До сих пор мы довольно свободно обращались с понятием «возмущение», или понятием «близость» одной функции другой. Чтобы формализовать это понятие, необходимо сначала найти способ наглядного представления «расстояния» между двумя функциями, или, что в данном случае эквивалентно, расстояния между любой и нулевой функцнями. Здесь нам на помощь приходит топология. Существует один очевидный способ ввести топологию в множество функций, определенных на ${\mathbb{R}}^n$, — это так называемая топология рядов Тейлора.
Построим ряд Тейлора функции $f(x)$ в точке $x^0\in {\mathbb{R}}^n$ :
$$f(x)=f\left(x^0\right)+{(x-x^0)}_i{f}_i+\frac{1}{2!}{(x-x^0)}_i{(x-x^0)}_i{f}_{ij}+\dots \text{ (21.1) }$$

Поскольку все производные берутся в точке $x^0$, функция $f(x)$ представляется точкой в некотором евклидовом пространстве. Например, если ограничиться лишь членами разложения (21.1) $k$-й степени (включая $k$ ), то можно считать, что коэффициенты $f,f_i,f_{ij},\dots ,f_{ij}\dots k$ принадлежат пространству ${\mathbb{R}}^D$, где
$$\begin{array}{l}=\frac{(n+k)!}{n!k!}\text{. }\end{array}$$

Усеченный до членов $k$-й степени ряд Тейлора функции $f(x)$ в точке $x^0$ называется $k$-струей функции $f$ в точке $x^0$ и обозначается символом $j^{k}f\left(x^0\right)$ или просто $j^{k}f$. Для любой гладкой функции $\text{Math input error}$.

Топологии в пространстве ${\mathbb{R}}^D$ общеизвестны, и с ними легко работать. Если $f,g$ — две функции, то расстояние между ними может быть определено следующим образом:
$$\begin{array}{r}\Vert f-g{\Vert }_{x^0}=|f\left(x^0\right)-g\left(x^0\right)|+\sum _i|f_i-g_i|+\sum _{ij}|f_{ij}-g_{ij}|+\dots \\ \dots +\sum _{ij\dots k}|f_{ij\dots k}-g_{ij\dots k}|\cdot \end{array}$$

Если $D$ конечно, то расстояние можно определить с помощью формулы
$$\begin{array}{r}\Vert f-g{\Vert }_{x^0}^p={|f\left(x^0\right)-g\left(x^0\right)|}^p+\sum _i{|f_i-g_i|}^p+\sum _{ij}{|f_{ij}-g_{ij}|}^p+\dots \\ \cdots +\sum _{ij}{|f_{ij}\dots k=g_{ij\dots k}|}^p,\text{ (21.3ii) }\end{array}$$

где
$$p⩾1\text{. }$$

Открытые множества, а следовательно, и топология могут быть определены различным образом в зависимости от используемого способа определения расстояния между функциями (21.3i), $(21.3\mathrm{ii}),(21.3\mathrm{p})$, т. е. в-окрестность функции f содержит все функции $g$, отстоящие от f на расстоянии меньшем в. Если $k$ конечно (следовательно, $D$ также конечно), определения (21.3 і), $(21.3\mathrm{ii}),(21.3\mathrm{p})$ порождают эквивалентные топологии; если $k\to \mathrm{\infty },D\to \mathrm{\infty }$, то топологии различны. Наиболее полезна для нас топология, порождаемая определением (21.3 i).

Если $k\to \mathrm{\infty }$, то соответствующая топология называется топологией $C^{\mathrm{\infty }}$ в точке $x^0$. Эти топологии мы будем обозначать также ${\stackrel{⏜}{C}}^k(x^0;{\mathbb{R}}^1),C^{\mathrm{\infty }}(x^0;{\mathbb{R}}^1)$.

Введение топологий позволяет формально определить понятие «возмущение» в точке: $g(x)$ является возмущением функции $f(x)$ в точке $x^0$, если расстояние между $g(x)$ и $f(x)$ мало в $C^k$-топологии (или $C^{\mathrm{\infty }}$-топологии) в точке $x^0$. Если расстояние между $g(x)$ и $f(x)$ в $C^k$-топологии (или $C^{\mathrm{\infty }}$-топологии) в точке $x^0$ меньше, чем в для всех $x^0\in {\mathbb{R}}^n$, то говорят, что $g(x)$ принадлежит $\epsilon$-окрестности функции $f(x)$ в $C^k\left(C^{\mathrm{\infty }}\right)$-топологии. Две функции, близкие друг другу в топологии $C^k$, имеют свойство «быть равными почти всюду на ${\mathbb{R}}^{n_{\text{» }}}$, а их соответствующие производные до $k$-й степени также равны почти всюду на $R^n$. Соответствующие топологии имеют следующее обозначение: $C^k({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^1)$ и $C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^1)$.

$\diamond \diamond \diamond$ Понятия, введенные для функций, могут быть распространены и на отображения ( $y:{\mathbb{R}}^r\to {\mathbb{R}}^m$ ). Для этого необходимо только заменить разложение в ряд Тейлора (2.11) на $m$ разложений в ряд Тейлора ( $f\to y_r,r=1,2,\dots ,m$ ). В этом случае необходимо лишь ввести дополнительную сумму по $r$ в каждой из членов в правой части формулы (21.3i). Соответствующие топологии обозначаются $C^k({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^m)$ и $C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^m)$.
$\diamond \diamond \diamond$ Все утверждения о возмущениях (ч. I), сформулированные в терминах топологии $C^{\mathrm{\infty }}$ (открытость, плотность и др.), как правило, справедливы и для топологий $C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^1)$ или $C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^m)$.
$\diamond \diamond \diamond$ ‘Чтобы построить топологию, определяемую коэффициентами членов ряда Тейлора вплоть до $k$-й степени, функция $f$ должна быть по крайней мере $k$ раз дифференцируема. Подобная проблема, как правило, не возникает, когда речь идет о применении топологии в тех областях науки и техники, где используются потенциальные функции, которые обычно являются гладкими, т. е. имеют производные всех порядков. Но при этом предполагается, что существует однозначное соответствие между функциями и их рядами Тейлора.

Однако подобное предположение справедливо только в том случае, когда функция $f(x)$ является аналитической в точке $x^0$, т. е. ее ряд Тейлора в этой точке сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x^0$.

Чтобы показать разницу между аналитическими и гладкими функциями, математики любят демонстрировать следующий математический «ужас»:
$$\begin{array}{rlrl}h(x)& =e^{-1x^2},& & xeq0,\\ & =0,& & x=0.\end{array}$$

Все коэффициенты ряда Тейлора этой функции в нуле обращаются в нуль, так что ряд Тейлора гладкой функции $h(x)$ сходится в точке $x=0$ к нулевой функции. Для любых двух аналитических функций $f_1(x)$ и $g(x)$ определим функцию $f_2(x)$ следующим образом:
$$f_2(x)=f_1(x)+g(x)h(x),$$

или
$$f_2(x)=f_1(x)[1-h(x){]}^k,k=1,2,\dots ,$$

или
$$f_2(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x)[1-e^{-g(x)/x^2}],& xeq0,\\ f_1(0),& x=0,\end{array}g(0)>0.$$

Функция $f_2(x)$ гладкая и имеет ряд Тейлора, в точности совпадаюций в нуле с рядом Тейлора функции $f_1(x)$. Однако $f_2(x)eq$

eq f_{1}(x)$;следовательно,функция$f_{2}(x)$неаналитичнавнуле.Корочеговоря,длялюбойаналитическойфункции$f_{1}(x)$ существует большое семейство гладких, но не аналитических функций, имеющих то же разложение в ряд Тейлора.

И все-таки идея отображення функции в евклидово пространство ${\mathbb{R}}^D$ с целью получения топологии является полезной и привлекательной. Мы используем этот подход в качестве некоторого эвристического средства. Результаты, которые приводятся ниже, верны как для аналитических, так и для гладких функций.