Для анализа свойств автономных динамических систем могут быть использованы терминология и методы теории градиентных динамических систем. В частности, такие термины, как «равновесие», «критическая точка», «вырожденная критическая точка», «структурная устойчивость», «структурная неустойчивость», «морсификация», «общая деформация», «фазовый портрет», можно непосредственно перенести на автономные динамические системы.

В настоящей главе изучаются геометрические свойства линеаризованной матрицы устойчивости. Такие матрицы представимы точками пространства $R^{n^{2}}$. Это пространство разбивается на открытые области, характеризующие качественно различные структурно устойчивые динамические системы, сепаратрисой, описывающей структурно неустойчивые системы, компоненты которой определяются собственными значениями линеаризованной матрицы устойчивости. Сепаратриса содержит компоненты, на которых происходит изменение динамической устойчивости, и компоненты, на которых такое изменение не происходит. Компоненты первой группы являются аналогами множеств, определяемых условием det $V_{i j}=0$ для градиентных систем. Такие компоненты описывают системы (динамические и градиентные) с вырожденными критическими точками, и с этими компонентами связаны бифуркации. Компоненты второй группы аналогичны тем множествам в пространстве управлений градиентных систем, для которых два или более критических значения равны (максвелловское множество). Қак правило, бифуркации не имеют отношения к этому множеству ни в градиентных, ни в динамических системах.
«Принцип лома» предполагает тщательный анализ различных компонент сепаратрисы в $\mathbb{R}^{n^{2}}$, В связи с этим такой анализ проводится для случая $n=2$ и рассматриваются деформации неветвящейся части сепаратрисы.

Изучаются компоненты бифуркационного множества, на котором одно или два собственных значения проходят через нуль. Соответствующая «дважды вырожденная» критическая точка называется седло-узлом. Одномерная морсификация седло-узла является аналогом катастрофы складки; двумерная морсификация может привести к «обмену устойчивостью».

Исследуются компоненты бифуркационного множества, на которых действительные части комплексно сопряженных собственных значений равны нулю. Соответствующие вырожденные критические точки называются вихрями нли центрами. Одномерная морсификация центра приводит к бифуркации Хопфа. Бифуркации Хопфа, зависящие от $k$ управляющих параметров, тесно связаны с симметризованными катастрофами типа $A_{ \pm(2 k+1)}$.