Качественное описание поведения функции в окрестности некоторой точки пространства $R^{n}$ переменных состояняя часто может быть получено путем изучения начального отрезка ее разложения в ря̆д Тейлора в этой точке ${ }^{1}$ ):
\[
f(x)=f(0)+x_{i} f_{i}(0)+\frac{1}{2 !} x_{i} x_{j} f_{i j}(0)+\ldots .
\]

Чтобы определить локальные свойства функции $f(x)$, нет необходимости рассматривать постоянный член разложення (23.1). Более того,
— если $
abla f
eq 0$, то качественно поведение функции полностью определяется линейными членами разложения (23.1), т. е. мы не теряем нужной информации ряда при исключении нелинейных членов ряда (23.1);
— если $
abla f=0$, но $\operatorname{det} f_{i j}
eq 0$, то качественно поведение функции полностью определяется квадратичными членами разложения (23.1), т. е. мы не теряем необходимой информации при усечении ряда до квадратичных членов;
— если $
abla f=0$ и det $f_{i j}=0$, то важное значенне приобретают члены более высокой степени, и, по-видимому, качественно поведение функции $f(x)$ будет полностью определяться рядом (23.1), усеченным до членов $p$-й степени (где $p$ — некоторое конечное число).

Изучение возможностей усечения разложения функции $f(x)$ в ряд Тейлора и определение значения $p$ называется задачей определенности.

В настоящей главе удаление «хвоста» ряда Тейлора осуществляется при помощи гладкой замены переменных. Подобная процедура уже была рассмотрена в гл. 3, однако здесь она значительно упрощается за счет применения лишь инфинитезимальных нелинейных преобразований.

В случае, когда функция принадлежит некоторому семейству функций, начальные члены разложения в ряд Тейлора рассматриваемой функции, естественно, могут обращаться в нуль. Задача определения наиболее общего семейства функций наименьшей размерности, содержащего исходную функцию, называется задачей деформации.

При рассмотрении примеров, иллюстрирующих понятия конечной определенности и деформации, совершенно естественно возникают алгоритмы, позволяющие вычислить определенность и деформацию произвольной функции. Эти два алгоритма, по существу, явлнются сторонами одного угла; сам же угол — канонический росток катастрофы — представляется членами, которые не порождаются ни в алгоритме определенности, ни в алгоритме деформации. Оба эти алгоритма, а также алгоритмы нахождения ростка функции используются здесь как для решения старых задач новым методом, так и для решения новых задач, а также для пслучения полного списка простых ростков и их универсальных деформаций. Кроме того, изучаются кратные ката-
1) Для удобства будем считать точку, в которой берется разложение функции $f(x)$ в ряд Тейлора, началом координат пространства $\mathbf{R}^{n}$.

строфы сборки, которые особенно важны при исследовании причин неудач, имеющих место в оптимизации структур. Показана конечная определенность и найдены универсальные деформации этих ростков.