых только два уровня – $i$ и $j$ (с $\varepsilon_{i}<\varepsilon_{j}$ ) – связаны ненулевым квадрупольным взаимодействием. Обозначив $z_{l}=x_{i} e^{-i \phi_{j}}$, получим
\[
h_{C}=\sum_{k=1}^{r} \varepsilon_{k} x_{k}^{2}+\frac{1}{2} V_{i j} x_{i}^{2} x_{j}^{2}\left(e^{2 i\left(\phi_{j}-\phi_{i}\right)}+e^{-2 i\left(\phi_{j}-\phi_{i}\right)}\right)+W_{i j} x_{i}^{2} x_{j}^{2} .
\]

Минимизируя эту величину по азимутальным углам, находим
\[
h_{C}=\sum_{k=1}^{r} \varepsilon_{k} x_{k}^{2}+\left(W_{i j}-\left|V_{i j}\right|\right) x_{i}^{2} x_{j}^{2} .
\]

Не теряя общности, для удобства можно положить $W_{i j}=0$.
Природа фазового перехода главным образом зависит от того, связывает ли квадрупольное взаимодействие два возбужденных состояния или основное и возбужденное $[2,11]$.
1. $V_{j 1}
eq 0$. В этом случае все параметры порядка, кроме $x_{1}=\cos \frac{1}{2} \theta$ и $x_{j}=\sin \frac{1}{2} \theta$, равны нулю в точке минимума $h_{C}$, что дает
\[
h_{C}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{j}\right)+\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{j}\right) \cos \theta-\left|V_{j 1}\right|\left(\frac{1}{2} \sin \theta\right)^{2} .
\]

Эта функция идентична по виду функции (15.38′); поэтому в системе происходит фазовый переход второго рода основного состояния, когда $\left|V_{j 1}\right|$ становится больше, чем $\varepsilon_{j}-\varepsilon_{1}$.
2. $V_{j i}
eq 0, j>i>1$. В таком случае все параметры порядка, кроме $x_{1}, x_{i}$ и $x_{j}$, равны нулю в точке минимума $h_{C}$. Поэтому, подставив $x_{i}^{2}+x_{i}^{2}=\sin ^{2} \frac{1}{2} \theta \leqslant 1, x_{i}^{2} /\left(x_{i}^{2}+x_{j}^{2}\right)=y$, получим
\[
\begin{array}{c}
h_{C}-\varepsilon_{1}=\Delta_{i}(1-y) \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta+\Delta_{j} y \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta- \\
-\left|V_{j i}\right| y(1-y) \sin ^{4} \frac{1}{2} \theta,
\end{array}
\]

где $\Delta_{j}=\varepsilon_{j}-\varepsilon_{1}$. Равновесные состояния определяются обычным образом:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial y}\left(h_{C}-\varepsilon_{1}\right)=\{\quad\}_{1} \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta=0, \\
\frac{\partial}{\partial \theta}\left(h_{C}-\varepsilon_{1}\right)=\{\}_{2}\left(\frac{1}{2} \sin \theta\right)=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения всегда имеют решение $\theta=0$, соответствующее тому, что все нуклоны находятся в основном состоянии $\left(z_{1}=1\right.$, $\left.z_{k}=0, k>0\right)$. Такое состояние всегда является локальным минимумом, и в этом минимуме $h_{C}=\varepsilon_{1}$.

Если (15.57a) выполняется, то может существовать другое решение при $\theta=\pi$. Для этого требуется, чтобы
\[
\{\}_{1}=\Delta_{j}-\Delta_{i}-\left|V_{j !}\right|(1-2 y) \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta=0,
\]

откуда $y=\frac{1}{2}-\left[\left(\varepsilon_{f}-\varepsilon_{i}\right) / 2\left|V_{i i}\right|\right]$. Поскольку $0 \leqslant y \leqslant 1$, эта критическая точка может существовать только тогда, когда $\left|V_{j i}\right|>\Delta_{j}-\Delta_{i}=\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}$. Она также является локальным минимумом, в котором
\[
h_{C}-\varepsilon_{1}=\frac{1}{2}\left(\Delta_{i}+\Delta_{i}\right)-\frac{1}{4}\left|V_{i i}\right|-\frac{1}{4\left|V_{j i}\right|}\left(\Delta_{j}-\Delta_{i}\right)^{2} .
\]

Этот локальный минимум имеет критическое значение $\varepsilon_{1}$, когда $\sqrt{\left|V_{j i}\right|}=\sqrt{\overline{\Delta_{j}}}+\sqrt{\Delta_{i}}$. Фазовый переход первого рода основного состояния происходит, когда $\left|V_{j i}\right|$, возрастая, переходит через $\left(\sqrt{\Delta_{j}}+\sqrt{\bar{\Delta}_{i}}\right)^{2}$. При таком фазовом переходе параметр порядка $x_{1}$ перескакивает с +1 в 0 , а остальные параметры изменяются следующим образом:
\[
x_{i}^{2}: 0 \rightarrow \frac{\sqrt{\Delta_{i}}}{\sqrt{\Delta_{j}}+\sqrt{\Delta_{i}}}, \quad x_{i}^{2}: 0 \rightarrow \frac{\sqrt{\Delta_{j}}}{\sqrt{\bar{\Delta}_{j}}+\sqrt{\Delta_{i}}} .
\]

Третье решение существует при $\theta
eq 0, \theta
eq \pi$, если можно одновременно удовлетворить равенствам (15.57a) и (15.57б). Кроме (15.58a), для этого требуется
\[
\{\}_{2}=\Delta_{j} y+\Delta_{i}(1-y)-2\left|V_{i i}\right| y(1-y) \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta=0 .
\]

Рис. 15.2. Форма $h_{\mathrm{C}}$ (15.56) при $T=0$ для многоуровневого гамильтониана МГЛ.
Здесь $x_{i}, x_{j}$-соответствующие параметры порядка, $r=\left(\varepsilon_{i}-\varepsilon_{1}\right) /\left(\varepsilon_{j}-\varepsilon_{1}\right)=0,8, \quad$ и в квадрупольном взаимодействии $V_{i j}$ участвурт два возбужденных уровня. Показан лишь квадрант $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$, Фазовый переход первоге рода происходит при $V_{i j}-3,59 . a-V_{i j}=$ $=2,5 ; 6-V_{i j}=3,59 ; \quad s-V_{i j}=6$.

Уравнения (15.58а) и (15.58б) одновременно удовлетворяются следующим образом:
\[
y=\frac{\Delta_{i}}{\Delta_{j}+\Delta_{i}}, \quad \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta=\frac{\Delta_{j}-\Delta_{i}}{\left|V_{j i}\right|} \leqslant 1 .
\]

Это решение является седлом, разделяющим локальные минимумы в $\theta=0$ и $\theta=\pi$. В этой критической точке $h_{C}-\varepsilon_{1}=$ $=\Delta_{j} \Delta_{i} /\left|V_{j i}\right|$.

Основное энергетическое состояние системы с ростом константы $\left|V_{j i}\right|$ ведет себя следующим образом. При $\left|V_{j i}\right|<\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}$ имеется только один минимум в $\theta=0$. Когда $\left|V_{j i}\right|=\varepsilon_{j}-\varepsilon_{i}$, в точке $\theta=\pi$ возникает вырожденная критическая точка катастрофы складки. С ростом $\left|V_{j i}\right|$ эта вырожденная критическая точка расщепляется в седло при $\theta
eq \pi$ и локальный минимум при $\theta=\pi$. Этот локальный минимум остается метастабильным до тех пор, пока $\left|V_{j i}\right|=\left(\sqrt{\Delta_{j}}+\sqrt{\Delta_{i}}\right)^{2}$. При дальнейшем возрастании $\left|V_{j i}\right|$ происходит фазовый переход первого рода. Логарифм времени туннелирования от метастабильного к устойчивому минимуму пропорционален высоте $\Delta_{j} \Delta_{i} /\left|V_{j i}\right|$ разделяющего их седлового барьера.

На рис. 15.2 показана функция $h_{C}$ для трех значений константы $V_{j i}$ при фиксированных значениях энергетических уровней $\varepsilon_{k}$.

5.4. Расширенные модели Дикке

Гамильтониан $h_{Q}$ для расширенных моделей Дикке и его классический предел $h_{C}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
h_{Q}=\sum_{1 \leqslant i<i}^{r} \hbar \omega_{j i} \frac{a_{j i}^{+} \alpha_{j i}}{N}+\sum_{1 \leqslant i}^{r} \varepsilon_{i} \frac{E_{i i}}{N}+ \\
+\sum_{1 \leqslant i<i}^{r} \lambda_{j i}\left(\frac{a_{j i}^{+}}{\sqrt{N}}\right)\left(\frac{E_{i j}}{N}\right)+\text { Эрмитово сопряженный член, (15.61 а) } \\
h_{C}=\sum_{1 \leqslant i<i}^{r} \hbar \omega_{j i} \mu_{j i}^{*} \mu_{j i}+\sum_{1 \leqslant i}^{r} \varepsilon_{i} z_{i}^{*} z_{i}+\sum_{1 \leqslant i<i}^{r} \lambda_{j i} \mu_{j i}^{*} z_{i}^{*} z_{j}+ \\
+ \text { Комплексно сопряженный член. (15.61б) }
\end{array}
\]

Критические точки функции $h_{C}$ легче всего найти, исключив из (15.61) параметры порядка для фотона $\mu, \mu^{*}$, воспользовавшись соотношением
\[
\frac{\partial h_{C}}{\partial \mu_{j i}^{*}}=\hbar \omega_{j i} \mu_{j i}+\lambda_{j i} z_{i}^{*} z_{j}=0 .
\]

В результате получаем функцию
\[
h_{C}^{\prime}=\sum_{i=1}^{r} \varepsilon_{i} z_{i}^{*} z_{i}-\sum_{1 \leqslant i<j}^{r} \frac{\left|\lambda_{j i}\right|^{2}}{\hbar \omega_{j i}} z_{i}^{*} z_{i} z_{j}^{*} z_{j} .
\]

Эта редуцированная функция идентична классической функции (15.51) (которая описывает крутические свойства основного состояния для расширения гамильтонианов МГЛ), если положить
\[
V_{j i}=0, \quad+W_{j i}=-\frac{\left|\lambda_{j i}\right|^{2}}{\hbar \omega_{j i}} .
\]

В результате туннельные инвариантности и критические свойства этих моделей изоморфны. Имеет место взаимно-однозначное соответствие между состояниями поляризации $N$-нуклонной системы и атомарной подсистемы системы атом – поле. Квантовое состояние поля можно построить в соответствии с табл. 15.2.

То, что должна существовать какая-то связь между. этими двумя моделями, уже не удивляет, если вспомнить рассуждения на стр. 22. В расширенной модели Дикке атомы взаимодействуют между собой только через поле. Поляризация атома действует как классический источник, воздействующий на поле, которое в свою очередь переносит эту информацию другим атомарным подсистемам посредством взаимодействия атом – поле. Поле как промежуточное звено с успехом можно заменить атомными операторами в предельном случае больших $N$. Следующие нестрогие рассуждения делают это утверждение по крайней мере правдоподобным. Прежде всего,
\[
\frac{\partial h_{Q}}{\partial\left(a_{i i}^{+} / \sqrt{N}\right)}=\hbar \omega_{j i} \frac{a_{j i}}{\sqrt{ } \bar{N}}+\lambda_{I i}\left(\frac{E_{i j}}{N}\right) \simeq 0 .
\]

Знак $\simeq$ означает, что этот оператор, действуя на прямое произведение состояний $\left|\psi_{a}\right\rangle \otimes\left|\psi_{f}\right\rangle$, становится сколь угодно малым по мере приближения данного прямого произведения к основному энергетическому уровню $(N \rightarrow \infty)$. Можно воспользоваться этим соотношением между атоиными и полевыми операторами для исключения операторов поля из $h_{Q}$ в (15.61a). Это приводит к равенству
\[
h_{Q}^{\prime}=\sum_{i=1}^{r} 8_{i} \frac{E_{i i}}{N}-\sum_{1 \leqslant i<i}^{r} \frac{\left|\lambda_{j i}\right|^{2}}{\hbar \omega_{j i}}\left(\frac{E_{i j}}{N}\right)\left(\frac{E_{j i}}{N}\right) .
\]

Поскольку усредненные многочастичные операторы коммутируют [см. (15.16)], их порядок в (15.66) не существен. Сравнивая (15.66) и (15.50), уже можно почувствовать причины существования связи между критическими свойствами расширенных моделей МГЛ и Дикке.