Первое изложение теории катастроф было дано в книге Тома «Stabilite Structurelle et Morphogénese» (1972 г.). В этой книге теория катастроф представляется как некая общая теория построения моделей посредством аналогий. Однако изложение теории сопровождается большим количеством отступлений философского характера, что в значительной степени затрудняет понимание вопросов, связанных с происхождением теории. В частности, в книге Тома теряется тот важный факт, что теория катастроф продолжает направление исследований, берущих свое начало от Пуанкаре (качественная или топологическая динамика). Кроме того, книга Тома предназначена скорее для биологов, чем для математиков, физиков, химиков или инженеров. Другими словами, как по форме, так и по содержанию первая книга по теории катастроф оказалась труднодоступной для тех, кто ожидал от нее непосредственной практической отдачи.

Тем не менее важные идеи Тома получили развитие в нескольких направлениях, три из которых необходимо выделить особо. Они связаны в основном с именами Мезера и Мальгранжа, Арнольда и Зимана.

Мезер и Мальгранж (а также ряд других ученых) занялись строгим математическим доказательством теорем Тома. Это направление привело к математическому обоснованию теории катастроф.

Арнольд значительно расширил классификацию особенностей функций и указал, насколько важным наличие таких особенностей может оказаться для прикладных дисциплин. Собрав массу разрозненных фактов и результатов вместе и написав серию обзорных статей, замечательных по своей красоте, ясности и конкретности изложения, Арнольд первым сделал теорию катастроф доступной для широкой аудитории.

Наконец, Зиман показал, что теория моделей Тома может быть весьма полезной для тех дисциплин, в которых нет высокоразвитой математической инфраструктуры. Он, в частности, предложил широкий и захватывающий спектр приложений теории катастроф в социальных и биологических науках.

Развитие теории катастроф сопровождалось рядом критических выступлений. Так, критика, которая велась Суссманом и Цалером, была направлена против исследований Зимана. Эта критика, к сожалению, была нє более чем бурей в стакане воды и привела лишь к тому, что отсрочила на несколько лет широкое использование теории катастроф как полезного рабочего инструмента ученых и инженеров.

Основные возражения против полезности теории катастроф обычно бывают двух типов и сводятся к следующим суждениям:
– теория катастроф является топологической, и ее результаты имеют качественный, а не количественный характер. Поэтому она совершенно бесполезна;
– элементарные катастрофы Тома имеют непосредственное отношение лишь к изучению бифуркации состояний равновесия градиентных динамических систем. Следовательно, они неадекватны при описании реальных систем, которые обычно зависят от времени.

Я попытаюсь представить свое понимание серьезности обоих возражений.

Первоначальной целью исследовательской программы Пуанкаре была разработка качественной теории динамических систем. То, что теория является качественной (или топологической), совсем не мешает делать количественные предсказания для тех моделей, которые могут быть описаны на основе теории. Пуанкаре никто не порицал за развитие теории, которая являлась качественной. То же относится к Андронову и Хайкину (теория колебаний). Аналогичные соображения применимы и к элементарным катастрофам. Многообразие катастрофы сборки может быть описано качественно, но я надеюсь, что машинные графики, представленные в этой книге, оставили неизгладимое впечатление именно своей количественной природой. Соответствие экспериментальных данных кривым, построенным на основе представлений об элементарных катастрофах (рис. 5.18), также свидетельствует о возможности количественных предсказаний теории катастроф.

Второе возражение против полезности элементарных катастроф, приписываемое их статической природе, само по себе верно и поэтому более серьезно, чем первое, но выводы, которые обычно из него извлекают, неправильны. Полезность теории катастроф состоит не столько в канонических формах, которые она дает, сколько в методах, которые она применяет. Я считаю, что для нематематиков, стремящихся конструктивно использовать теорию катастроф, можно выделить шесть различных уровней полезности, на которых может быть использована теория катастроф:

1. Организация данных. Необходимо имеющиеся данные собрать в согласованную структуру и показать, как они связаны друг с другом. Канонические свойства катастроф в этом случае могут подсказать новые направления исследований.
2. Потенциальная функция, описывающая градиентную систему, известна, но очень сложна. Локальная структура этой функции в вырожденной критической точке может быть однозначным образом определена посредством элементарных рассуждений.
3. Потенциальная функция, описывающая градиентную систему, не известна. Знание модальности, местонахождения фазовых переходов и тензоров восприимчивости может оказаться вполне достаточным для определения вырожденных критических точек. Қачественные изменения в поведении рассматриваемой системы описываются встречаемыми вырожденными критическими точками.
4. Система не является градиентной системой. Такая система тем не менее может иметь состояние равновесия или устойчивые состояния, тесно связанные с элементарными катастрофами. Это имеет место, если нелинейные уравнения, описывающие состояние равновесия (уравнения состояния), содержат множители, не являющиеся градиентами элементарных катастроф.
5. Уравнения, описывающие систему, не известны. Если пространственные вариации или эволюция во времени являются медленными, то существование кратных локально устойчивых мод может означать, что поведение системы можно качественно или даже полуколичественно описать с помощью одной из функций теории катастроф. Это значительно расширяет возможности исследователя вплоть до получения им обоснования догадки об уравнениях, описывающих систему.
6. Относительная важность переменных не известна. В этом случае не известны и уравнения, описывающие систему. Если существует предельная модальность, то всего лишь небольшое число (одна, две или три) функций переменных состояния, описывающих систему, фактически приводят к изменению состояния системы. Эти функции могут быть получены из их линеаризованной формы в вырожденной критической точке. Когда это сделано, можно считать, что качественно поведение системы в окрестности таких точек достаточно хорошо определено.

В ч. II настоящей книги были проиллюстрированы возможности применения теории катастроф на разных уровнях полезности: термодинамика (уровни 1 и 5), теория упругости (уровни $1-3$ ), аэродинамика (уровень 4), волновая механика (уровни 1 и 4), квантовая механика (уровни 1 и 4) и климатология (уровни 4-6).

Нам представляется, что из всех уровней полезности уровень 6 имеет наибольшее отношение к наблюдениям $\Gamma$. Хилла и программе Пуанкаре. Топологическая динамика и ее побег теория катастроф – кажутся очень подходящим инструментом для исследования проблем такой сложности, при которой даже трудно определить, с какой стороны к этим проблемам подступиться.

Қак уже отмечалось, теория катастроф стимулировала развитие нескольких новых направлений в области математики, которые в ближайшее время, по-видимому, будут продолжать развиваться. Применение теории катастроф может дать наиболее ощутимые результаты в физике и инженерной механике, где методы или результаты теории, вероятно, будут широко внедряться в течение ближайших пяти лет. Проникновение в химию и инженерные дисциплины может потребовать несколько большего времени. Еще больше времени (около $15-20$ лет) потребуется для внедрения теори катастроф в биологические и социальные науки. В каждой области теория катастроф может дать новые важные результаты, но особенно полезной она должна быть в области социальных наук.

Принимая во внимание все вышеизложенное, я могу с уверенностью утверждать, что теория катастроф является важной и полезной. На этой уверенности и основана предлагаемая читателю книга. Может быть, некоторые читатели придут к выводу, что теория катастроф заслуживает их внимания, а некоторые сочтут возможным использовать ее в качестве эффективного средства в своих творческих поисках. Я оставляю за читателем право составить собственное мнение по этому вопросу.