7.1. Теорема о неявной функции
Используем правила нахождения определенности, деформации и канонических ростков для описания некритических точек, морсовских критических точек и неморсовских критических точек различных типов. На всем протяжении этого раздела мы будем изучать функции $l$ переменных состояния, значения которых в начале координат равны нулю.

Предположим, что $
abla f
eq 0$. Тогда можно считать, что $f$ является 1 -определенной, и написать
\[
j^{1} f=\sum_{i=1}^{1} a_{i} x_{i}
\]

где по крайней мере один из коэффициентов $a_{i}$ отличен от нуля. Для такого коэффициента (пусть это будет $a_{1}$ ) $\partial \bar{f} / \partial x_{1} a_{1}
eq$ $
eq 0$ и любой линейный одночлен $x_{j}$ может быть записан в виде
\[
x_{i}=\frac{1}{a_{1}} j^{1}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}} x_{j}\right) .
\]

Аналогичным образом могут быть записаны все одночлены степени выше первой степени. Слєдовательно, $f$ является 1-определенной. Кроме того, все одночлены не выше первой степени могут быть представлены в виде произведения $\partial f / \partial x_{1}$ и одночлена $n_{j}(x)$ не выше первой степени. Таким образом, нет необходимости вводить деформирующие члены для f. Наконец, одномерное пространство $V_{p} / V_{D}$ имеет базисный вектор 1 , и поэтому простейший канонический росток, частные производные которого порождают это пространство, имеет вид $f_{c g}=x_{1}$, так что
\[

abla f
eq 0 \Rightarrow f
eq x_{1} .
\]
7.2. Лемма Морса

Предположим, что $
abla f=0$, но $\operatorname{det} \partial^{2} f / \partial x_{i} \partial x_{i}=\operatorname{det} f_{i j}
eq 0$. Далее предположим, что функция $f$ является $p$-определенной, причем $p=2$. Тогда
\[
\bar{f}=j^{2} f=\frac{1}{2} x_{i} x_{j} f_{i j} .
\]

Отсюда находим, что $\partial \vec{f} / \partial x_{i}=f_{i j} x_{j}$, а так как $f_{i j}$ – невырожденная матрица, то каждый одночлен $x_{i}$ может быть представлен в виде линейной комбинации $\partial \bar{f} / \partial x_{i}$ :
\[
x_{i}=\left(f^{-1}\right)_{i i} \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_{i}} .
\]

Общий одночлен второй степени также может быть записан в виде линейной комбинации произведений формы $\partial \bar{f} / \partial x_{j}$ и $x_{j}$ :
\[
x_{i} x_{j}=j^{2}\left(f_{i k}^{-1} \frac{\partial \bar{f}}{\partial x_{k}} x_{i}\right)=f_{i k}^{-1} j^{2}\left(\frac{\partial \bar{f}}{\partial x_{k}} x_{j}\right) .
\]

Здесь $f^{-1}$ обозначает матрицу, обратную матрице $f_{i j}$. Так как все одночлены второй степени могут быть представлены в виде произведений частных производных $\partial \bar{f} / \partial x_{i}$ на $n_{0}(x)=1$ или $n_{l}(x)=x_{j}, 1 \leqslant j \leqslant l$, то для функции $f(x)$ нет нужды в деформирующих членах. И наконец, пространство $V_{p} / V_{D}$ порождается одночленами $x_{1}, \ldots, x_{l}$, так что простейшая функция, $l$ частных производных которой порождают это пространство, является просто суммой $l$ квадратичных членов:
\[
f \geq \sum_{i=1}^{l} \lambda_{i} x_{i}^{2}, \quad \lambda_{i}
eq 0
\]
7.3. $\boldsymbol{A}_{k}$
Рассмотрим функции
\[
f(x)=x^{k+1} g(x),
\]

где $g(x)$ – гладкая функция, у которой $g(0)=1$. Как было показано (пример 2 разд. 4), эта функция является $(k+1)$-определенной. Деформация $\bar{f}(x)=j^{k+1} f(x)=x^{k+1}$ также была уже найдена (пример 1 разд. 5). Пространство $V_{p}-\left(V_{D} \oplus V_{U}\right)$ порождается $x^{k}$. Қанонический росток представляется простейшей функцией $f_{c g}$, первая производная которой пропорциональна $\partial \bar{f} / \partial x=x^{k}$. Следовательно,
\[
f \doteq f_{\mathrm{og}}=x^{k+1}
\]

а все наиболее общие возмущения такие же, как в табл. 2.2,
7.4. $D_{k}$
Рассмотрим функцию
\[
f(x, y)=x^{2} y+y^{k-1} .
\]

Эта функция является ( $k-1$ )-определенной (пример 3 разд. 4), а ее универсальная деформация была построена в примере 3 (разд. 5). Все результаты, касающиеся этой функции, суммированы в табл. 4.1.
7.5. $E_{6}, E_{7}, E_{8}$
Ростками $E_{6}, E_{7}, E_{8}$ являются
\[
\begin{array}{l}
E_{6}: f(x, y)=x^{3}+y^{4}, \\
E_{7}: f(x, y)=x^{3}+x y^{3}, \\
E_{8}: f(x, y)=x^{3}+y^{5} .
\end{array}
\]

Правила нахождения определенности и деформации имеют особенно простой вид для $E_{6}$ и $E_{8}$, так как $\partial f / \partial x$ и $\partial f / \partial y$ одночлены. Эти вычисления суммированы в диаграммах на рис. 23.4,

Рис. 23.4. Для $E_{6}$ и $E_{8}$ все одночлены четвертой и пятой степени могут быть представлены в виде $\left(\partial f / \partial x_{i}\right) m_{j}$.
Члены деформации изображены светлымн кружочками; исключен лишь постоянныи член.

Ріс. 23.5. Диаграммное представление многочлена $E_{7}=x^{8}+x y^{3}$, у которого $\partial f / \partial y$ – одночлен, а $\partial f / \partial x-$ нет. одночленами. Пары одночленов, возникающих из $(\partial / / \partial x) n_{j}=\left(x^{2}+y^{3}\right) n_{j}$ в алгоритме вычисления деформации, отмечены одинаковыми буквами.

Проведение этих правил нахождения определенности и деформации для $E_{7}$ не является столь простым, так как $\partial f / \partial x=$ $=x^{3}+y^{3}$ не одночлен. Несмотря на это, они и не столь сложны и даже могут быть представлены в виде диаграмм, изображенных на рис. 23.5. Так как одночлены $b_{2}, d_{2}, e_{2}, \ldots$ встречаются в тени $\partial f / \partial y=x y^{2}$, то одночлены $b_{1}, d_{1}, e_{1}, \ldots$ могут быть представлены в виде линейных комбинаций $S_{i j}(x)$. Аналогично, так как $f_{1}, \ldots$ встречаются в этой же тени, то $f_{2}, \ldots$ могут быть также представлены в виде линейных комбинаций $S_{i j}(x)$. Все одночлены в тени $b_{1}$ (включая и сам $b_{1}$ ), в тени $f_{2}$ (включая $f_{2}$ ) и в тени $x y^{2}$ (исключая $x y^{2}$ ) могут быть представлены в виде линейных комбинаций $R_{i j}(x)$. Все многочлены пятой степени могут быть представлены аналогично, так что росток $E_{7}$ является 4-определенным.

Деформация $E_{7}$ должна включать как одночлены $x, y, x y, y^{2}$, так и линейные комбинации $a_{1}$ и $a_{2}$, линейно независимые от $a_{1}+a_{2}$, и линейные комбинации $c_{1}$ и $c_{2}$, линейно независимые от $c_{1}+c_{2}$. Универсальная деформация $E_{7}$ (не единственная) приведена в табл. 4.1.
7.6. Кратные сборки

Наиболее общий вид нарушений, встречаемых в одноэлементных структурных инженерных проблемах, принадлежит к катастрофам типа сборки. Сложная система может быть композицией нескольких структурных элементов, каждый из которых может отказать при некоторой нагрузке по катастрофе сборки. В современной инженерной практике стало привычным делом проектирование систем таким образом, чтобы все виды нарушений наступали при одном и том же нагружении. Если существуют $l$ видов нарушений, то соответствующим ростком катастрофы при этом значении нагрузки является
\[
f\left(x_{1}, \ldots, x_{i}\right)=\sum_{i=1}^{l} \lambda_{i} x_{i}^{4}, \quad \lambda_{i}
eq 0 .
\]

Особенно важно поэтому знать чувствительность к несовершенству кратных ростков катастроф сборки. Это значит, что важно знать наиболее общие возмущения ростка катастрофы (23.61). Такое возмущение легко построить с помощью следующих правил нахождения определенности и деформации.

Частные производные $\partial f / \partial x_{i}=x_{i}^{3}$ приводят при использовании алгоритма нахождения определенности к одночленам $R_{i j}$ вида
\[
x_{i}^{3}\left(x_{1}^{p_{1}} x_{2}^{p_{2}} \ldots x_{l}^{p_{l}}\right), \quad p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{l} \geqslant 1,
\]
т. е. все одночлены вида
\[
x_{1}^{q_{1}} x_{2}^{q_{2}} \ldots x_{l}^{q_{l}}
\]

могут быть выражены в виде одночленов ( $\left.\partial f / \partial x_{i}\right) m_{l}(x)$ при условии, что по крайней мере одна из степеней $q_{i}$ превышает 2 , а сумма всех степеней $q_{i}$ превышает 3. Одночлен вида (23.63) более высокой степени, не выражаемый в виде $R_{i j}$, имеет все степени $q_{i}$, равные 2 . Следовательно, кратные сборки имеют конечную определенность, равную $2 l$, где $l>1$.

$\diamond \diamond \diamond$ Двойная сборка является 4-определенной. Это означает, что функция
$f(x, y)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2} y^{2}+d x y^{3}+e y^{4}+$ члены более высокой степени (23.64)

является 4-определенной, когда $a e
eq 0$. В этом случае члены более высокой степени могут быть «усечены». Теперь можно выполнить линейное преобразование, которое приведет $f(x, y)$ к канонической форме
\[
f^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)= \pm x^{\prime 4}+c^{\prime} x^{\prime 2} \pm y^{\prime 4} .
\]

Это не является формулой стандартной двойной сборки, если $c^{\prime}=0$. Таким образом, даже простейшая двойная сборка не является простым ростком катастрофы. В случае $l=3$ тройная сборка является 6-определенной, так что все члены седьмой степени и выше могут быть «усечены». Однако определенные члены четвертой, пятой и шестой степеней не могут быть удалены каким-либо гладким преобразованием. Таким образом, для того чтобы $f(x, y, z)$ была тройной сборкой, недостаточно потребовать
\[
j^{4} f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4},
\]

но уже достаточно
\[
j^{6} f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4} .
\]

Членами деформации для кратных сборок являются в точности те одночлены, которые дсполнительны к $S_{i j}$, возникающим в алгоритме деформации. Одночлены $S_{i j}$ имеют вид (23.63), где опять же требуется, чтобы $q_{1}+q_{2}+\ldots+q_{t} \geqslant 0$. Таким образом, $T_{j}(x)$ состоят из всех одночленов вида (23.63), в которых все члены не выше второй степени (т. е. $q_{i}=0,1,2$ для каждого $i=1,2, \ldots$ ). Всего существует точно $3^{t}$ одночленов, или $3^{t}-1$, если исключить константу.
Итак:
– если при $l>1$
\[
j^{2 l} f\left(x_{1}, \ldots, x_{l}\right)=\sum_{i=1}^{l} \lambda_{i} x_{i}^{4}, \quad \lambda_{i}
eq 0,
\]

то $f$ эквивалентна кратной сборке и
\[
f\left(x_{1}, \ldots, x_{i}\right) \doteq \sum_{i=1}^{l} \lambda_{i} x_{i}^{\prime 4}
\]
– универсальной деформацией $f$ является
\[
F(x ; a)=\sum_{i=1}^{l} \lambda_{i} x_{i}^{4}+\sum_{0 \leqslant q_{i} \leqslant 2} a_{1}^{q_{1}} \ldots q_{l} x_{1}^{q_{1}} \ldots x_{l}^{q_{l}} .
\]

Рис. 23.6. Деформация двойной сборки $f(x, y)=x^{4}+y^{4}$.
– члены, содержащиеся в деформации двойной сборки, встречаются в квадрате, ограниченном осями $x$ и $y$ и горизонтальной и вертикальной прямыми, исходящими из одночленов $x^{3}=\partial / / \partial x$ и $y^{3}=\partial / / \partial y$.

Деформация двойной сборкн, получаемая посредством диаграммного метода, изображена на рис. 23.6. Члены деформации имеют вид $\left(x^{0}, x^{1}, x^{2}\right) \times\left(y^{0}, y^{1}, y^{2}\right)$ и заключены в квадрат, очерченный штриховой линией. Для тройной сборки члены деформации – это в точности те одночлены, которые встречаются в кубе $\left(x^{0}, x^{1}, x^{2}\right) \times\left(y^{0}, y^{1}, y^{2}\right) \times\left(z^{0}, z^{1}, z^{2}\right)$. Для $l$-мерной сборки члены деформации встречаются в гиперкубе ( $\left.x_{1}^{0}, x_{1}^{1}, x_{1}^{2}\right) \times \ldots$ $\ldots \times\left(x_{l}^{0}, x_{l}^{1}, x_{l}^{2}\right)$ с длиной ребра, равной 2.