Автор работ [5-10] предложил простой алгоритм определения, является ли функция $f(x)$ конечно определенной, и если является, то насколько разложение этой функции в ряд Тейлора может отражать качественные изменения в ее поведении. Этот алгоритм требует вычислить множество полиномов $R_{i j}(x)$. согласно формуле
\[
R_{i j}(x)=j^{p+1}\left\{\frac{\partial f}{\partial x_{i}} m_{j}(x)\right\}
\]

в предположении, что $f(x)$ является $p$-определенной, а $m(x)$ последовательность полиномов от переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{l}$ степеней $1,2, \ldots$ :
\[
m_{l}(x)=x_{1}, \ldots, x_{l} ; x_{1}^{2}, x_{1} x_{2}, \ldots, x_{l}^{2} ; x_{1}^{3}, \ldots
\]

В связи с использованием данного алгоритма возникает вопрос: могут ли все одночлены степени $p+1$ быть записаны в виде линейных суперпозиций $R_{i !}(x)$ с постоянными коэффициентами?

Ответ на этот вопрос оказывается положительным не только в том случае, когда $f(x)$ являегся $p$-определенной, но и в случае, когда $f(x)$ не является таковой. Объясняется это тем, что теорема, лежащая в основе данного алгоритма, не является теоремой типа «тогда и только тогда».

Алгоритм типа «тогда и только тогда» может быть получен, если заменить инфинитезимальные однородные нелинейные преобразования на инфинитезимальные однородные осесохраняющие нелинейные преобразования. Тогда одночлены $m_{j}(x)$ будут иметь степени, начиная со второй, и положительный ответ на ранее поставленный вопрос будет означать, что функция $f(x)$ является $p$-определенной и, может быть, даже $(p-1)$-определенной.
Пример 1. Вычислить определенность функции
\[
f(x, y)=\frac{1}{2}(x+y)^{2}+\frac{1}{3} y^{3} .
\]

Решение. Предположим, что $p=3$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial x}=x+y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=(x+y)+y^{2}, \\
m_{1}, m_{2} ; m_{3}, \ldots=\dot{x}, y ; x^{2}, x y, y^{2} ; x^{3}, \text { и т. д. }
\end{array}
\]

Полиномы $R_{i j}(x)$ приведены в табл. 23.1. Все множество одночленов степени $3+1=4$ может быть выражено через $R_{i j}(x, y)$ следующим образом:
\[
\begin{aligned}
y^{4} & =R_{25}-R_{15}, \\
x y^{3} & =R_{24}-R_{14}, \\
x^{2} y^{2} & =R_{23}-R_{13}, \\
x^{3} y & =R_{27}-\left(R_{23}-R_{13}\right), \\
x_{4} & =R_{26}-\left\{R_{27}-\left(R_{23}-R_{13}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Так как ни один из членов $R_{i j}$, появляющихся в (23.30), не содержит одночленов первой степени $m_{1}=x, m_{2}=y$, то алгоритм типа «тогда и только тогда», связанный с осесохраняющим преобразованием, применим полностью. Следовательно, функция является 3-олределенной либо даже 2-определенной. Так как матрица устойчивости $f(x, y)$ в нуле имеет обращающийся в нуль определитель, то функция $f(x, y)$ не мәжет быть 2-определенной.

Таблица 23.1. Применение алгоритма вычисления определенности к функции
\[
f(x, y)=\frac{1}{2}(x+y)^{2}+\frac{1}{3} y^{3}
\]

Пример 2. Найти определенность $/(x)=x^{p}$.
Решен ие. Предположим, что функция $x^{p} / p$ является $p$-определенной. Тогда $\partial f / \partial x=x^{p-1}$ и $m_{2}, \ldots=x, x^{2}, \ldots$. Вследствие этого имеем
\[
j^{p+1}\left\{\frac { \partial f } { \partial x } m _ { j } \left\{=j^{p+1}\left\{x^{p-1} m_{j}\right\}=x^{p}, x^{p+1}, 0, \ldots .\right.\right.
\]

А так как $x^{p+1}=R_{12}$, то функция $x^{p}$ является $p$-определенной.
Пример 3. Вычислить определенность $f(x, y)=x^{2} y+y^{p} / p$.
$P$ ешение. Предположим, что функция $f(x, y)$ является $p$-определенной. Тогда
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=2 x y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+y^{p-1} .
\]

Используя функции $m_{j}(x, y)$, приведенные в примере 1 , легко видеть, что
\[
\begin{array}{l}
x^{p+1}=j^{p+1}\left\{\frac{\partial f}{\partial y} x^{p-1}\right\}, \quad p-1>2, \\
x^{r} y^{s}=j^{p+1}\left\{\frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} x^{r-1} y^{s-1}\right\}, \quad r+s=p+1 \geqslant 3, r \geqslant 1, s \geqslant 1, \\
y^{p+1}=j^{p+1}\left\{\frac{\partial f}{\partial y} y^{2}\right\}-j^{p+1}\left\{\frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} x y\right\} .
\end{array}
\]

Следовательно, функция $f(x, y)$ является $p$-определенной.
Для случая, когда рассматриваются только функции $f(x, y)$ двух переменных, а $\partial f / \partial x$ и $\partial f / \partial y$ являются одночленами, этот алгоритм может быть представлен в следующем систематизированном диаграммном виде [11]. Одночлены $1 ; x, y ; x^{2}, x y$ и т. д. упорядочиваем в треугольный массив á la Pascal. Тогда $\partial f / \partial x$ и $\partial f / \partial y$ соответствуют некоторым точкам в этом треугольнике. Умножение на одночлены $m_{j}(x, y)$ соответствует созданию точки в «тени» частных производных $\partial f / \partial x$ и $\partial f / \partial y$. Эти тени начинаются одной или двумя строками, расположенными ниже этих производных, в зависимости от того, имеются ли члены первой степени от $x$ и $y$ среди $m_{j}(x, y)$ или нет. Взятие $(p+1)$-струи соответствует игнорированию всех строк ниже $(p+1)$-й строки.

Этот метод уже был использован при вычислении опрелеленности ростка
\[
E_{6}: f(x, y)=x^{3}+y^{4}
\]

в разд. 2 [см. (23.12)].