До сих пор рассматривались только некоторые из потоков, которые могут встречаться в динамических системах, причем наше внимание было сосредоточено исключительно на системах малого числа измерений. Такой подход мог бы считаться оправданным, если бы существовал некоторый аналог расщепления (2.4), справедливый для динамических систем.

Оказывается, что такой аналог есть, и им является так называемая теорема о центральном многообразии [11].
Предположим, что
$$\begin{array}{rl}\dot{x}=F(x;c),x& \in {\mathbb{R}}^n,c\in {\mathbb{R}}^k,\\ F(x;c)& \in {\mathbb{R}}^n\end{array}$$

является $k$-параметрическим семейством динамических систем. Смена устойчивости происходит в критической точке или потоке, как только одно или несколько собственных эначений соответствующей матрицы устойчивости имеют не равную нулю действительную часть. Если критическая точка возникает в $x^0$ при $c=c^0$, то линеаризация вблизи критической точки дает соотношение
$${\dot{x}}_i=F_{ij}(x^0;c^0)\delta x_j+\text{ Члены более высокого порядка. }$$

Можно разбить линейное векторное пространство перемещений $\delta x$ из $x^0$ на три линейных векторных пространства:
$$V=V_s+V_c+V_u.$$

Здесь $V_s$ образовано такими собственными векторами $F_{ij}$, собственные значения которых имеют отрицательные действительные части; неустойчивое пространство $V_u$ образовано собственными векторами $F$ с положительными действительными частями; центральное подпространство $V_c$ образовано собственными векторами $F$, действительные части которых обращаются в нуль. Именно это подпространство является критическим, потому что оно связано с бифуркациями системы (20.53), и его можно локально расширить до многообразия, называемого центральным многообразием.

Если $\delta x$ — произвольное перемещение из $x^0$, то в окрестности $(x^0;c^0)$ уравнения, описывающие динамическую систему, можно представить в более простом виде:
$$\begin{array}{rl}\delta x& =\delta v_s+\delta v_c+\delta v_u;\delta v_{\mathrm{\#}}\in V_{\mathrm{\#}},\\ \delta {\dot{v}}_s& =G_s\delta v_s,\\ \delta {\dot{v}}_c& =G_c(\delta v_c;c),\\ \delta {\dot{v}}_u& =G_u\delta v_u,\end{array}$$

где $G_s$ — матрица размером $s\times s(s=\dim V_s)$, а $G_u$ — матрица размером $u\times u(u=\dim V_u)$, оператор $G(\delta v_c;c)$ нелинейный. Уравнение (20.54′) представляет собой аналог леммы расщепления (2.3) для динамической системы. Вдали от центрального многообразия уравнения динамической системы можно линеари-

Рис. 20.29.
В критической тоңке в пространстве ${\mathbb{R}}^4$ с двумя чисто мнимыми собственными значениями и двумя действительными собственными значениями (положительным и отрицательным) разложение центрального многообразия будет включать двумерное центральное многообразие $V_c$ и два одномерных многообазия $V_s,V_u$.

Рис. 20.30.
Критическая точка в ${\mathrm{R}}^3$ с двумя чисто мнимыми собственными значениями $\pm i\omega$ и одним отрицательным собственным значением — $\lambda$ нмеет разложение центрального устой чивого многообразия. Если собственные значения сильно различаются по модулю, дви. жение дннамической системы содержит либо линейный спуск ( $\lambda \gg \omega )$, либо спуск по винтовой линии ( $\omega \gg \lambda )$.

зовать. Лишь на центральном многообразии размерности $c⩽n$ должны удерживаться какие-либо члены более высокой степени. Все бифуркации динамической системы в окрестности $c^0$ определяются по оператору $G_c(\delta v_c;c)$. Указанное снижение размерности существенно упрощает исследование бифуркаций, связанных с динамическими системами (20.53).

Попытка показать составные части центрального многообразия для динамической системы в ${\mathbb{R}}^4$, обладающей в критической точке двумя действительными собственными (положительным и отрицательным) и двумя комплексно-сопряженными собственными значениями, нашла отражение на рис. 20.29. Любое перемещение $\delta x$ при условии $\delta v_{u}eq0$ приведет в конечном итоге к выходу из окрестности критической точки. В связи с тем что в приложениях основной интерес представляют устойчивые критические точки, на рис. 20.30 показано разложение центрального устойчивого многообразия для динамической системы в ${\mathbb{R}}^3$, обладающей в критической точке одним отрицательным собственным значением ( $-\lambda$ ) и двумя чисто мнимыми собственными значениями $(\pm i\omega )$. Если $\lambda \gg \omega$, то состояние системы будет осуществлять «линейный спуск» на центральное многообразие; если $\lambda \ll \omega$, то этот спуск будет проходить по винтовой линии. С указанным центральным многообразием связана бифуркация Хопфа.

Типы бифуркаций, которые могут возникнуть в $k$-параметрическом семействе $n$-мерных динамических систем, можно определить следующим образом:
— найти компоненты бифуркационного множества $F_{ij}(x^0$; $c^0$ ) и их различные размерности;
— применить теорему о центральном многообразии в некоторой типичной точке каждой компоненты бифуркационного множества;
— применить вышеописанный метод для определения, какие динамические потоки располагаются вблизи особого структурно неустойчивого потока, параметризуемого точкой $c\in {\mathcal{C}}_B$ в бифуркационном множестве.

Было бы желательно разработать перечень канонических отображений $G(\delta v_c;c)$ для динамических систем по аналогии с уже имеющимся списком функций, соответствующих каноническим катастрофам, для вырожденных критических точек.