Бифуркационное множество (19.12б) для двумерной динамической системы содержит компоненты, определяемые соотношениями (19.16) и (19.17). В первом случае оба собственных значения действительны и хотя бы одно из них равно нулю. Ограничимся случаем, когда только одно из них равно нулю. Поскольку собственные значения $F$ различны, можно найти систему координат, в которой матрица устойчивости диагональна. Тогда с точностью до главных членов уравнения динамической системы можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\lambda_{1} x+O(2), \quad \lambda_{1}
eq 0, \\
\frac{d y}{d t}=A x^{2}+2 B x y+C y^{2}+O(3) .
\end{array}
\]

Пусть для определенности $\lambda_{1}<0$.
Эту систему можно исследовать методом фазового портрета. Прежде всего оставим только главные члены разложений в правых частях на том основании, что нас интересуют лишь локальные свойства. Вводя новый масштаб по оси $y$ ( $y \rightarrow y / C$, если $C
eq 0$ ), приведем (19.23) к виду
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\lambda_{1} x, \\
\frac{d y}{d t}=\left(y-m_{1} x\right)\left(y-m_{2} x\right),
\end{array}
\]

где коэффициенты $m_{i}$ удовлетворяют уравнению
\[
A C+2 B m+m^{2}=0 .
\]

Если $m_{1}$ и $m_{2}$ действительны и не равны или образуют комплексно сопряженную пару, то состояние системы структурно устойчиво; если $m_{1}=m_{2}$, то состояние системы структурно неустойчиво.

В каждом случае легко определить кривые $d x_{i} / d t=0$ и соответствующие фазовые портреты. Когда $m_{1}$ и $m_{2}$ действительны и различны (рис. 19.12,a), получающийся фазовый портрет напоминает фазовые портреты седла и устойчивого узла (рис. 19.13) при исчезающе малом возмущении. Аналогичная ситуация имеет место при $m_{1}=m_{2}$ (рис. 19.12, б). В случае комплексных собственных значений фазовый портрет по-прежнему напоминает портрет пары седло-узел при исчезающе малом возмущении, отличаясь лишь тем, что в данном случае отсутствует равновесие в начале координат.

Основываясь на материале, изложенном в гл. 4, можно ожидать, что деформация наиболее общего вида для каждого уравнения для $d x_{i} / d t$ будет включать члены, порядок которых не превосходит порядка членов минимальной степени, удерживаемых в структурно неустойчивой системе. Таким образом, систему (19.23) можно было бы деформировать следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\frac{d x}{d t}= & a+\left(\lambda_{1}+\delta F_{11}\right) x+\delta F_{12} y, \\
\frac{d y}{d t}= & b+\delta F_{21} x+\delta F_{22} y+(A+\delta A) x^{2}+ \\
& +2(B+\delta B) x y+(C+\delta C) y^{2},
\end{aligned}
\]

где $a, b, \delta F_{i l}, \delta A, \delta B$ и $\delta C$ достаточно малы. Ясно, что эта деформация слишком сложна и работать с ней неудобно, поэтому попытаемся ее несколько упростить.
1. Поскольку исходная $(2 \times 2)$-матрица $F_{i j}$ имела два различных собственных значения $\lambda_{1}
eq 0$ и $\lambda_{2}=0$, собственные значения возмущенной матрицы $F_{i j}+\delta F_{i j}$ будут действительны и различны: $\lambda_{1}^{\prime} \simeq \lambda_{1}$ и $\lambda_{2}^{\prime}$ — величина первого порядка малости.
2. Поскольку матрица $F_{i j}+\delta F_{i j}$ имеет различные собственные значения, то ее можно привести к диагональному виду с помощью линейного преобразования.
3. Это преобразование лишь незначительно изменяет коэффициенты $A+\delta A, \ldots$ при квадратичных членах. Поэтому параметры $m_{1}$ и $m_{2}$ также мало меняются: $m_{1} \rightarrow m_{1}^{\prime}, m_{2} \rightarrow m_{2}^{\prime}$. В двух структурно устойчивых случаях ( $m_{1}
eq m_{2}$ ) это изменение несущественно.
4. При сдвиге начала координат можно избавиться от $a$, но не от $b$,

Рис. 19.12. Фазовый портрет динамической системы (19.25).
$a-m_{1}>m_{2}>0 ; 6-m_{1}=m_{2}>0 ; \quad$; $m_{1}, m_{2}-$ комплексные числа, Re $m_{1}>0$. Во всех этих ситуациях предельный случай бесконечно удаленного поля напоминает фазовый портрет седло-узла; $s_{1}, s_{2}$ — сепаратрнсы.

Рис. 19.13. Фазовый портрет седлоузла легко строится по известным фазовым портретам седла и узла.

В результате наиболее общая деформация для динамической системы (19.24) при $m_{1}
eq m_{2}$ может быть представлена как
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\lambda_{1} x, \\
\frac{d y}{d t}=b+2 c y+\left(y-m_{1} x\right)\left(y-m_{2} x\right),
\end{array}
\]

где числа $b$ и $c$ малы и могут рассматриваться как управления для данной динамической системы. Критическими точками для деформированной системы являются
\[
\begin{array}{ll}
(x, y)_{c}: & \left(0, y_{1}\right), \\
& \left(0, y_{2}\right),
\end{array}
\]

где ординаты критических точек удовлетворяют уравнению
\[
y^{2}+2 c y+b=0 \text {. }
\]

Рис. 19.14. Зависимость равновесных значений ординаты $y$ от параметра $c$ при трех значениях параметра $b$.
Эти параметры входят в универсальную деформацию (19.28) вырожденной динамической системы (19.25). Свойства устойчивости вдоль каждой ветви можно определить либо локальным линейным анализом устойчивости (например, (19.32)), либо анализом соответствующей равновесной поверхности, показаннэй на рис. 19.15 .

На рис. 19.14 показаны траектории $y_{c}(c)$ для трех значений $b$ ( $b=1,0,-1)$. С помощью стандартного анализа устойчивости можно выяснить свойства динамической устойчивости в каждой из изолированных критических точек. Проделаем это для $b=0$. В этом случае две критические точки имеют следующие координаты:
\[
\begin{array}{ll}
\text { 1. }\left(x_{1}=0,\right. & \left.y_{1}=0\right), \\
\text { 2. }\left(x_{2}=0,\right. & \left.y_{2}=-2 c\right) .
\end{array}
\]

Линеаризованное уравнение движения в критической точке (1) имеет вид
\[
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}
\delta x \\
\delta y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\lambda_{1} & 0 \\
0 & 2 c
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\delta x \\
\delta y
\end{array}\right] \text { для }(x, y)_{c}=(0,0) .
\]

Рис. 19.15. Равновесные значения $y$ для системы (19.28) описывают двумерную поверхность в пространстве $\mathbb{R}^{1} \otimes \mathbb{R}^{2}=(y ; b, c)$.
$b ; c$-два управляющих параметра, входящих в универсальную деформацию (19.25). Точки над кривой складки соответствуют седлам, а под этой кривой — устойчнвым узлам.

Эта критическая точка имеет сигнатуру $(-,-$ при $c<0$ и $(-,+)$ при $c>0$, и, следовательно, она является устойчивым узлом при $c<0$ и седлом при $c>0$. Линеаризованные уравнения движения для другой критической точки имеют вид
\[
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}
\delta x \\
\delta y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\lambda_{1} & 0 \\
2 c\left(m_{1}+m_{2}\right) & -2 c
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\delta x \\
\delta y
\end{array}\right] \text { для }(x, y)_{c}=(0,-2 c) .
\]

Эта изолированная критическая точка является устойчивым узлом (,— ) при $c>0$ и седлом $(-,+$ ) при $c<0$. Ее сигнатуры показаны на рис. $19.14(b=0)$. Из рис. 19.14 следует, что если $b=0$, то при прохождении $c$ через нуль имеет место обмен устойчивостью между этими двумя критическими точками в тот момент, когда они «проходят одно сквозь другое».

Аналогично можно определить свойства динамической устойчивости изолированных критических точек в случаях $b<0$ и $b>0$. Однако в этом нет необходимости, поскольку достаточно понять, что указанные три множества кривых, показанные на рис. 19.14, представляют собой сечения ( $b=$ const) двумерной поверхности (19.29), изображенной на рис. 19.15. В точках с вертикальной касательной на этой поверхности происходит обмен устойчивостью между критическими точками. Поэтому достаточно определить тип устойчивости хотя бы одной точки на верхнем или нижнем листах этой сложной поверхности. Последнее уже было выполнено в (19.31) и (19.32). Следовательно, все критические точки $\left(x_{c}, y_{c}\right)=\left(0, y_{c}\right)$ при $y_{c}$, лежащем на нижнем

Рис 19.16. Морсификация дважды вырожденной критической точки динамической системы (в центре) может привести либо к двум изолированным критическим точкам (слева), либо к исчезновению всех критических точек (справа).
Эта система аналогична катастрофе складкі для градиентных систем.
листе, являются устойчивыми узлами, а при $y_{c}$, лежащем на верхнем листе, — седлами.
$\diamond \diamond \diamond$ Рис. 19.14 можно «интерпретировать» в терминах фейнмановской диаграммы рассеяния частиц:
— при $b<0$ происходит «мягкое» соударение двух «частиц» во «времени» c. Частицами являются критические точки, а соударение мягкое, поскольку пронсходит под малым углом;
— при $b=0$ имеет место «обмен зарядами», соответствующий обмену устойчивостью;
— при $b>0$ происходит жесткое рассеяние, которое можно рассматривать как взаимное уничтожение пары частиц с последующим рождением новой пгры.

В $k$-параметрическом семействе двумерной динамической системы вырожденная критическая точка типа седло-узел может встретиться при структурно устойчивом режиме, если $k \geqslant$ $\geqslant 1$. Морсификация такой дважды (т. е. кратности 2) вырожденной критической точки приводит к динамической системе, в которой либо нет критических точек, либо есть две изолированные критические точки вблизи начала координат (рис. 19.16). Такая морсификация аналогична катастрофе складки для градиентных систем. При $k \geqslant 2$ эту вырожденную критическую точку можно морсифицировать по пути в пространстве управляющих параметров $b-c$ при $b=0$. Такой путь, приводящий к обмену устойчивостью, невозможно построить структурно устойчивым образом для динамических систем с $k<2$.