Автор работ [5 -10] предложил также алгоритм определения универсальной деформации функции. Правила для вычисления деформации являются в буквальном смысле дополнением правил нахо’ждения определенности.

Алгоритм требует найти число $p$ – пределенность функции $f(x)$ (т. е. скорее можно работать лишь с полиномом $\bar{f}(x)=$ $\left.=j^{p} f(x)\right)$. При этом предполагается, что (1) $n_{j}(x)$ – последовательность одночленов от переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i}$ степеней $0,1,2, \ldots$ :
\[
n_{j}(x): 1 ; x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{l} ; x_{1}^{2}, x_{1} x_{2}, \ldots
\]

и (2) $F(x ; a)$ является $r$-мерной деформацией полинома $\tilde{f}(x)$. Определим многочлены
\[
T_{j}(x)=\left.\frac{\partial}{\partial a_{j}} j^{p+1} F(x ; a)\right|_{a=0} .
\]

Кроме того, должны быть перечислены все многочлены вида
\[
S_{i j}(x)=j^{p}\left\{\frac{\partial \bar{f}}{\partial x_{i}} n_{j}(x)\right\} .
\]

Тогда, если все одночлены степени не больше $p$ могут быть выражены в виде
Любые одночлены степени $\leqslant p=\sum s_{i j} S_{i j}(x)+\sum t_{j} T_{j}(x)$
(где $s_{i j}, t_{j}$ – вещественные числа), то это означает, что $F(x ; a)$. является версальной деформацией $f(x)$; если $T_{j}(x)$ минимально, то $F(x ; a)$ – универсальная деформация полинома $\bar{f}(x)$.
$\diamond \diamond \diamond$ Полиномы $T_{j}(x)$ образуют минимальное множество только тогда, когда они линейно независимы.

$\diamond \diamond \diamond$ При нахождении канонической линейной (по $T_{j}(x)$ ) формы универсальной деформации полинома $\vec{p}(x)$ !
\[
F(x ; a)=\bar{f}(x)+\sum_{j=1}^{r} a_{j} T_{j}(x)
\]

для определения параметров деформации $a_{j}$ может быть применена теорема о неявной функции.
$\diamond \diamond \diamond$ Универсальная деформация функции $\tilde{f}(x)$ не обязательно единственная (см. примеры 2 и 3 ниже), хотя она и однозначна с точностью до гладкой замены переменных. Списки элементарных катастроф, приводимых различными авторами, могут казаться на первый взгляд совершенно рязличными, однако все они эквивалентны относительно гладкой замены переменных.

Пример 1. Вычислить универсальную деформацию функции $f(x)=x^{p} \cos x$ в окрестности точки $x=0$.

Решение. Функция $x^{p}\left(1-x^{2} / 2 !+\ldots\right)$ является $p$-определенной, так что достаточно исследовать $\tilde{f}(x)=x^{p}$. Одночлены $n_{j}(x)$ будут следующие:
\[
n_{0}, n_{1}, n_{2}, \ldots=1, x, x^{2}, \ldots
\]

Тогда
\[
i^{p}\left\{\frac{\partial \tilde{f}}{\partial \ddot{x}} n_{j}\right\}=j^{p}\left\{x^{p-1} n_{j}\right\}=x^{p-1}, x^{p}, 0, \ldots .
\]

Қаждый одночлен степени не больше $p$ может быть выражен в форме (23.38) при условии, что мы выбрали
\[
T_{0}, T_{1}, \ldots, T_{p-2}=x^{0}, x^{1}, \ldots, x^{p-2} .
\]

Так как постоянный член несуществен, то универсальная деформация $f(x)=$ $=x^{p}$ равна
\[
F\left(x ; a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{p-2}\right)=x^{p}+\sum_{j=1}^{p-2} a_{i} x^{j} .
\]

Пример 2. Вычислить универсальную деформацию функции $f(x, y)=$ $=x^{2} y \pm y^{3} / 3$.

Pешение. Эта функция является 3-определенной. Частные производные af $/ \partial x=2 x y$ и $\partial f / \partial y=x^{2} \pm y^{2}$, а также одночлены $n_{j}(x)$ и 3 -струи их произведений $S_{i j}$ перечислены ниже:
\[
\begin{array}{ccc}
n_{j}(x, y) & S_{1 j}=j^{3}\left(\frac{\partial f}{\partial x} n_{j}\right) & S_{2 j}=j^{3}\left(\frac{\partial f}{\partial y} n_{j}\right) \\
n_{0}=1 & x y & x^{2} \pm y^{2} \\
n_{1}=x & x^{2} y & x\left(x^{2} \pm y^{2}\right) \\
n_{2}=y & x y^{2} & y\left(x^{2} \pm y^{2}\right) \\
n_{3}=x^{2} & 0 & 0 \\
: & \vdots & \vdots
\end{array}
\]
Ни один нз одночленов $x, y$ первой степени не может быть выражен в виде линейной комбинации $S_{i j}$, поэтому полагаем, что $T_{1}(x, y)=x$ и $T_{2}(x, y)=y$. Множество полиномов второй степени является линейным векторным пространством размерности 3. Функции $S_{11}=x y$ и $S_{21}=x^{2} \pm y^{2}$ могут быть взяты как два базисных вектора в этом пространстве. В качестве $T_{3}(x, y)$ можно взять любой вектор этого пространства, линейно независимый с $S_{11}$ и $S_{21}$. Например, можно взять $x^{2}, y^{2}$ или $x^{2} \mp y^{2}$. При построенни табл. 2.2 мы выбрали $T=y^{2}$, однако для вычислительных целей (гл. 5) более удобно выбрать $T_{3}(x, y)=x^{2} \mp y^{2}$. Все одночлены $x^{3}, x^{2} y, x y^{2}, y^{3}$ третьей степени могут быть выражены с помощью многочленов $S_{i j}$, так что универсальной деформацией $f(x, y)$ является
\[
F\left(x, y: a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=x^{2} y \pm \frac{1}{3} y^{3}+a_{1} x+a_{2} y+a_{3}\left(x^{2} \mp y^{2}\right) .
\]

Пример 3. Вычислить деформацию $f(x, y)=x^{2} y+y^{\rho} / p$.
$\mathrm{P}$ ешение. Эта функцй является $p$-определенной, у которой $\partial f / \partial x=$ $=2 x y$, а $\partial f / \partial y=x^{2}+y^{p-1}$. Одночлены $n_{l}(x, y)$ и $p$-струи $\mathcal{S}_{i j}(x, y)$ перечислены ниже:
\[
\begin{array}{ccc}
n_{j}(x, y) & S_{1 j}=j^{p}\left(\frac{\partial f}{\partial x} n_{j}\right) & S_{2 j}=j^{p}\left(\frac{\partial f}{\partial y} n_{j}\right) \\
n_{0}=1 & x y & x^{2}+y^{p-1} \\
n_{2}=x & x^{2} y & x^{3}+x y^{p-1} \\
n_{2}=y & x y^{2} & x^{2} y+y^{p} \\
n_{3}=x^{2} & x^{3} y & x^{4} \\
n_{4}=x y & x^{2} y^{2} & x^{3} y \\
. & \cdot & :
\end{array}
\]
. $\quad$.
Все одночлены $x^{r} y^{s}, r \geqslant 1, s \geqslant 1, r+s \leqslant p$, встречаются в списке многочленов $S_{1}$, а одночлены $x^{r}, 4 \leqslant r \leqslant p$, и $y^{p}$ встречаются в списке многочленов $S_{2 j}$. Одночлен $x^{3}$ может быть выражен в виде $x^{3}=\left(x^{3}+x y^{p-1}\right)-x y^{p-1}$, так что минимальное множество $T_{j}(x, y)$ должно включать $x, y, y^{s}, 1<s<p-1$, и либо $x^{2}$, либо $y^{p-1}$. Одной из универсальных деформацнй функции $x^{2} y+y^{p / p}$ является
\[
F\left(x, y ; a_{1}, \ldots, a_{p}\right)=x^{2} y+\frac{y^{p}}{p}+\sum_{j=1}^{p-2} a_{j} y^{j}+\sum_{j=p-1}^{p} a_{j} x^{j-(p-2)} .
\]

Вычисление универсальной деформации функции двух переменных может быть значительно упрощено применением диаграммного метода в случае, когда $\partial f / \partial x$ и $\partial f / \partial y$ являются одночленами $[2,11]$. Фактически диаграммный метод уже неявно был использован в (23.24) при пояснении алгоритма Мезера для вычисления определенности.
Пример 4. Вычислить деформацию $E_{6}: x^{3}+y^{4}$.
Решен и е. Это как раз тот случай, когда диаграммный метод позволяет значительно упростить проводимые вычисления. Одночлены $x^{p} y^{q}$ упорядочим в треугольник Паскаля. Тогда ктени», отбрасываемые $\partial f / \partial x=x^{2}$ и $\partial f / \partial y=y^{3}$, умноженными на одночлены $n_{j}: 1 ; x, y, x^{2}, \ldots$, могут быть представлены в виде диаграммы

Остающиеся члены дают универсальную деформацию $E_{6}=x^{3}+y^{4}$. Без учета постоянного члена эта универсальная деформация является функцией размерности 5 :
\[
p(x, y)=a_{1} x+a_{2} y+a_{3} x y+a_{4} y^{2}+a_{5} x y^{2} .
\]