Мешков, Глик и Липкин (МГЛ) (см. [3]) предложили и исследовали модель ядерных взаимодействий в виде гамильтониана, построенного из псевдоспиновых операторов $\mathbf{J}$, обладающих свойствами, аналогичными свойствам обычных операторов углового момента. Предложенная ими модель имеет вид
\[
\mathscr{H}_{M G L}=\varepsilon J_{3}+\frac{V}{2 N}\left(J_{+}^{2}+I_{-}^{2}\right)+\frac{W}{2 N}\left(J_{+} J_{-}+J_{-} J_{+}\right) .
\]

При построении этой модели предполагалось, что каждый из $N$ одинаковых нуклонов в ядре может пребывать в одном из двух возможных состояний, разность энергий которых составляет $\varepsilon$. Параметры $V$ и $W$ описывают силы квадрупольного взаимодействия. Множитель $1 / N$ включен в члены, описывающие взаимодействия, по термодинамическим соображениям $[4,5]$. Предполагается, что все нуклоны участвуют в одинаковых взаимодействиях. Операторы $J_{3}, J_{ \pm}$являются $(2 J+1) \times(2 J+1)$-матрицами угловых моментов.
Модельный гамильтониан
\[
\mathscr{H}_{D}=\hbar \omega a^{+} a+\sum_{\alpha=1}^{N} \varepsilon \frac{1}{2} \sigma_{(\alpha)}^{z}+\frac{\lambda}{\sqrt{\bar{N}}} \sum_{\alpha=1}^{N} a^{+} \sigma_{(\alpha)}^{-}+a \sigma_{(\alpha)}^{+},
\]

описывающий взаимодействие между одномодальным радиационным полем с энергией $\hbar \omega$ и системой $N$ одинаковых двухуровневых атомов, был предложен и исследован Дикке [6]. Разность энергий основного и возбужденного энергетических уровней составляет $\varepsilon$, а сила взаимодействия, описываемая параметром $\lambda$, по существу, представляет собой дипольный матричный элемент. Множитель $N^{-1 / 2}$ включен из термодинамических соображений. Предполагается, что все атомы испытывают одинаковые взаимодействия. Операторы $\sigma^{z}, \sigma^{ \pm}$являются $(2 \times 2)$-спиновыми матрицами Паули.

Между этими двумя гамильтонианами больше общего, чем кажется на первый взгляд. Прежде всего, каждый из них является прототипом очень широкого класса многочастичных гамильтонианов. Кроме того, оба обладают очень похожими критическими свойствами, причем эта аналогия отнюдь не искусственная. На самом деле существует глубокая физическая причина, лежащая в основе этой связи [см. (15.47)].

Дадим общее описание двух обширных классов многочастичных модельных гамильтонианов, прототипами для которых послужили модели МГЛ и Дикке.

3.1. Модели типа МГЛ

Предположим, что каждый из $N$ одинаковых нуклонов может находиться в любом из $r$ возможных состояний с энергией $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\ldots<\varepsilon_{r}$. При отсутствии взаимодействий гамильтониан можно выразить через многочастичные операторы
\[
\mathscr{H}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{\alpha=1}^{N} \varepsilon_{i} e_{i i}^{(\alpha)}=\sum_{i=1}^{r} \varepsilon_{i} E_{i i}=N \sum_{i=1}^{r} \varepsilon_{i}\left(\frac{E_{i i}}{N}\right) .
\]

Типичный член гамильтониана, описывающий взаимодействие, включает произведение одночастичных операторов рассеяния для двух различных нуклонов. Общий вклад таких членов можно записать в виде
\[
V^{(2)}=N^{-1} \sum_{\alpha
eq \beta} V_{\alpha(i j), \beta(r s)}^{\prime} e_{i j}^{(\alpha)} e_{r s}^{(\beta)} .
\]

Множитель $N^{-1}$ включен по следующим соображениям. В любом $N$-нуклонном состоянии $|\Psi\rangle$ – среднее значение оператора $e_{i j}^{(\alpha)}$ любой отдельной частицы по величине порядка единицы. Если элементы матрицы рассеяния $V^{\prime}$ имеют порядок единицы, то величина суммы в (15.28) порядка $N^{2}$. В результате (15.27i) и (15.28) не будут совпадать по порядку величины, если (15.28) не поделить на $N$.

На данном этапе целесообразно пояснить, что имеется в виду под «приближением среднего поля». При таком приближении элементы $V^{\prime}$ матрицы рассеяния в (15.28) не зависят от $\alpha$ и $\beta$. Иными словами, для каждой частицы «наблюдаемая картина» взаимодействий такая же, как и для любой другой частицы. Таким образом, взаимодействие типа «частица – частица» можно заменить неким средним взаимодействием
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{N} \sum_{\alpha
eq \beta(i j)(r s)} V_{\alpha(i j) \beta(r s)}^{\prime} e_{i j}^{(\alpha)} e_{r s}^{(\beta)}=\frac{1}{N} \sum_{(i j)(r s)} V_{(i j)(r s)} \sum_{\alpha} e_{i j}^{(\alpha)} \sum_{\beta} e_{r s}^{(\beta)}= \\
=N \sum_{(i j)(r s)} V_{(i j)(r s)}\left(\frac{E_{i j}}{N}\right)\left(\frac{E_{r s}}{N}\right) .
\end{array}
\]

В результате замены матричных элементов $(N-1) V^{\prime}=N V$ сумма включает и «самовзаимодействия» $(\alpha=\beta)$.

В приближении среднего поля не принимаются во внимание соображения, учитывающие внутриядерные расстояния, и другие тонкие детали, которые находят отражение в более реалистических моделях ядерных взаимодействий. Тем не менее при таком подходе существенно упрощается расчетная сторона дела и, по существу, «неподъемная» задача заменяется вполне обозримой. Более того, для систем с большим числом нуклонов такая модель дает достаточно хорошее приближение. При численных расчетах систем с небольшим числом нуклонов на каком-то этапе всегда применяется приближение среднего поля. Исключение составляют лишь необычайно сложные программы для решения специальных задач на ЭВМ.

По причинам феноменологического характера может возникнуть необходимость в рассмотрении членов гамильтониана, описывающих одновременное рассеяние трех или более нуклонов. В приближении среднего поля и с учетом нормировки взаимодействие трех частиц описывается членом вида
\[
V^{(3)}=N \sum V_{(i j)(i j)^{\prime}(i j)^{*}}\left(\frac{E_{i j}}{N}\right)\left(\frac{E_{i^{\prime} j^{\prime}}}{N}\right)\left(\frac{E_{i^{\prime \prime} j^{\prime \prime}}}{N}\right) .
\]

Аналогичный вид имеют члены, описывающие взаимодействие четырех и более нуклонов. Из физических соображений можно ожидать, что 2 -нуклонные взаимодействия (15.27ii) более существенны, чем 3 -нуклонные $(15.27 \mathrm{iii}) ; V^{(3)}$ более важно, чем $V^{(4)}$, и т. д.; $N$-нуклонный гамильтониан есть сумма членов вида (15.27i), (15.27ii), (15.27iii), … с убывающей степенью значимости. Его можно записать в виде
\[
\frac{\mathscr{H}}{N}=h_{Q}\left(\frac{E}{N}\right) .
\]
(По техническим причинам будем предполагать, что $h_{Q}$ является полиномом конечной степени от усредненных многочастичных операторов $E / N$.)

Гамильтониан МГЛ (15.25) является прототипом гамильтониана вида (15.29). Для получєния первого как частного случая (15.29) заметим, что при $r=2$
\[
E_{21}=J_{+}, \quad E_{12}=J_{-}, \frac{1}{2}\left(E_{22}-E_{11}\right)=J_{3},
\]

и положим
\[
\begin{array}{ll}
V_{22}=\frac{\varepsilon}{2}, & V_{(12)(12)}=V_{(21)(21)}=\frac{V}{2}, \\
V_{11}=-\frac{\varepsilon}{2}, & V_{(12)(21 !}=V_{(21)(12)}=\frac{W}{2} ;
\end{array}
\]

при этом все остальные элементы рассеивания равны нулю.
При $r=2$ гамильтониан (15.29) имеет вид $\mathscr{H}=N h_{Q}(\mathbf{J} / N)$. Если $h_{Q}$ не представим в специальном виде (15.29) как сумма линейного энергетического члена ( $\left.\varepsilon J_{3}\right)$ и квадратичного члена взаимодействий $\left(J_{+}^{2}+J_{-}^{2},\left\{J_{+}, J_{-}\right\}\right)$, то говорят, что $\mathscr{C}$ является гамильтонианом типа МГЛ.

При $r>2$ гамильтониан $\mathscr{H}$ является расширенной моделью МГЛ, если он представляет собой сумму линейных энергетических членов ( $\varepsilon_{i} E_{i i}$ ) и квадратичных членов взаимодействия

$\left(E_{i j}^{2}+E_{j i}^{2},\left\{E_{i j} E_{j i}\right\}\right)$. В противном случае говорят, что он относится к расширенному типу $М Г I$ (табл. 15.1).

Таблица 15.1. Модели МГЛ и Дикке как прототипы более широких классов модельных гамильтонианов
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline & \multicolumn{2}{|c|}{ Одна подсистема } & \multicolumn{2}{|c|}{\begin{tabular}{c}
Две взаимодействующие \\
подсистемы
\end{tabular}} \\
\hline & \begin{tabular}{c}
линейные \\
и квадратичные \\
части \\
с симметрией
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
полином \\
без симметрии
\end{tabular} & \begin{tabular}{c}
линейные \\
и билинейные \\
части \\
с симметрией
\end{tabular} & \begin{tabular}{c}
полином \\
без симметрни
\end{tabular} \\
\hline \begin{tabular}{l}
$r=2$ \\
$S \bar{U}(2)$
\end{tabular} & МГЛ & Типа МГл & Дикке & Типа Дикке \\
\hline \begin{tabular}{l}
$r>2$ \\
$S U(r)$
\end{tabular} & \begin{tabular}{c}
Расшиғенная \\
МГЛ
\end{tabular} & \begin{tabular}{c}
Расширєнного \\
типа МГЛ
\end{tabular} & \begin{tabular}{c}
Расширенная \\
Дикке
\end{tabular} & \begin{tabular}{c}
Расширенного \\
типа Дикке
\end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}
3.2. Модели типа Дикке

Предположим, что каждый (или каждая) из $N$ одинаковых атомов (или молекул) может находиться в одном из $r$ возможных состояний с энергией $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\ldots<\varepsilon_{r}$. Подсистема, состоящая из $N$ одинаковых атомов, может взаимодействовать с другой подсистемой, представляющей собой электромагнитное поле. Предположим для простоты, что с каждой парой уровней взаимодействует одно из возможных состояний поля и что это взаимодействие близко к резонансному, т. е. $\hbar \omega_{i j} \simeq \varepsilon_{j}-\varepsilon_{l}$. Если взаимодействия слабые, то главный член гамильтониана может быть записан через бозонные операторы, действующие на число заполнения уровней, и одночастичные или многочастичные атомные операторы:
\[
\mathscr{H}=\sum_{1 \leqslant i<j}^{r} \hbar \omega_{j i} a_{j i}^{+} a_{j i}+\sum_{i=1}^{r} \sum_{\alpha=1}^{N} \varepsilon_{i} e_{i i}^{(\alpha)}+V_{\mathrm{Int}} .
\]

Для моделирования взаимодействия предположим, что переход из $j$-го состояния в $i$-е $(j>i)$ связан с испусканием (рождением) фотөна в квазирезонансном состоянии. Если $\lambda_{j i}$ есть дипольный матричный элемент этого перехода, то член взаимодействия имеет вид
\[
V_{\text {Int }}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{1 \leqslant i<j}^{r} \sum_{\alpha=1}^{N} \lambda_{i i} a_{i j}^{+} e_{i j}^{(\alpha)}+\lambda_{j i}^{*} a_{i j} e_{j i}^{(\alpha)} .
\]
(Множитель $N^{-1 / 2}$ включен по термодинамическим соображениям.)

Полный гамильтониан $(15.31)+(15.32)$, описывающий взаимодействие между двумя подсистемами [поле с $\left(\begin{array}{l}r \\ 2\end{array}\right)$ состояниями и $N$ одинаковых $r$-уровневых атомов], можно записать в виде
\[
\frac{\mathscr{H}}{N}=h_{Q}\left(\frac{a^{\mathrm{b}}}{\sqrt{\bar{N}}}, \frac{a}{\sqrt{N}} ; \frac{E}{N}\right) .
\]
(По техническим соображениям будем предполагать, что $h_{Q}-$ полином конечной степени от усредненных бозонных операторов $a^{\dagger} / \sqrt{N}, a / \sqrt{N}$ и усредненных многочастичных операторов $E / N$.)

Гамильтониан в случае модели Дикке (15.26) является прототипом гамильтонианов вида (15.33). Для вывода гамильтониана Дикке из (15.33) положим
\[
\begin{array}{l}
a_{21}^{+}=a^{+}, e_{21}^{(\alpha)}=\sigma_{\alpha}^{+}, \\
a_{21}=a, e_{12}^{(\alpha)}=\sigma_{\alpha}^{-}, \\
e_{22}^{(\alpha)}-e_{11}^{(\alpha)}=\sigma_{\alpha}^{z}
\end{array}
\]

и
\[
\hbar \omega_{21}=\omega, \quad \begin{array}{l}
\varepsilon_{2}=+\frac{\varepsilon}{2}, \\
\varepsilon_{1}=-\frac{\varepsilon}{2},
\end{array} \quad \lambda_{21}=\lambda .
\]

Гамильтонианы вида (15.33) называют моделями Дикке или расширенными моделями Дикке в зависимости от того, $r=2$ или $r>2$. Гамильтонианы вида (15.33), включающие дополнительные члены (например, $E_{i j}^{2}, E_{i j} E_{j k} a_{i k}$ ), кроме билинейных членов взаимодействия вида $a_{j i}^{\dagger} E_{i j}$, называют моделями типа Дикке ( $r=2$ ) или моделями расширенного типа Дикке $(r>2)$ (см. табл. 15.1).

Различие между моделями, для которых прототипами являются модели МГЛ и Дикке, состоит в следующем. В первом случае имеется только одна система (нуклоны), а во второмдве взаимодействующие подсистемы (атом и поле). Для получения моделей расширенного типа Дикке можно воспользоваться приближением среднего поля, как это было сделано для получения моделей расширенного типа МГЛ. В этом приближении поле ведет себя классическим образом по отношению к атомам, а атомы в свою очередь проявляют свойства классического тока по отношению к полю [8]. В таком приближении гамильтониан $h_{Q}$ заменяется полуклассическим гамильтонианом, опи, сывающим одну систему с квантовомеханических позиций, а другую-с классических:
\[
\begin{array}{l}
h_{Q}\left(\frac{a^{\#}}{\sqrt{N}}, \frac{E}{N}\right) \rightarrow h_{A}\left(\left\langle\frac{a^{\#}}{\sqrt{N}}\right\rangle, \frac{E}{N}\right), \\
h_{Q}\left(\frac{a^{\#}}{\sqrt{N}}, \frac{E}{N}\right) \rightarrow h_{F}\left(\frac{a^{\#}}{\sqrt{N}},\left\langle\frac{E}{N}\right\rangle\right) .
\end{array}
\]

Здесь $a^{\#}=a, a^{\dagger}$, а средние значения даются (15.24). Полуклассические гамильтонианы для атома $h_{A}$ и поля $h_{F}$ комплементарны.
4. АЛГОРИТМ ДЛЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ, СОПРОВОЖДАЮЩИХСЯ ИЗМЕНЕНИЕМ ЭНЕРГИИ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ
Качественное поведение квантовой системы, находящейся в основном энергетическом состоянии, весьма чувствительно к изменению, величины параметров, описывающих в гамильтониане силы взаимодействия. Эти параметры можно трактовать как управляющие параметры системы. В такой ситуации при изменении параметров управления система может претерпевать качественные изменения (фазовые переходы).

Существует простой трехшаговый алгоритм для изучения фазовых переходов в случае моделей, описанных в разд. 3. Этот алгоритм основан на предельных классических результатах, изложенных в разд. 2 , и включает следующие шаги:
1. $\mathscr{H} / N=h_{Q}\left(a^{\#} / \sqrt{N}, E / N\right)$.
2. $h_{Q} \rightarrow h_{C}=\left\langle h_{Q}\right\rangle=h_{Q}\left(\left\langle a^{\#} / \sqrt{ } \bar{N}\right\rangle,\langle E / N\rangle\right)$.
3. $E_{g} / N=\min h_{C}$.
Қачественное изменение основного состояния квантовомеханического гамильтониана $\mathscr{C}=N h_{Q}$ происходит, когда качественно меняется минимум классической функции $h_{C}$.