До сих пор мы довольно свободно обращались с понятием «возмущение», или понятием «близость» одной функции другой. Чтобы формализовать это понятие, необходимо сначала найти способ наглядного представления «расстояния» между двумя функциями, или, что в данном случае эквивалентно, расстояния между любой и нулевой функцнями. Здесь нам на помощь приходит топология. Существует один очевидный способ ввести топологию в множество функций, определенных на $\mathbb{R}^{n}$, — это так называемая топология рядов Тейлора.
Построим ряд Тейлора функции $f(x)$ в точке $x^{0} \in \mathbb{R}^{n}$ :
\[
f(x)=f\left(x^{0}\right)+\left(x-x^{0}\right)_{i} f_{i}+\frac{1}{2 !}\left(x-x^{0}\right)_{i}\left(x-x^{0}\right)_{i} f_{i j}+\ldots \text { (21.1) }
\]

Поскольку все производные берутся в точке $x^{0}$, функция $f(x)$ представляется точкой в некотором евклидовом пространстве. Например, если ограничиться лишь членами разложения (21.1) $k$-й степени (включая $k$ ), то можно считать, что коэффициенты $f, f_{i}, f_{i j}, \ldots, f_{i j} \ldots k$ принадлежат пространству $\mathbb{R}^{D}$, где
\[
\begin{array}{l}
=\frac{(n+k) !}{n ! k !} \text {. } \\
\end{array}
\]

Усеченный до членов $k$-й степени ряд Тейлора функции $f(x)$ в точке $x^{0}$ называется $k$-струей функции $f$ в точке $x^{0}$ и обозначается символом $j^{k} f\left(x^{0}\right)$ или просто $j^{k} f$. Для любой гладкой функции $f(x) j^{k} f\left(x^{0}\right) € \mathbb{R}^{D}$.

Топологии в пространстве $\mathbb{R}^{D}$ общеизвестны, и с ними легко работать. Если $f, g$ — две функции, то расстояние между ними может быть определено следующим образом:
\[
\begin{array}{r}
\|f-g\|_{x^{0}}=\left|f\left(x^{0}\right)-g\left(x^{0}\right)\right|+\sum_{i}\left|f_{i}-g_{i}\right|+\sum_{i j}\left|f_{i j}-g_{i j}\right|+\ldots \\
\ldots+\sum_{i j \ldots k}\left|f_{i j \ldots k}-g_{i j \ldots k}\right| \cdot
\end{array}
\]

Если $D$ конечно, то расстояние можно определить с помощью формулы
\[
\begin{array}{r}
\|f-g\|_{x^{0}}^{p}=\left|f\left(x^{0}\right)-g\left(x^{0}\right)\right|^{p}+\sum_{i}\left|f_{i}-g_{i}\right|^{p}+\sum_{i j}\left|f_{i j}-g_{i j}\right|^{p}+\ldots \\
\cdots+\sum_{i j}\left|f_{i j} \ldots k=g_{i j \ldots k}\right|^{p}, \quad \text { (21.3ii) }
\end{array}
\]

где
\[
p \geqslant 1 \text {. }
\]

Открытые множества, а следовательно, и топология могут быть определены различным образом в зависимости от используемого способа определения расстояния между функциями (21.3i), $(21.3 \mathrm{ii}),(21.3 \mathrm{p})$, т. е. в-окрестность функции f содержит все функции $g$, отстоящие от f на расстоянии меньшем в. Если $k$ конечно (следовательно, $D$ также конечно), определения (21.3 і), $(21.3 \mathrm{ii}),(21.3 \mathrm{p})$ порождают эквивалентные топологии; если $k \rightarrow \infty, D \rightarrow \infty$, то топологии различны. Наиболее полезна для нас топология, порождаемая определением (21.3 i).

Если $k \rightarrow \infty$, то соответствующая топология называется топологией $C^{\infty}$ в точке $x^{0}$. Эти топологии мы будем обозначать также $\overparen{C}^{k}\left(x^{0} ; \mathbb{R}^{1}\right), C^{\infty}\left(x^{0} ; \mathbb{R}^{1}\right)$.

Введение топологий позволяет формально определить понятие «возмущение» в точке: $g(x)$ является возмущением функции $f(x)$ в точке $x^{0}$, если расстояние между $g(x)$ и $f(x)$ мало в $C^{k}$-топологии (или $C^{\infty}$-топологии) в точке $x^{0}$. Если расстояние между $g(x)$ и $f(x)$ в $C^{k}$-топологии (или $C^{\infty}$-топологии) в точке $x^{0}$ меньше, чем в для всех $x^{0} \in \mathbb{R}^{n}$, то говорят, что $g(x)$ принадлежит $\varepsilon$-окрестности функции $f(x)$ в $C^{k}\left(C^{\infty}\right)$-топологии. Две функции, близкие друг другу в топологии $C^{k}$, имеют свойство «быть равными почти всюду на $\mathbb{R}^{n_{\text {» }}}$, а их соответствующие производные до $k$-й степени также равны почти всюду на $R^{n}$. Соответствующие топологии имеют следующее обозначение: $C^{k}\left(\mathbb{R}^{n} ; \mathbb{R}^{1}\right)$ и $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n} ; \mathbb{R}^{1}\right)$.

$\diamond \diamond \diamond$ Понятия, введенные для функций, могут быть распространены и на отображения ( $y: \mathbb{R}^{r} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ ). Для этого необходимо только заменить разложение в ряд Тейлора (2.11) на $m$ разложений в ряд Тейлора ( $f \rightarrow y_{r}, r=1,2, \ldots, m$ ). В этом случае необходимо лишь ввести дополнительную сумму по $r$ в каждой из членов в правой части формулы (21.3i). Соответствующие топологии обозначаются $C^{k}\left(\mathbb{R}^{n} ; \mathbb{R}^{m}\right)$ и $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n} ; \mathbb{R}^{m}\right)$.
$\diamond \diamond \diamond$ Все утверждения о возмущениях (ч. I), сформулированные в терминах топологии $C^{\infty}$ (открытость, плотность и др.), как правило, справедливы и для топологий $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n} ; \mathbb{R}^{1}\right)$ или $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n} ; \mathbb{R}^{m}\right)$.
$\diamond \diamond \diamond$ ‘Чтобы построить топологию, определяемую коэффициентами членов ряда Тейлора вплоть до $k$-й степени, функция $f$ должна быть по крайней мере $k$ раз дифференцируема. Подобная проблема, как правило, не возникает, когда речь идет о применении топологии в тех областях науки и техники, где используются потенциальные функции, которые обычно являются гладкими, т. е. имеют производные всех порядков. Но при этом предполагается, что существует однозначное соответствие между функциями и их рядами Тейлора.

Однако подобное предположение справедливо только в том случае, когда функция $f(x)$ является аналитической в точке $x^{0}$, т. е. ее ряд Тейлора в этой точке сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x^{0}$.

Чтобы показать разницу между аналитическими и гладкими функциями, математики любят демонстрировать следующий математический «ужас»:
\[
\begin{aligned}
h(x) & =e^{-1 x^{2}}, & & x
eq 0, \\
& =0, & & x=0 .
\end{aligned}
\]

Все коэффициенты ряда Тейлора этой функции в нуле обращаются в нуль, так что ряд Тейлора гладкой функции $h(x)$ сходится в точке $x=0$ к нулевой функции. Для любых двух аналитических функций $f_{1}(x)$ и $g(x)$ определим функцию $f_{2}(x)$ следующим образом:
\[
f_{2}(x)=f_{1}(x)+g(x) h(x),
\]

или
\[
f_{2}(x)=f_{1}(x)[1-h(x)]^{k}, \quad k=1,2, \ldots,
\]

или
\[
f_{2}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
f_{1}(x)\left[1-e^{-g(x) / x^{2}}\right], & x
eq 0, \\
f_{1}(0), & x=0,
\end{array} \quad g(0)>0 .\right.
\]

Функция $f_{2}(x)$ гладкая и имеет ряд Тейлора, в точности совпадаюций в нуле с рядом Тейлора функции $f_{1}(x)$. Однако $f_{2}(x)
eq$

eq f_{1}(x)$; следовательно, функция $f_{2}(x)$ не аналитична в нуле. Короче говоря, для любой аналитической функции $f_{1}(x)$ существует большое семейство гладких, но не аналитических функций, имеющих то же разложение в ряд Тейлора.

И все-таки идея отображення функции в евклидово пространство $\mathbb{R}^{D}$ с целью получения топологии является полезной и привлекательной. Мы используем этот подход в качестве некоторого эвристического средства. Результаты, которые приводятся ниже, верны как для аналитических, так и для гладких функций.