Если число управляющих параметров больше пяти, неморсовский росток может зависеть от так называемых модулей (гл. 3). Модули впервые появляются в семействах функций, зависящих от шести ( $k=6$ ) управляющих параметров, когда последние используются для обращения в нуль всех шести коэффициентов при квадратичном члене в критической точке неморсовской функции трех ( $l=3$ ) «плохих» переменных состояния. Тогда путем неособенной замены переменных можно получить канонические значения (1 или 0) для девяти из десяти коэффициентов при членах третьей степени от трех переменных состояния. В результате остается один непрерызно изменяющийся параметр, который и называется модулем. Именно это обстоятельство явилось причиной того, что перечень катастроф Тома ограничивается числом $k=5$.

Если число управляющих параметров больше шести, то число модулей может увеличиваться. Существует простая связь между числом управляющих параметров $k$, вырожденностью $\mu$ (числом Милнора) вырожденного ростка катастрофы и числом остающихся модулей [1]:
\[
\mu=k+m+1 .
\]

Мы уже сталкивались с подобным соотношением в случае простых ( $m=0$ ) ростков, когда между размерностью $k$ пространства управляющих параметров и вырожденностью $\mu$ существует связь вида $k=\mu-1$,

Согласно Арнольду $[1-5]$, все неморсовские ростки могут быть классифицированы следующим образом:
1) $\mu \leqslant 16 ; 2) ~ k \leqslant 10 ; 3) ~ m \leqslant 2$.

Удивительно, что наиболее естественная классификация неморсовских ростков включает малые значения $m$, а не $\mu$ или $k$.
1. $m=0$. Имеются три типа простых ростков (табл. 17.1). Есть одна бесконечная последовательность $A_{\mu}(\mu \geqslant 2)$, зависящая от одной переменной состояния, и другая бесконечная последовательность $D_{\mu}(\mu \geqslant 4)$, зависящая от двух переменных состояния. Кроме того, имеется одна конечная последовательность $E_{\mu}$ ( $\mu=6,7,8$ ), зависящая от двух переменных состояния и содержащая три члена.
Таблица 17.1. 0-модальные ростки

Для данной катастрофы существует $k=(\mu-1)$-мерная универсальная деформация, «отсеивающая» одномерные кривые ростков катастрофы с числом управляющих параметров, меньшим на единицу (рис. 7.6).
2. $m=1$ [4]. Имеется одна бесконечная последовательность унимодулярных ростков
\[
T_{p, q, r}=x^{p}+y^{q}+z^{r}+\operatorname{axyz}, a
eq 0, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1,
\]

зависящих от трех переменных состояния и одного модуля $a$. Қаждая функция $T_{p, q, r}$ в этой последовательности фактически является одномодальным семейством ростков. Для функции $T_{p, q, r}$ имеют место соотношения $\mu=p+q+r-1, m=1, k=$ $=p+q+r-3$. Полезно рассмотреть также и «пограничные ростки», для которых $p^{-1}+q^{-1}+r^{-1}=1$ :
\[
\begin{array}{c}
T_{3,3,3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+a x y z, \quad\left(\frac{a}{3}\right)^{3}
eq-1, \\
T_{2,4,4}=x^{2}+y^{4}+z^{4}+a y^{2} z^{2}, \quad\left(\frac{a}{2}\right)^{2}
eq+1, \\
T_{2,3,6}=x^{2}+y^{3}+z^{6}+a y^{2} z^{2}, \quad\left(\frac{a}{3}\right)^{3}
eq-\left(-\frac{1}{2}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Первый из этих ростков содержит три переменные состояния, а остальные два – только две «плохие» переменные состояния.

Кроме единственной бесконечной последовательности (17.2) имеются 14 особенных одномодальных семейств (табл. 17.2), входящих в шесть конечных последовательностей, содержащих один член $(U)$, два члена ( $S, W$ ) или три члена $(Q, \mathcal{S}, U)$. Три унимодулярных семейства ( $E, Z, W$ ) включают две переменные состояния, а остальные три $(Q, S, U)$ – три переменные состояния.
Таблица 17.2. Шесть особенных последовательностей, содержащих 14 особенных семейств функций
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline & & $m=1$ & & $m=2, \mathbf{a}=a_{0}+a_{1} y$ \\
\hline \multirow[t]{8}{*}{$l=2$} & $Z_{11}$ & $x^{3} y+y^{5}+a x y^{4}$ & $Z_{17}$ & $x^{3} y+y^{8}+\mathbf{a} x y^{6}$ \\
\hline & $Z_{12}$ & $x^{3} y+x y^{4}+a x^{2} y^{3}$ & $Z_{18}$ & $x^{3} y+x y^{6}+\mathrm{a} y^{9}$ \\
\hline & $Z_{13}$ & $x^{3} y+y^{6}+a x y^{5}$ & $Z_{19}$ & $x^{3} y+y^{9}+\mathbf{a} x y^{7}$ \\
\hline & $W_{12}$ & $x^{4}+y^{5}+a x^{2} y^{3}$ & $W_{17}$ & $x^{4}+x y^{5}+\mathbf{a} y^{7}$ \\
\hline & $W_{13}$ & $x^{4}+x y^{4}+a y^{6}$ & $W_{18}$ & $x^{4}+y^{7}+\mathbf{a} x^{2} y^{4}$ \\
\hline & $E_{12}$ & $x^{3}+y^{7}+a x y^{5}$ & $E_{18}$ & $x^{3}+y^{10}+\mathbf{a} x y^{7}$ \\
\hline & $E_{13}$ & $x^{3}+x y^{5}+a y^{8}$ & $E_{19}$ & $x^{3}+x y^{7}+\mathbf{a} y^{8}$ \\
\hline & $E_{14}$ & $x^{3}+y^{8}+a x y^{6}$ & $E_{20}$ & $x^{3}+y^{8}+\mathbf{a} x y^{8}$ \\
\hline \multirow[t]{6}{*}{$l=3$} & $Q_{10}$ & $x^{3}+y^{4}+y z^{2}+a x y^{3}$ & $Q_{16}$ & $x^{3}+y z^{2}+y^{7}+\mathbf{a} x y^{5}$ \\
\hline & $Q_{11}$ & $x^{3}+y^{2} z+x z^{3}+a z^{5}$ & $Q_{17}$ & $x^{3}+y z^{2}+x y^{5}+\mathbf{a} y^{8}$ \\
\hline & $Q_{12}$ & $x^{3}+y^{5}+y z^{2}+a x y^{4}$ & $Q_{1 s}$ & $x^{3}+y z^{2}+y^{8}+a x y^{6}$ \\
\hline & $S_{11}$ & $x^{4}+y^{2} z+x z^{2}+a x^{3} z$ & $S_{16}$ & $x^{2} z+y z^{2}+x y^{4}+\mathbf{a} y^{6}$ \\
\hline & $S_{12}$ & $x^{2} y+y^{2} z+x z^{3}+a z^{5}$ & $S_{17}$ & $x^{2} z+y z^{2}+y^{6}+\mathbf{a} z y^{4}$ \\
\hline & $U_{12}$ & $x^{3}+y^{3}+z^{4}+a x y z^{2}$ & $U_{16}$ & $x^{3}+x z^{2}+y^{5}+\mathbf{a} x^{2} y^{2}$ \\
\hline
\end{tabular}

Как и в случае нуль-модальных катастроф, одномодальные катастрофы отбрасывают одномерные кривые катастроф с числом управляющих параметров, уменьшенным на единицу. Для бесконечной последовательности получаем простую диаграмму:

которую, если необходимо, можно достроить до трехмерной диаграммы. Конечными точками диаграмм такого типа являются «пограничные ростки» (17.3). На рис. 17.1 изображены диа-

Рис. 17.1. Четырнадцать одномодальннх и двухмодальных особенных ростков соединяются в пирамиды.

Рис. 17.2. Диаграммы смежности для некоторых унимодулярных особенных ростков.

Рис. 17.3. Особенные ростки модальнюсти $m$ служат «буферами» между бесконечными семействами $m$-модальных и ( $m+1$ )-модальных ростков [3].

граммы для шести особенных последовательностей, содержащих 14 особенных одномодальных семейств.

Первый элемент каждой последовательности особенных одномодальных катастроф соединяется с некоторым членом бесконечной последовательности $T_{p, q, r}$ (рис. 17.2). Из рис. 17.2 ясно, что особенные ростки близки к пограничным росткам (17.3). Далее одномодальные пограничные ростки соединяются с нуль-модальными особенными ростками (рис. 7.7). Последний член каждой последовательности особенных одномодальных катастроф получается из ростка катастрофы, который еще не встречался. Ростки, приходящие справа $(J, Z, W, Q, S, U)$, двухмодальны, ростки $N, V$ трехмодальны, а росток 0 пятимодальный.
3. $m=2[5]$. В двухмодальном случае есть восемь бесконечных последовательностей и шесть особенных конечных последовательностей, содержащих в совокупности 14 семейств ростков. Ростки особенных семейств приведены в табл. 17.2, а диаграмма соединений для них дана на рис. 17.1. Четыре из восьми бесконечных последовательностей ( $J, Z, W, W \#$ ) включают две переменные состояния, а остальные четыре $(Q, S, S \#$, $U)$ – три переменные состояния.

Эти восемь бесконечных последовательностей определяются уравнениями, аналогичными (17.1), с заменой $a \rightarrow \mathbf{a}\left(a_{0}+a_{1} y\right)$ и $a_{0}
eq 0$. Каждый член последовательности соединяется с ближайшим «левым» членом этой последовательности и с членами некоторых других семейств (как, например, $D_{\mu+1} \rightarrow A_{\mu}$ ). В каждой из восьми бесконечных последовательностей имеется пограничный росток. Пограничные ростки для $W$ и $W^{\#}$ совпадают, как и для $S$ и $S$. Шесть двухмодальных пограничных ростков соединяются с шестью крайними правыми семействами шести конечных особенных одномодальных последовательностей (рис. 17.2).
$\diamond \diamond \diamond$ Похоже, что конечные особенные последовательности $m$-модальных ростков играют роль «буферов» между бесконечными последовательностями $m$-модальных ростков и $(m+$ +1 ) -модальной последовательностью. Пограничные ростки бесконечных ( $m+1$ )-модальных последовательностей присоединяются к последним членам конечных (особенных) $m$-модальных семейств, а нижний элемент конечной особенной последовательности к члену, лежащему рядом с границей (но не на границе) бесконечной последовательности той же модальности. Схематически это изображено на рис. 17.3.
$\diamond \diamond \diamond$ Тот факт, что катастрофы с $k>5$ можно классифицировать и приводить к каноническому виду (modulo moduli), открывает широкие перспективы исследования этих последовательностей и семейств катастроф более высокого порядка. Однако подобные исследования представляют интерес скорее с теоретической, чем с практической точки зрения.