В этой главе рассматривались статические и динамические свойства градиентных динамических систем. Хотя эти динамические системы невозможно привести к каноническому виду нигде, кроме положения равновесия, методы и результаты элементарной теории катастроф охазываются полезными при изучении их динамических свойств. В часто встречающемся случае $n=2$ динамические свойства становятся совершенно наглядными благодаря применению методов построения фазовых портретов. Фазовый портрет в окрестности вырожденной критической точки можно построить как предельный случай фазового портрета ростка деформированной катастрофы (при бесконечно малом возмущении).

Был рассмотрен типичный пример из широкого класса интересных физических приложений теории катастроф и теории бифуркаций. Просто удивительно, что для получения столь подробной информации о приблизительном расположении и типах устойчивости критических ветвей некоторых симметрических функций, зависящих от одного управления, потребовались столь незначительные усилия. На практике же задачи такого рода, встречающиеся в научно-технических приложениях, имеют еще более простую структуру.

Было показано, как можно найти стационарные значения потенциальной функции при помощи метода прогонки. Хотя катастрофы мешают непосредственной реализации данного метода, тем не менее это препятствие можно обойти, поскольку известны канонические формы катастроф. Обсуждалась связь между теорией бифуркаций и теорией катастроф; показано, каким образом методы теории катастроф (т. е. изменение управлений) могут привести к обнаружению несвязных множеств решений и их дальнейшему анализу методом прогонки.

Литература
1. Golubitsky M., Schaeffer D. A. Theory for Imperfect Bifurcation via Singularity Theory, Commun. Pure Appl. Math., 32, 21-98 (1979).

Рис. 18.15. Несвязное множество решений можно обнаружить с помощью комбинации прогонки и методов теория катастроф.
$a$ – связное множество решений находится прогонкой; б – при фиксированной длине дуги $s$ аднабатически вводится деформация до тех пор, пока все множество решеннй не станет связным. При этом отслеживается положение единственной известной критической точки при фиксированном s (светлық кружок). Прогонкой определяется наличне и определяется новая критическая точка при том же значении $s$; в – отслежнвается по ложение новой точки (светлый кружок) при адиабатическом снятин деформации; 2 с помощью прогонки строится несвязное иножество решений для исходного невозмущенного потенциала.