Из предыдущего следует, что сведения о типе и свойствах критических точек и потоков, обычно встречающихся при исследовании $n$-мерных динамических систем, имеют большое значение для понимания качественных изменений в поведении таких систем. Принцип построения, использованный в разд. 1 и 4 , оказался удобным для получения сведений о критических свойствах $n$-мерной системы на основании результатов, полученных для системы размерности $n-1$, когда мы совершали переход от одномерного случая к двумерному и от двумерного к трехмерному. Очевидно, что если необходимо распространить этот принцип построения на случай более высоких размерностей, то для этого потребуется разработка нового подхода к решению задачи.

Согласно новому подходу (рис. 7.2, разд. 19.6) [9], описание потоков стрелками в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ заменяется изучением распределения корней матрицы устойчивости (в комплексной плоскости), соответствующих критической точке или критическому потоку (инвариантная поверхность):
– при $n=1$ имеем только один корень для критической точки, причем последняя будет типа $M_{0}^{1}$ или $M_{1}^{1}$ (рис. 20.24);

$\mathrm{P}_{\text {ис. 20. }}$ 24. Изолированная критическая точка в пространстве $\boldsymbol{R}^{1}$ может быть либо $M_{0}^{1}$, либо $M_{1}^{1}$ типа.

Рис. 20.25. Изолированная критическая точка в пространстве $\mathbb{R}^{2}$ характеризуется двумя собственными значениями матрицы устойчивости.
Эти значения могут либо быть оба действительными, либо составлять комплексно-со: пряженную пару.

Рис. 20.26.
Если два собственных значения для изолированной критической точки являются мни мыми, соответствующие потоки определяются центром. Такой поток структурно неустойчив. Под действием возмущения эти два собственных значения могут смещаться в отрицательную полуплоскость (устойчивый фокус). В таком случае в результате би. вуркация Хопфа возникает неустойчивый предельный цикл $T^{1} \times M_{1}^{1}$. Если возмущенне смещает комплексные собственные значения в правую полуплоскость, рождается устойчивый предельный цикл.
– при $n=2$ имеем два корня в критической точке. Они могут быть оба действительными, тогда критическая точка будет типа $M_{i}^{2}(i=0,1,2)$, или образовывать комплексно-сопряженную пару, тогда критическая точка будет типа $F_{ \pm}^{2}$ (рис. 20.25). Предельные циклы связаны с комплексно-сопряженной парой собственных значений, переходящих через мнимую ось. На рис. 20.26 показаны возмущения в случае структурной неустойчивости, когда на мнимой оси возникают два ненулевых корня. На рис. 20.26,a показано, как возмущение смещает оба корня в левую полуплоскость, создавая устойчивый фокус. Одновременно может быть создан неустойчивый предельный цикл (или разрушен устойчивый предельный цикл). Это явление представлено единственной точкой в правой полуплоскости. Одно из двух собственных значений снято, поскольку критическое множество уже будет не точкой, а одномерным потоком $(\dot{\theta}=$ const). Другое, малое по величине собственное значение связано с радиальной коордиғатой в полярной системе. На рис. $20.26,6$ показано, каким образом возмущение, отличное от описанного выше, может привести к возникновению неустойчивого фокуса $F_{+}^{2}$ и устойчивого предельного цикла $T^{1} \times M_{0}^{1}$. Эта бифуркация может быть представлена следующей схемой:

В трехмерном случае можно изучить критические множества размерности 0 (критические точки), 1 (предельные циклы), 2 (инвариантные торы). В критической точке все собственные значения могут быть действительными или образовывать комплексно-сопряженную пару. Спектр изолированных критических точек содержит точки типа $M_{i}^{3}$ и $F_{ \pm}^{2} \times M_{i}^{1}$ (рис. 20.27). В случае одномерного критического множества необходимо рассмотреть два собственных значения. Спектр критических потоков содержит потоки типа $T^{1} \times M_{i}^{2}$ и $T^{1} \times F_{ \pm}^{2}$. Потоки последнего типа представляют собой неустойчивое и устойчивое винтовые поля $\mathrm{Sc}_{ \pm}$, показанные на рис. 20.13 и 20.12. Если мы имеем дело с двумерным критическим множеством $T^{2}$, остается одно собственное значение, так что соответствующие потоки будут типа $T^{2} \times M_{i}^{1}$. Рис. 20.27 содержит всю информацию, представленную на рис. 20.9-20.15. Более того, теперь нетрудно заметить, какие критические потоки располагаются вблизи других критических потоков в смысле буфуркаций. Например,
\[
\begin{array}{l}
T^{1} \times\left(F_{+}^{2}+T^{1} \times M_{0}^{1}\right)= \\
=\mathrm{Sc}_{+}+T^{2} \times M_{0}^{1},
\end{array}
\]

как уже ранее отмечалось.

Рис. 20.27. Критическое множество в пространстве $R^{3}$ может иметь размерность $k=0,1,2$.
Чнсло собственных значений усеченной матрдцы устойчивости во взанмно ортогональных направлениях равно $3-k$. Эти собственные значения могут быть расположены в комплексной плоскости. Соответствующие потоки будут типа $T^{k} \times M_{i}^{3-k}$ или $T^{k} \times F_{+}^{2} \times$ $\times M_{i}^{3-(2+k)}$.

Несмотря на то что по сравнению с результатами, изложенными в разд. 1 и 4, мы не получили пока никаких преимуществ при использовании рассматриваемого метода, он существенным образом упрощает анализ критических поверхностей в случае динамических систем размерности $n \geqslant 4$ (рис. 20.28). В случае $k$-мерной инвариантной поверхности $(k<n)$ необходимо рассмотреть $n-k \geqslant 1$ собственных значений. При $k=0$ (предельная точка) устойчивость будет соответствовать типу $M_{i}^{4}$, $F_{ \pm}^{2} \times M_{i}^{2}$ или $F_{ \pm}^{2} \times F_{ \pm}^{2}$. При $k=1$ предельным потоком служит предельный цикл, причем остается рассмотреть три собственных значения (рис. 20.27); при $k=2$ существует предельный поток на торе $T^{2}$, причем могут появиться два остальных собственных значения (рис. 20.25); при $k=3$ следует обратиться к рис. 20.24 (сводка критических потоков в $\mathbb{R}^{4}$ представлена на рис. 20.28) :
\[
\begin{array}{l}
k=0, \quad M_{i}^{4}, \quad F_{ \pm}^{2} \times M_{i}^{2}, \quad F_{ \pm}^{2} \times F_{ \pm}^{2} ; \\
k=1, \quad T^{1} \times M_{i}^{3}, \quad T^{1} \times F_{ \pm}^{2} \times M_{i}^{1} ; \\
k=2, \quad T^{2} \times M_{i}^{2}, \quad T^{2} \times F_{ \pm}^{2} ; \\
k=3, T^{3} \times M_{i}^{1} \text {. } \\
\end{array}
\]

Рис. 20.28. Критическое множество в пространстве $R^{4}$ может иметь размерность $k=0,1,2,3$.
Число собственных значений усеченной маррицы устойчивости во взаимно ортогональных направлениях равно 4 – k. Эти собственные значения могут быть расположены в комплексной плоскости.

Легко установить бифуркационные свойства этих критических потоков. Например, поскольку
\[
\begin{array}{l}
T^{1} \times F_{-}^{2} \times M_{0}^{1} \xrightarrow{\text { Бифуркация Хопфа }} T^{1} \times\left(F_{+}^{2}+\right. \\
\left.+T^{1} \times M_{0}^{1}\right) \times M_{0}^{1}=T^{1} \times F_{+}^{2} \times M_{0}^{1}+T^{2} \times M_{0}^{2}, \\
\end{array}
\]

можно видеть, что $T^{1} \times F_{-}^{2} \times M_{0}^{1}$ располагается вблизи $T^{2} \times M_{0}^{2}$, но не вблизи $T^{3} \times M_{i}^{1}$.

Аналогичным образом можно рассматривать критические потоки и при более высокой размерности пространства управляющих параметров. Остается открытым вопрос о том, можно ли таким методом получить все критические потоки, или, точнее, будут ли критические потоки, полученные в результате указанного процесса построения, структурно устойчивыми к возмущениям. По-видимому, при $n>4$ это не так [10].