В окрестности бифуркационного множества в пространстве $\mathbb{R}^{4}$; определяемого соотношением (19.17), уравнения движения в соответствующей системе координат можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t}\left[\frac{x}{y}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\lambda & -\omega^{\prime} \\
\omega^{\prime} & \lambda
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right] .
\]

Рис. 19.17. Структурно неустойчивые портреты динамической системы с двумя чисто мнимыми собственными значениями.

На самом бифуркационном множестве $\lambda=0$ и $\omega^{\prime}
eq 0$, если число управляющих параметров ғе превышает единицу. Фазовый портрет для случая $\lambda=0$ псказан на рис. 19.17. Фазовые портреты таких структурно и динамически неустойчивых систем называются центрами или вихрями.

Деформации центров удобно рассматривать в полярной системе координат. Тогда уравнения движения будут иметь вид
\[
\frac{d r}{d t}=\lambda r, \quad \frac{d \theta}{d t}=\omega^{\prime} .
\]

На бифуркационном множестзе $\lambda=0$, и при прохождении $\lambda$ через нуль происходит изменение динамической устойчивости. Қак и в предыдущем случае, можно ожидать, что изменение динамической устойчивости сопровождается появлением качеманываемся.)

Қак обычно, появление новых решений можно определить, анализируя деформацию вырожденной динамической системы. Для этого запишем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=f_{r}(r, \theta)=\lambda r+\text { Члены более высокой степени, } \\
\frac{d \theta}{d t}=f_{\theta}(r, \theta)=\omega^{\prime}+\text { Члены более высокой степени. }
\end{array}
\]

На бифуркационном множестве первые члены разложения $f_{\theta}(r$, $\theta$ ) в ряд Тейлора отличны от нуля; поэтому можно ожидать, что члены более высокой степени несущественны, и ими можно пренебречь.

В первом приближении можно ограничиться только деформациями, инвариантными относительно вращения:
\[
f_{r}(r, \theta)=f_{r}(r) \text {. }
\]

Отметим, что в действительности вблизи начала координат всегда можно выбрать такую координатную систему $(r, \theta)$, в которой любая гладкая деформация будет иметь такой вид. Далее, радиальная функция $f_{r}(r)$ может включать только члены с нечетными степенями $r$, поскольку из инвариантности относительно вращения следует, что замена $x \rightarrow-x, y \rightarrow-y$ дает $\dot{x} \rightarrow-\dot{x}, \dot{y} \rightarrow-\dot{y}$. Эта симметрия нарушается, если $f_{r}(r)$ содержит члены с четными степенями $r$.

Таким образом, достаточно общая деформация динамической системы (19.34) имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=\lambda r+A r^{3}+B r^{5}+\ldots, \\
\frac{d \theta}{d t}=\omega^{\prime} .
\end{array}
\]

Рассмотрим сначала 1-параметрические семейства динамических систем, в которых действительная часть собственного значения проходит через нуль с ненулевой скоростью: $\partial \lambda(c) / \partial c
eq 0$ при $\lambda(c)=0$. В этом случае в силу теоремы о неявной функции $\lambda$ можно выбрать в качестве управляющего параметра. При $\lambda=0 A$, вообще говоря, отлично от нуля (для 1-параметрического семейства), поэтому в ряде Тейлора (19.37) можно опустить члены после $r^{3}$. Далее, вводя новый радиальный масштаб ( $r \rightarrow|A|^{-1 / 2 r^{\prime}}$ ), получим следующий канонический вид деформированной системы:
\[
\frac{d r}{d t}=\lambda r \pm r^{3}, \quad \frac{d \theta}{d t}=\omega^{\prime} .
\]

В такой системе зависимость $\theta(t)$ тривиальна: $\theta(t)=\theta_{0}+$ $+\omega^{\prime} t$, и именно радиальное уравнение ответственно за появление качественно новых решений.

Рассмотрим теперь стационарные значения $r$ для данной динамической системы в случае
\[
\frac{d r}{d t}=\lambda r-r^{3} .
\]

Очевидно, что $r=0$ всегда является стационарным значением. Это есть точка притяжения (устойчивая) при $\lambda<0$ и точка отталкивания (неустойчивая) при $\lambda>0$. При $\lambda<0$ других стационарных точек нет. При $\lambda \geq 0$ имеется устойчивый предельный цикл с радиусом $r=\sqrt{\lambda}$. В тот момент, когда действительная часть собственных значений $\lambda_{ \pm}$, возрастая, проходит через нуль, устойчивый фокус вначале теряет устойчивость и становится неустойчивым, выпуская устойчивую круговую притягивающую орбиту, радиус которой возрастает по каноническому закону $\sqrt{\lambda}$. Это явление называют суперкритической бифуркацией Хопфа. Фазовый портрет такой бифуркации показан на рис. 19.18 .
Для динамической системы в случае
\[
\frac{d r}{d t}=\lambda r+r^{3}
\]

точка $r=0$ всегда является равновесной. Опять-таки она устойчива при $\lambda<0$ и неустойчива при $\lambda>0$. При $\lambda<0$ имеет. ся неустойчивый предельный цикл с радиусом $r=\sqrt{-\lambda}$. Если $\lambda$ подходит к нулю снизу, отталкивающее множество наползает вниз на устойчивый фокус в начале координат и, наконец, полностью «вытесняет» его при $\lambda=0$. Это явление называется субкритической бıфуркацией Хопфа. Фазовый портрет этой бифуркации показан на рис. 19.19 .
$\diamond \diamond \diamond$ Динамическую систему (19.35) невозможно получить из вариационного принципа для какого-либо функционала, поскольку $F
eq 0$. Если, однако, пренебречь тривиальной постоянной зависимостью $\theta(t)$, то одномерное радиальное уравнение можно записать в виде градиентного уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d r}{d t}=-\frac{d}{d r} V(r ; \lambda), \\
V(r ; \lambda)=-\frac{1}{2} \lambda r^{2} \mp \frac{1}{4} r^{4}\left(\begin{array}{c}
\text { суб } \\
\text { супер }
\end{array}\right) \text { критическая. }
\end{array}
\]

В этом смысле бифуркации Хопфа эквивалентны симметризованным $\left(A_{ \pm 3}\right.$ ) фазовым переходам Гинзбурга – Ландау «в направлении $r »$.

Если двумерная динамическая система зависит от $k>1$ управляющих параметров, то наиболее общая деформация в окрестности бифуркационного множества $\lambda=0, \omega^{\prime}
eq 0$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=\sum_{j=1}^{k} a_{j} r^{2 j-1} \pm r^{2 k+1}, \\
\frac{d \theta}{d t}=\omega^{\prime} .
\end{array}
\]

Очевидно, что радиальное уравнение связано с симметрической катастрофой $A_{ \pm(2 k+1)}$.
$\diamond \diamond \diamond$ Часть $\mathscr{P}_{a} \in \mathbb{R}^{n^{2}}$ сепаратрисы $F_{i j}$ имеет компоненты размерности $n^{2}-1$ и ниже. Поэтому изолированные элементы 1 -параметрических семейств $n$-мерных динамических систем могут обладать двумя равными ненулевыми собственными значениями структурно устойчивым образом. Аналогично бифуркационное множество $\mathscr{P}_{b} \in \mathbb{R}^{n^{2}}$ имеет компоненты размерности $n^{2}-1$ и ниже. Поэтому изолированные элементы 1-параметрических

Рис. 19.18. Суперкритическая бифуркация Хопфа.
При $\lambda<0$ начало координат есть устойчнвь фй фокус, и спираль закручивается. С ростом $\lambda$ спираль становится все ближе и ближе к окружности. При $\lambda=0$ точка становится структурно неустойчивым центром. При дальнейшем увеличении $\lambda$ начало координат становится неустойчивым фокусом, и спираль раскручнвается. Однако в предельном случае бесконечно удаленного поля спираль по-прежнему закручивается к началу координат. Сепаратрисой устойчивых и неустоичивых фокусов является предельный цикл, хоторый структурно и динамически устойчив.

Рис. 19.19. Субкритическая бифуркация Хопфа.
При $\lambda<0$ начало координат является устойчивым фокусом. В предельном случае бес* конечно удаленного поля поведение динамической системы неустойчнво, и спираль раскручивается в бесконечность. Устойчивая область вокруг начала координат и неустойчивая область, содержащая «бесконечно удаленную точку», разделяются сепаратрисой структурно устойчивым и динамически неустойчнвым предельным циклом. При возрастинии $\lambda$ предельный цикл «оседает» на точку притяжения в начале координат и, наконец, уннчтожает ее при $\lambda=0$. Начало коодинат при этом переходит в структурно неустой: чивый центр, а при $\lambda>0$ – в точку отталкивания (неустойчивый фокус).

семейств $n$-мерных динамических систем могут обладать вырожденными критическими точками типа «седло – узел» или типа «центр» структурно устойчивым образом. Далее в $n$-мерной системе можно выбрать координатную систему $x_{1}=x, x_{2}=$ $=y, x_{3}, \ldots, x_{n}$, такую, что в окрестности критической точки все интересные явления происходят в направлении $x-y$ :
\[
\begin{array}{l}
\left.\frac{d}{d t}\left[\frac{x}{y}\right]=\text { (см. разд. } 4-6\right), \\
\frac{d x_{i}}{d t}=\lambda_{i} x_{i}, \quad i=3,4, \ldots, n .
\end{array}
\]