Использование такого важного средства, как общая нелинейная замена переменных (3.1), позволило нам дать точные определения эквивалентности (качественной подобности) двух функций, предложить конструктивные доказательства теоремы о неявной функции, леммы Морса и леммы расщепления и определить как ростки, так и возмущения некоторых неморсовских функций. Однако выполняемые при этом вычисления оказались слишком громоздкими.

Можно значительно упростить типы вычисления, проводимые при общей нелинейной замене переменных, применяя инфинитезимальное, а не конечное нелинейное преобразование. Инфинитезимальный вариант (3.1) может быть получен заменой всех находящихся в нашем распоряжении конечных параметров $A$ в разложении (3.2) на соответствующие инфинитезимальные эквиваленты:
\[
\begin{aligned}
x_{i}^{\prime} & =x_{i}+\delta x_{i}, \\
\delta x_{i} & =\delta A_{i}+\delta A_{i j} x_{j}+\delta A_{i, j k} x_{i} x_{k}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Инфинитезимальный аналог преобразований (3.3) может быть получен с помощью очевидных модификаций.

Общее конечное нелинейное координатное преобразование (3.2) может быть получено с помощью достаточно большого числа итераций инфинитезимального преобразования (23.2). Поэтому для решения вопросов, рассмотренных в гл. 3 и 4, могут быть использованы как конечные, так и инфинитезимальные преобразования. Последние позволяют легко и непосредственно получить алгоритмы для вычисления определенности произвольной функции и ее деформации.
$\diamond \diamond \diamond$ Соотношение между конечным (3.2) и инфинитезимальным (23.2) преобразованиями точно такое же, как соотношение между группой Ли и алгеброй Ли [1].