Поведение многих физических систем носит турбулентный характер в результате действия достаточно жесткого толчка. Возникает вопрос, как возбуждается такое поведение и каким образом можно его математически описать.

Один из возможңых механизмов возникновения турбулентности, изящный по своей простоте, был предложен Рюэлем и Тейкенсом. Этот механизм применим в случае нелинейных динамических систем, зависящих лишь от одного управляющего параметра $c$.

Идея Рюэля и Тейкенса заключается в следующем. Предположим, что в окрестности $c=0 n$-мерная динамическая система имеет единственное устойчивое состояние $x=0$. При увеличении $c$ решение остается единственным до тех пор, пока не будет достигнуто значение $c=c_{1}$, при котором возникает бифуркация Хопфа. При $c>c_{1}$ решение в точке $x=0$ неустойчиво, но вблизи нее располагается предельный цикл $T_{1}$ (представляющий собой деформированную окружность), который устойчив. Движение вокруг этого инвариантного множества является периодическим с угловой частотой $\omega_{1}$. При дальнейшем возрастании $c$ указанный предельный цикл остается устойчивым до тех пор, пока не будет достигнуто значение $c=c_{2}$, при котором усеченная $(n-1) \times(n-1)$-матрица устойчивости (одно из направлений устраняется за счет потока $T^{1}$ ) имеет пару комплексносопряженных собственных значений с нулевыми действительными частями. Возникает вторая бифуркация Хопфа, и при $c>c_{2}$ исходный предельный цикл неустойчив, но окружен предельным тором $T^{2}$. Поток на этом торе является квазипериодическим с компонентами частоты ( $\left.\omega_{1}, \omega_{2}\right)$. В общем случае $\omega i-$ функции управляющего параметра $c$. ІПри увеличении $c$ отношение компонентов частоты может быстро изменяться между иррациональным (непериодическое движение) и рациональным (периодическое движение) значениями.

Проанализируем $(n-2) \times(n-2)$-матрицу устойчивости на двумерной инвариантной поверхности при дальнейшем увеличении $c$. При $c=c_{3}$ третья пара комплексно-сопряженных собственных значений может иметь действительные части, проходящие через нуль. Тогда тор $T^{2}$ становится неустойчивым при $c>$ $>c_{3}$ и будет окружен устойчивым инвариантным тором $T^{3}$ Этот случай также может описывать квазипериодическое движение с угловыми частотами $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$.

При $c=c_{4}$ получаем следующую бифуркацию Хопфа, о чем свидетельствует появление у усеченной $(n-3) \times(n-3)$-матрицы устойчивости ( $n \geqslant 5$ ) двух чисто мнимых собственных значений. При $c>c_{4}$ тор $T^{3}$ неустсйчив, но он окружен устойчивым потоком на $T^{4} \subset \mathbb{R}^{n}(n \geqslant 5)$. Рюэль и Тейкенс [10] показали, что этот поток не будет общим для всех систем. Произвольные возмущения, образующие открытое множество в пространстве возмущений $F(x ; c),\left(c>c_{4}\right)$ квазипериодического потока с частотами ( $\left.\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}\right)$ на $T^{4}$ обладают странными аттракторами. Ньюхаус, Рюэль и Тейкенс [12] показали, что турбулентное поведение может возникнуть в случае, когда три собственных значения переходят в правую полуплоскость.

Эта общая картина перехода к турбулентности не зависит от выбора модели, причем нет необходимости в том, чтобы возникновение турбулентности осуществлялось прохождением через каскад трех или четырех локальных бифуркаций Хопфа. Меньшее их число будет достаточным для нелокальных переходов. $\diamond \diamond \diamond$ По сравнению с картиной перехода к турбулентности, предложенной Ландау, описанная картина «более экономно расходует» бифуркации. Механизм перехода к турбулентности по Ландау связан с бесконечным каскадом бифуркаций (рис. 20.20) в области изменения управляющего параметра $r_{a} \geqslant r \geqslant r_{\infty}$. Соғласно этому механизму, система будет вести себя хаотически

Рис. 20.31.
$a$ – схема эксперимента для изучения тейлоровской неустойчивости методом светового рассеяния; $\sigma$ – экспериментальные данные, демонстрирующие наличие одного пернодического режима, двух квазипериодических режимов и турбулентного режима. (Перепечатано из работы [13].)

только благодаря большому числу ненулевых параметров порядка.

Результаты экспериментальных и теоретических исследований, по-видимому, свидетельствуют о том, что предложенная Рюэлем и Тейкенсом картина перехода к турбулентности дает по меньшей мере правильное направление в решении задачи. Авторы работы [13] изучали тейлоровскую неустойчивость (рис. 20.31) методом светового рассеяния. Вода была заключена в кольцевом зазоре между вращающимся стальным цилиндром радиусом $r_{1}$ и коаксиальной с ним стеклянной трубой внутреңним радиусом $r_{2}$. Период вращения $\tau$ связан с числом Рейнольдса $R$ соотношением $R=2 \pi r_{1} d / v \tau$, где $v$-кинематическая вязкость. Свет, рассеянный небольшим объемом жидкости, несет информацию о частотных фурье-компонентах радиальных составляющих скорости жидкости. Эта информация, записанная с вомощыо физических приборов, показана на рис. 20.31 в виде зависимости приведенной частоты $f^{*}=f \tau$ от числа Рейнольдса $R^{*}=R / R_{T}$, нормированного таким образом, что возникновению турбулентности соответствует значение $R^{*}=1,0$. Появление различных режимов происходит при следующих значениях $R^{*}: R_{1}^{*}=0,064, \quad R_{2}^{*}=0,54 \pm 0,01, \quad R_{3}^{*}=0,78 \pm 0,03, \quad R_{4}^{*}=1,0$. Бифуркация к хаосу при $R_{4}^{*}=1,0$ оказалась воспроизводимой без гистерезиса. Мода, связанная с $f_{2}^{*}$, затухает при $R^{*}=0,78 \pm$ $\pm 0,04$. По-видимому, исчезновение моды, связанной с частотой $f_{2}^{*}$, непосредственно сопровождается появлением новой моды с частотой $f_{3}^{*}$. Кроме того, по всей видимости, бифуркация Хопфа при $R^{*}=1,0$ приводит к квазипериодическому движению с частотами $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$, которое структурно неустойчиво и под влиянием естественно возникающих возмущений начинает затем вести себя хаотически. Такое хаотическое поведение характеризуется широким энергетическим спектром. В рассматриваемой системе переход к турбулентности связан с четырьмя последовательными бифуркациями, одна из которых (при $R^{*}=0,54$ ) может и не потребоваться для возникновения хаотического поведения.

Для изучения неустойчивости по Рэлею – Бенару авторы работы [14] применили метод светового рассеяния. Сводка полученных ими результатов представлена на рис. 20.32. Здесь $R_{c}$ число Рейнольдса, при котором возникает бифуркация к конвективному движению. При $1<R^{*}=R / R_{c}<20$ движение имеет конвективный характер, причем поле скоростей не зависит от времени. В области $20<R^{*} \leqslant 50$ могут существовать четыре различных, зависящих от времени поля скоростей в перекрывающихся диапазонах изменения числа Рейнольдса. При $20<$ $<R^{*} \leqslant 29$ существует единственный периодический режим. В этом режиме энергетический спектр имеет фурье-компоненты, соответствующие основной частоте и ее гармоникам. При $29 \leqslant$ $\leqslant R^{*}<39,8$ периодическое движение вырабатывает сильную субгармонику в энергетическом спектре с частотой, равной половине основной частоты. Это явление аналогично бифуркации к замкнутым периодическим траекториям с двойными петлями при значении $r_{b}$ (рис. 20.20) с той лишь разницей, что такой переход окружен спинодалями. В области $31,3<R^{*}<41,9$ наблюдается квазипериодический режим с несоизмеримыми частотами $\omega_{1}, \omega_{2}$. Хаотический режим с широким частотным диапа-

Рис. 20.32.
$a$ – схема эксперимента для изучения неучтойчивости по Рэлею-Бенару методом светового рассеяния; 6 – экспериментальные данные, демонстрирующие наличне периодического, квазипериодического и хаотического режимов; $\boldsymbol{s}$ – сочетание различных режимов [14]. $\times$ – периодический; О- квазнпериодический; $\boldsymbol{\Delta}$ – хаотическнй.

зоном в энергетическом спектре возникает при $38,2<R^{*}$. Ветвь, соответствующая единственной частоте и субгармонике, теряет устойчивость при $R^{*}=39,8$, а ветвь квазипериодического движения теряет устойчивость при $R^{*}=41,9$. В области $41,9<$ $<R^{*}<50$ наблюдается только хаотический режим.

Экспериментальные наблюдения были качественно воспроизведены на модели динамической системы с 14 переменным со-

Рис. 20.33.
Критическое поведение модели с 14 переменными состояния для уравнения Навье Стокса в приближении Буссинеска соответствует только одному типу устойчивости при каждом значении $R$. Последовательность типов пернодических замкнутых орбит хорошо аппроксимирует картину, наблюдаемую в экспериментах для изучения неустойчивости по Тейлору и по Рэлею-Бенару методом светэвого рассеяния [15].

стояния [15]. Такая система уравнений получается из уравнений Навье – Стокса в приближении Буссинеска. Метод, которому следовал автор работы [15], в точности совпадает с методом, использованным Зальцманом [5] и Лоренцем [3], с той лишь разницей, что пространство переменных состояния было расширено до 14 измерений за счет удержания 14 первых четных коэффициентов ряда Фурье. Качественное соответствие поведения этой модели экспериментальным наблюдениям Голуба и Бенсона говорит о том, что модель может быть, по существу, верной, а ошибки возникают за счет усечения пространства переменных состояния.

Рассматриваемая теоретическая модель изучалась при фиксированном числе Прандтля, равном 2,5 , и переменном числе Рэлея. В рамках этой модели существует, по-видимому, лишь один устойчивый орбитальный тип при каждом значении приведенного числа Рейнольдса $R^{*}$. Последовательность бифуркаций показана на рис. 20.33. Такая картина, определяемая выбранной моделью, находится в согласии с картиной Рюэля Тейкенса перехода к турбулентности, видоизмененной Ньюхаузом. Экспериментальные результаты, полученные Голубом и Суинни, а также Голубом и Бенсоном, дают основания полагать, что картина Рюэля – Тейкенса, по-видимому, правильна в своей основе, однако Природа нашла такие способы в изобретении и комбинировании последовательности из трех бифуркаций Хопфа,

Рис. 20.34.
Картина перехода к турбулентному режиму по Рюэлю-Тейкенсу содержит последовательность из трех бифуркацнй Хопфа к периодической орбите ( $\left.\omega_{1}\right)$, квазипериодической орбите $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ и другой квазипериодической орбите ( $\left.\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right)$, которая под действием возмущения может перейти в хаотическую орбиту. (Могут также возникать и другие типы бифуркаций.) Взанмное расположение трех бифуркаций Хопфа может привести к системам, в которых наблюдаются все три стадии (a), две стадии (6) илн только одна стадия (o). Қаждая из показанных бифуркаций является бифуркацией Хопфа. – устойчнвость; – – – неустойчивость.

что действительное поведение реальных физических систем оказывается даже более интересным, чем поведение при трех последовательных бифуркациях, предложенных Рюэлем и Тейкенсом. На рис. 20.34 схематически показано, каким образом три, две или даже одна бифуркация Хопфа могут инициировать переход к турбулентности.