До сих пор мы рассматривали лишь фазовые переходы основного энергетического состояния. Они могут происходить при нулевой температуре при изменении констант связи, харакгеризующих данную систему. Обычно в конкретной системе эти константы фиксированы, и для изучения таких фазовых переходов нужно найти более тонкие методы. В случае твердых тел этого можно добиться, изменяя изотопное давление, в ядрах исследуя изотопные или изотонные последовательности. Этими методами определялись фазовые переходы основного состояния.

В лабораторных условиях обычно проще исследовать термодинамические фазовые переходы, а не фазовые переходы основного состояния, поскольку в данном случае меняется лишь один параметр управления – температура T. В этом разделе будет описан простой алгоритм для изучения термодинамических фазовых переходов модельных гамильтонианов в приближении среднего поля, рассмотренных в разд. 3 .

При конечной температуре состояние квантовомеханической системы, пребывающей в термодинамическом равновесии, не является чистым квантовым состоянием $\left|\psi_{i}\right\rangle$, а скорее представляет собой статистическую смесь чистых состояний. Состояние

$\left|\psi_{i}\right\rangle$ имеет вероятность $P_{i} \simeq e^{-\beta E_{i}}$, где $E_{i}$ – энергетическое собственное значение $\left|\psi_{i}\right\rangle$, а $\beta=1 / k T$. Среднее любого оператора $O$ есть
\[
\left\langle O^{\prime}\right\rangle=\sum P_{i}\left\langle\psi_{i}|O| \psi_{i}\right\rangle=\operatorname{tr}\left(\left|\psi_{i}\right\rangle P_{i}\left\langle\psi_{i}\right|\right) O^{\prime}=\operatorname{tr} \rho O .
\]

Оператор $\rho$ называют оператором плотности. В пределе при температуре, стремящейся к нулю, в этой сумме остается лишь член с минимальной энергией $\left|\psi_{g}\right\rangle$, т. е.
\[
\left\langle O^{\prime}\right\rangle \xrightarrow{T \rightarrow 0}\left\langle\psi_{g}\left|O^{\prime}\right| \psi_{g}\right\rangle .
\]

Среднее значение оператора может быть определено по одному чистому состоянию только в этом предельном случае. При $T
eq 0$ состояние квантовомеханической системы уже определяется не из условия минимума энергии, а из условия минимума свободной энергии. Свободная энергия $F$ определяется по функции разбиения $Z$ из уравнения
\[
e^{-\beta F}=Z=\operatorname{tr} e^{-\beta \mathscr{H}} .
\]

Нас интересует предельное (при $N \rightarrow \infty$ ) значение величины свободной энергии, приходящейся на одну частицу (нуклон, атом, молекула):
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{F}{N}=-\frac{1}{\beta N} \ln \operatorname{tr} e^{-\beta \mathscr{B}} .
\]

Эту величину можно подсчитать для гамильтонианов рассматриваемого класса, причем используются описанные ниже теоретико-групповые приемы. Полученная оценка приводит к алгоритму, описанному ниже вслед за обсуждением некоторых технических деталей. Читатели, не интересующиеся этими подробностями, могут опустить их и перейти непосредственно к алгоритму.

Обсуждение [9]. Вычисление $F / N$ производится по следующим простым этапам:
1. Гильбертово пространство, в котором действует оператор $\mathscr{H}$, разбивается на ряд меньших подпространств. Каждое подпространство неприводимо относительно действия динамической группы $U(r)[8,12]$.
2. При помощи неравенств Боголюбова и Либа [13] в каждом неприводимом подпространстве устанавливаются нижние и верхние границы величины $\operatorname{tr} e^{-\beta
ot{\ell}}$.
3. Эти границы суммируются по всем неприводимым подпространствам с учетом кратности; в результате получаются нижние и верхние границы для функции разбиения $Z$.
4. Для построения границ для свободной энергии вычисля. ются логарифмы полученных границ.
5. Логарифм (мультипликативного) множителя кратности становится описывающим беспорядок аддитивным членом, в конечном счете интерпретируемым как энтропия.
6. Разность верхней и нижней границ интенсивной свободной энергии $F / N$ стремится к нулю при $N \rightarrow \infty$.

Таким образом, эта процедура дает оценку величины $F / N$, которая становится точной при $N \rightarrow \infty$. Эта оценка определяется простым четырехшаговым алгоритмом:
1. $\mathscr{H} / N=h_{Q}\left(a^{\#} / \sqrt{N}, E / N\right)$.
2. $h_{Q} \rightarrow h_{C}=\left\langle h_{Q}\right\rangle_{T}=h_{Q}\left(\left\langle a^{\#} / \sqrt{N}\right\rangle_{T},\langle E / N\rangle_{T}\right)$.
3. $\Phi=h_{C}-k T_{\delta}(\delta)$.
4. $E / N=\operatorname{rin} \Phi$.
Данный алгоритм очень похож на алгоритм определения усредненной энергии основного состояния $E_{g} / N$, за исключением двух существенных моментов:
1. $\left\langle h_{Q}\right\rangle_{T}$ есть среднее, вычисляемое из (15.67) при конечной температуре. Классические пределы $\langle\cdot\rangle_{T}$ являются классическими пределами при конечной температуре (т. е. взятыми в пространствах, отличных от пространства, содержащего основное энергетическое состояние). Для фотонных операторов
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\frac{a^{+}}{\sqrt{N}}\right\rangle_{T}=\left\langle\frac{a^{+}}{\sqrt{N}}\right\rangle_{T=0}=\mu^{*}, \\
\left\langle\frac{a}{\sqrt{N}}\right\rangle_{T}=\left\langle\frac{a}{\sqrt{\bar{N}}}\right\rangle_{T=0}=\mu .
\end{array}
\]

Для операторов углового момента
\[
\begin{array}{c}
\left\langle J_{3}\right\rangle_{T}=r \cos \theta, \quad\left\langle J_{ \pm}\right\rangle_{T}=r \sin \theta e^{ \pm i \phi}, \\
0 \leqslant r \leqslant \frac{1}{2}, \quad 0 \leftarrow \beta \rightarrow \infty .
\end{array}
\]

Классические пределы $\left\langle E_{i j} / N\right\rangle_{T
eq 0}$ для групп $U(r)$ известны, но не настолько просты, чтобы их можно было включить в эту книгу.
2. Логарифмы множителя, учитывающего кратность, есть
\[
\begin{array}{c}
\delta(\delta)=-\sum_{i=1}^{r} \delta_{i} \ln \delta_{i}, \quad \text { где } \\
\delta_{1} \geqslant \delta_{2} \geqslant \ldots \geqslant \delta_{r} \geqslant 0, \\
\delta_{1}+\delta_{2}+\ldots+\delta_{r}=1 .
\end{array}
\]
(Множители $\delta_{i}$-отношения длин разбиения Юнга $\lambda_{i}$ к числу частиц $N: \delta_{i}=\lambda_{i} / N$.) Для SU (2) имеем $\lambda_{1}+\lambda_{2}=N, \lambda_{1} \rightarrow \lambda_{2}=2 J$,

\[
\begin{array}{l}
r=J / N, \quad \delta_{1}=\frac{1}{2}+r, \delta_{2}=\frac{1}{2}-r \text { и } \\
s(r)=-\left\{\left(\frac{1}{2}+r\right) \ln \left(\frac{1}{2}+r\right)+\left(\frac{1}{2}-r\right) \ln \left(\frac{1}{2}-r\right)\right\},
\end{array}
\]

где $0 \leqslant r=J / N \leqslant \frac{1}{2}$ входит в классический предел операторов углового момента.

IIример. В случае $N$ одинаковых двухуровневых систем алгоритм выглядит следующим образом:
1. $\mathscr{H} / N=h_{Q}\left(a / \sqrt{N}, a^{\dagger} / \sqrt{N}, J_{3} / N, J_{+} / N, J_{-} / N\right)$.
2. $h_{C}\left(\mu, \mu^{*}, r, \theta, \phi\right)=h_{Q}\left(\mu, \mu^{*}, r \cos \theta, r \sin \theta e^{i \phi}, r \sin \theta e^{-i \phi}\right)$.
3. $\Phi(\beta)=h_{C}\left(\mu, \mu^{*}, r, \theta, \phi\right)-k T s(r)$.
4. $F(\beta) / N=\min _{\mu, \mu^{*}, r, \theta, \phi} \Phi(\beta)$.
В пределе при $T \rightarrow 0 F \rightarrow E_{g}$ и этот алгоритм сводится к алгоритму определения $E_{g} / N$, описанному в разд. 4 .