Покажем, как можно добиться более ясного понимания физических явлений, используя теорию универсальных возмущений.

На протяжении всей этой главы мы постоянно пользовались «принципом лома». Большинство критических свойств, которые мы рассматривали, зависят от одного управляющего параметpa. Типичные однопараметрические семейства потенциальных функций в худшем случае об.тадают вырожденными критическими точками типа $A_{2}$ и представляют ограниченный интерес. Повсюду предполагалась симметрия гамильтонианов. Этого было достаточно, чтобы подавить катастрофу складки и допустить возможность появления катастрофы сборки $A_{ \pm 3}$ в соответствующих однопараметрических потенциальных функциях. Тогда возникающие бифуркации можно рассматривать как сечения этих катастроф, а остальные области критического многообразия можно исследовать, только если ввести члены, нару: шающие симметрию.

Использование «принципа лома» для сведения нелинейной задачи к бифуркационной дает ряд преимуществ вычислительного характера. Во-первых, точки бифуркаций легко локализовать. Если имеется некоторая потенциальная функция, то эти точки находятся из условия det $V_{i j}=0$. Если же нет такой функции, но есть система уравнений движения $\dot{x}_{i}=F_{i}$, то бифуркации от стационарной ветви можно найти из уравнения $\operatorname{det} F_{i j}=0$. Симметрия, имеющаяся в исходной задаче, упрощает построение всех равновесных или стационарных ветвей, поскольку ренения уравнений $\partial V / \partial x_{i}=0$ или $F_{i}=0$ имеют вид симметричных пар. Устойчивость вдоль этих ветвей можно проанализировать, вычисляя собственные значения $V_{i j}$ или $F_{i j}$. Однако некоторые элементарные теоремы позволяют обойтись и без этого: устойчивость вдоль бифуркационной ветви ( $A_{ \pm 3}$ ) полностью определяется устойчивостью исходной ветви и типом возникающей катастрофы.

Произвольное возмущение, нарушающее симметрию, часто сильно усложняет решение уравнений $
abla V=0$ или $F=0$. Тем не менее качественно возмущенная система отличается лишь адиабатически от исходной системы. Свойства устойчивости возмущенной ветви в морсовской критической точке идентичны свойствам устойчивости невозмущенной ветви. При возмущениях не изменяется кратность критических точек, ни равновесных, ни стационарных ${ }^{1}$ ). По этим причинам исходная симметризованная задача дает достаточно хорошее начальное приближение, на основании которого достаточно просто качественно оценить влияние возмущений Фазовые переходы второго рода, имеющие место в симметризованных моделях, под воздействием возмущений исчезают, однако фазовые переходы нулевого и первого рода оказываются структурно устойчивыми.

Проиллюстрируем теперь, каким образом теория катастроф может углубить наше понимание физических поцессов, свойства которых были получены и исследованы методами анализа бифуркаций. Это можно сделать на примере динамических стационарных свойств системы, описываемой моделью Дикке и находящейся в состоянии, далеком от равновесного. Если в уравнениях состояния (15.146) появляются только изолированные сборки, то можно получить универсальное возмущение исходной квантовомеханической модели (15.144), вводя по одному члену, нарушающему симметрию, для каждого направления ветвления. Поскольку всего имеется $\left(\begin{array}{l}r \\ 2\end{array}\right)=r(r-1) / 2$ независимых параметров порядка, то соответствующее возмущение такой размерности будет универсальным. Можно, например, ввести одно классическое внешнее поле с амплитудой $a_{f i} \sqrt{N}$ для каждого атомного резонанса. Или же можно ввести один классический ток $j_{i i}=J_{j i} / N$ для каждой моды электромагнитного поля. Введение этих возмущений следующим образом изменяет стационарные уравнения движения, выведенные для расширенной модели Дикке:
\[
\begin{array}{cl}
(15.146 \mathrm{i}): & v_{i j} \rightarrow v_{i j}+j_{i j}, \\
(15.146 \mathrm{ii}): & \mu_{j i} \rightarrow \mu_{j i}+\alpha_{j i}, \\
(15.146 \mathrm{iii}): & u_{f i} \rightarrow \mu_{i i}+\alpha_{j i} .
\end{array}
\]
1) В отсутствие непрерывной калибровочной инвариантности.

Совершенно не важно, как нарушается симметрия: введением только классических полей, или только классических токов, или любой независимой комбинацией $r(r-1) / 2$ классических полей и токов. В абстрактном математическом смысле эти возмущения эквивалентны, и при соответствующей интерпретации $\alpha_{i i}=\alpha_{j i}\left(j_{j i}\right)$. приводят к эквивалентным физическим последствиям.

Осуществляя повторный переход для (15.153) от (15.146) к (15.147), можно получить упрощенную систему уравнений состояния. Проделаем это для следующих возмущений: $\alpha_{j i}=\alpha_{j i}^{*}$ (произвольное), $j_{j i}=j_{j i}^{*}=0$. Чтобы избежать расходимости и в силу ряда более глубоких причин (см. ниже), исключим параметры $v_{i j}$. Тогда уравнения состояния принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\hbar^{2} \gamma_{i j} \tilde{\gamma}_{i i} \mu_{j i}+\left|\lambda_{j i}\right|^{2}\left(\mu_{j i}+\alpha_{i i}\right)\left(v_{i i}-v_{j j}\right)=0, \\
v_{i i}-v_{j j}=\left(v_{i i}\right)_{c}-\left(v_{j j}\right)_{c}+2 \sum_{k} \theta(k, i)\left(\mu_{k i}+\alpha_{k i}\right)^{*} \frac{\mu_{k i} \tilde{\gamma}_{k i}^{*}}{\gamma_{i i}}- \\
-2 \sum_{k} \theta(k, j)\left(\mu_{k j}+\alpha_{k j}\right)^{*} \frac{\mu_{k j}}{\gamma_{j j}} .
\end{array}
\]

Полезный частный случай этих уравнений для $r$-уровневых систем получается при $r=2$, т. е. когда имеется одна резонансная мода, и описанную здесь общую модель можно сравнить с изученной ранее $[25,26]$. Для такого сравнения удобно ввести следующие обозначения:
\[
\begin{array}{c}
\mu_{21}=\mu, \quad \alpha_{21}=a, \quad v_{11}-v_{22}=\sigma^{z}, \\
\lambda_{21}=\lambda, \quad \gamma_{21}=\gamma_{\sigma}, \quad \gamma_{11}=\gamma_{22}=\gamma_{z}, \quad \tilde{\gamma}_{21}=\gamma_{a} .
\end{array}
\]

Без потери общности можно считать все эти параметры действительными. Тогда уравнения (15.154) сводятся к
\[
\hbar^{2} \gamma_{\sigma} \gamma_{a} \mu+\lambda^{2}(\mu+\alpha)\left\{\left\langle\sigma^{z}\right\rangle_{c}+4 \mu(\mu+\alpha) \frac{\gamma_{a}}{\gamma_{z}}\right\}=0 .
\]

Это уравнение третьей степени по параметру порядка $\mu$, что не удивительно, поскольку исходная симметризованная система описывается кубическим уравнением состояния. Уравнение (15.156) можно привести к каноническому виду катастрофы сборки:
\[
\begin{array}{c}
(15.157): \quad x^{3}+A x+B=0, \\
x=\mu+\frac{2}{3} \alpha, \\
A=-\frac{1}{3} \alpha^{2}+\frac{\gamma_{z}}{4 \gamma_{a}}\left\{\left\langle\sigma^{2}\right\rangle_{c}+\frac{\hbar^{2} \gamma_{\sigma} \gamma_{a}}{\lambda^{2}}\right\}, \\
B=-\frac{2}{27} \alpha^{3}-\frac{\alpha \gamma_{z}}{12 \gamma_{a}}\left\{\left\langle\sigma^{2}\right\rangle_{c}+\frac{\hbar^{2} \gamma_{\sigma} \gamma_{a}}{\lambda^{2}}\right\}+\frac{\hbar^{2} \gamma_{\sigma} \gamma_{a}}{4 \lambda^{2}} \alpha .
\end{array}
\]

Уравнение (15.157) дает универсальное возмущение уравнения состояния для симметризованного двухуровневого лазера. Физическими управляющими параметрами являются инверсная заселенность $\left\langle\sigma^{z}\right\rangle_{c}$ и внешнее поле $\alpha$. Механизм накачки, описываемый членом $\left\langle\sigma^{z}\right\rangle$, не сохраняет фазовой информации, “а внешнее поле, описываемое членом $\alpha$, сохраняет ее. Следова, тельно, физические управляющие параметры можно интерпретировать как скорость некогерентной и когерентной накачки соответственно.

Уравнение состояния (15.156) можно изучать в терминах его канонического представления (15.157). Преобразование, связывающее физические $\left(\left\langle\sigma_{*}^{z}\right\rangle_{c}, \alpha\right)$ и математические $(A, B)$ управляющие параметры, обратимо (по меньшей мере локально). Поскольку единственное состояние в однозначном режиме устойчиво, то верхние и нижние листы в многозначном режиме также устойчивы, а центральный лист неустойчив. Любая точка на устойчивой части критического многообразия может быть достигнута путем ссответствующего выбора управляющих параметров $A, B$ или $\left\langle\sigma^{z}\right\rangle^{c} \alpha$ (и процесса, по крайней мере математически). Физически доступная область ограничена неравенствами $-1 \leqslant\left\langle\sigma^{z}\right\rangle_{c} \leqslant 1$.

В типичном физическом процессе в каждый момент времени меняется только один физический управляющий параметр. Например, может отсутствовать внешнее поле ( $\alpha=0$ ). Если скорость некогерентной накачки растет, стационарное состояние системы остается неупорядоченным ( $x=\mu=0$ ) до тех пор, пока инверсная заселенность не достигнет величины
\[
\left\langle\sigma^{2}\right\rangle_{c}=\left\langle e_{11}\right\rangle_{c}-\left\langle e_{22}\right\rangle_{c}=-\frac{\hbar^{2} \gamma_{\sigma} \gamma_{\alpha}}{\lambda^{2}} .
\]

При этих условиях вероятность заселения для возбужденного уровня $|2\rangle$ выше, чем для основного уровня $|1\rangle\left(\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}\right)$ на $\hbar^{2} \gamma_{\sigma} \gamma_{a} / \lambda^{2}$, поэтому для перехода к упорядоченному стационарному состоянию (лазерное излучение) необходима инверсная заселенность. Поскольку разность вероятностей заселенностй не превосходит единицы, условие возникновения фазового перехода порядок – беспорядок имеет вид $\lambda^{2}>\hbar^{2} \gamma_{\sigma} \gamma_{a}$. Никаких фазовых переходов не будет, если связь $\lambda$ слишком слаба-или диссипация $\left(\lambda_{\sigma}, \gamma_{a}\right)$ слишком велика.

Если инверсная заселенность $\left\langle\sigma^{z}\right\rangle_{c}$ остается постоянной, а внешнее поле возрастает от нуля, траектория $A\left(\left\langle\sigma^{z}\right\rangle_{c}, \alpha\right)$, $B\left(\left\langle\sigma^{z}\right\rangle_{c}, \alpha\right)$ в пространстве управляющих параметров представляет собой линию, изображенную на рис. 15.9 .

Если скорость некогерентной накачки сохраняется ниже пороговой, то траектория может уйти влево или вправо от точки сборки в зависимости от величины отношення $Q \Rightarrow$

Рис. 15.9. Траектория управляющих параметров, представляющая собой криволинейный путь, если инверсная заселенность остается ниже пороговой, а классическое поле $\alpha$ возрастает.
Состояние лазера можно определить, перекеся этот путь на многообразие катастрофы сборки. Фазовый переход первого рода в случае $Q>1$ происходит, когда траектория управляющих параметров пересекает соответствующую кривую складки.
$=\lambda^{2}\left\langle\sigma^{z}\right\rangle_{c} / 8 \hbar^{2} \gamma_{\sigma} \gamma_{a}$. Если $Q<1$, траектория уходит влево от точки сборки и не происходит никаких фазовых переходов. Если $Q>1$, то траектория поворачивает вправо вокруг точки сборки и в конце концов пересекает левую линию складки. Эти два качественно различных типа траекторий разделяются сепаратрисой, определяемой равенством $Q=1$. Такая траектория проходит сквозь точку сборки.

В случае $Q>1$ фазовый переход происходит, когда скорость некогерентной накачки $\left\langle\sigma^{z}\right\rangle_{c}$ постоянна (в частности, отсутствует), а скорость когерентной накачки $\alpha$ возрастает. Когда $\alpha$ возрастает и точка $(A, B)$ пересекает левую линию складки, происходит фазовый переход нулевого рода, при котором система перескакивает с нижнего листа на верхний. Если затем $\alpha$ начинает убывать, состояние системы должно вернуться на нижний лист при пересечении правой линии складки. Если применим принцип максимального промедления, в поведении системы проявляется гистерезис.

Эксперименты такого рода проводились Гиббсом, Мак-Коллом и Венкатесаном [27]. Пары натрия в полости Фабри Перо, настроенной на одну из $D$-линий, облучались настраиваемым лазером, немного отстроенным от резонансной частоты. Мощность излучения полости сравнивалась с мощностью па-

Рис. 15.10.
$a$ – экспериментальные данные, полученные авторами работы [27] (свидетельствуют о налнчии гистерезисного цикла); б-зависимость выходной мощности лазера от мощности внешнего классического поля для модели ( 15.158$)$ при $Q=1,6$.

дающего излучения, т. е. $(\mu+\alpha)^{2}=\left(x+\frac{1}{3} \alpha\right)^{2}$ с $\alpha^{2}$. На рис. 15.10 приведены результаты сравнения экспериментальных кривых с расчетами по данной модели для случая $Q=1,6$.

Стационарное состояние лазера описывается точкой на критическом многообразии катастрофы сборки при любой комбинации когерентного и некогерентного излучения. Қаждая тоика на этом многообразии определяет средние значения полевых и атомных операторов. Эти значения можно использовать для построения редуцированных операторов плотности для атомарной и полевой подсистем. Т’аким образом, каждая точка на многообразии катастрофы сборки определяет оператор плотности для системы. Эти операторы плотности можно использовать для определения флуктуаций, таких, как $\left\langle\left(\sigma^{z}-\left\langle\sigma^{z}\right\rangle\right)^{2}\right\rangle$. Вблизи фазовых переходов эти величины аномально велики (гл.9, разд. 8).

Скорость считывания экспериментальных данных превосходила время затухания системь. Таким образом удалось избавиться от спинодальных линий (пределы устойчивости), окружающих фазовый переход первого рода, происходящий при $B=0$. Такое явление имеет место, если поведение системы подчиняется принципу Максвелла. Это в свою очередь возможно, когда время одного цикла эксперимента превосходит постоянную затухания. Эти временные константы можно определить из потенциала $V$, связанного с уравнением состояния (15.157), и величины флуктуаций относительно локально устойчивых равновесных состояний. Постоянная затухания выражается через эти величины формулой (8.31);