Рассмотренные качественные (топологические) методы дают большой объем полезной информации о градиентной (и динамической) системе ценой сэавнительно небольших усилий. Этим обстоятельством объясняется столь интенсивное развитие топологии (у истоков которой стоял Пуанкаре) как нового раздела математики.

Ниже описываются основные этапы процесса исследования градиентной системы, зависящей от внешних управляющих параметров.
1. Для фиксированных значений управляющих параметров $c$ вначале определяют все равновесные состояния (из условия $
abla V=0$ ), а затем типы устойчивости и главные оси для каждого равновесного состояния. Полученная информация может быть использована в качестве каркаса для построения фазового портрета системы во всем фазовом пространстве (пространстве состояний). Пользуясь методикой, описанной в гл. 5, можно также найти сепаратрисы и области притяжения.
2. При изменении управляющих параметров изменяются положения равновесных состояний так же, как и точки и области притяжения и сепаратрисы. Если, однако, $\operatorname{det} V_{i j}=0$ вдоль каждого равновесия, то качественно этот фазовый портрет остается неизменным. Появление вырожденной критической точки вносит качественные изменения в фазовый портрет системы, и наоборот. Если на некоторой критической ветви $x^{i}(c)$ в точке $c^{0} \operatorname{det} V_{i j}
eq 0$, то в некоторой окрестности точки $\left(x^{0} ; c^{0}\right) \in \mathbb{R}^{n} \otimes$ $\otimes \mathbb{R}^{k}$ должны быть дополнительные критические точки.

Для градиентной динамической системы с одним управляющим параметром $s$ описанный выше алгоритм можно реализовать в виде процедуры, называемой прогонкой. Связь между изменением $\delta s$ управляющего параметра и смещением критической точки дается соотношением (5.2):
\[
V_{i j} \delta x^{j}+V_{i s} \delta s=0 .
\]

Если матрица устойчивости $V_{i j}$ не вырождена, то смещения $\delta x^{j}$ определяются выражением
\[
\delta x^{j}=-\left(V^{-1}\right)^{\prime i} V_{i s} \delta s .
\]

Уравнение (18.30) очень удобно для машинных вычислений. Выбирая шаг $\delta s$ прогонки достаточно малым, можно очень просто «прогнать» систему вдоль критической ветви между вырожденными критическими точками.

Естественно, наиболее интересные явления наблюдаются тогда, когда $V_{i j}$ вырождается и уравнение (18.30) теряет смысл. Тогда в вырожденной критической точке становятся возможными разворот и появление новых ветвей.

Если $\left(x^{0}, s^{0}\right)$ — вырожденная критическая точка, то «плохие» направления в фазовом пространстве легко найти из уравнения
\[
V_{i j} \delta x^{j}=0 \text {. }
\]

А именно собственный вектор $\left(\delta x^{1}, \delta x^{2}, \ldots, \delta x^{n}\right)$ матрицы $V_{i j}$, соответствующий нулевому собственному значению, касателен к исходной ветви в точке возврата или к ответвляющейся новой ветви.

Довольно легко определить, что именно происходит в вырожденной критической точке: разворот $\left(A_{2}\right)$ или бифуркация $\left(A_{3}\right)$. Пусть $(\delta x)^{0}$ — собственный вектор $V_{i /}$ в точке $\left(x^{0}, s^{0}\right)$, соответствующий нулевому собственному значению, и $(\delta x)^{-1}$ изменение координат критической точки при прогонке от $s^{0}-$ — $\delta$ до $s$. Тогда,
— если вектор ( $\delta x)^{-1}$ приблизительно параллелен $(\delta x)^{0}$, то в $\left(x^{0}, s^{0}\right.$ ) имеет место катастрофа $A_{2}$;
— если вектор $(\delta x)^{-1}$ приблизительно перпендикулярен $\left(\delta x^{0}\right)$, то в $\left(x^{0}, s^{0}\right)$ имеет место катастрофа $A_{3}$.

Появление вырожденной критической точки мешает интегрированию «уравнения прогонки» (18.30). Однако поскольку элементарные катастрофы обладают каноническими свойствами (если известен тип катастрофы, происходящей в вырожденной критической точке), то эти свойства можно использовать для продолжения интегрирования «сквозь особенность». Проиллюстрируем, как это можно сделать, на примере катастроф складки и сборки.

Складка. Предположим, что $V(x, s)$ имеет вырожденную критическую точку в $\left(x^{0}, s^{0}\right)$. Эгу точку можно найти экстраполяцией, как показано на рнс. 18.9. Кривизна складки в окрестности критической точки каноническим образом (по закону квадратного корня) зависит от $s$ (рис. $18.9, a$ ), поэтому из зависимости $\left(V^{\prime \prime}\right)^{2}$ от $s$ в окрестности вырожденной критической точки с помощью простой линейной экстраполяции можно получить достаточно хорошую оценку для $s^{0}$. Если $s^{0}$ известно, то через критические точки $x\left(s^{0}-n \delta s\right)(n=1,2, \ldots)$ можно провести параболу, касательную к вертикальной гиперплоскости. Положение ветви после возврата в $s^{0}$ можно найти отражением (рис. 18.9,б). Как только мы «переступим» через критическую точку, можно снова «запустить» уравнение прогонки вдоль критической ветви, не забыв при этом изменить знак шага прогонки $\delta s$.

Сборка. В этом случае собственное значение, обращающееся в нуль, стремится к нулю по линейному закону; поэтому место точки сборки можно найти экстраполяцией, как на рис. 18.10, a. Если точка сборки есть $\left(x^{0}=x\left(s^{0}\right), s^{0}\right)$, то координаты точек на начальной ветви вдали от $s^{0}$ приближенно равны
\[
x\left(s^{0}+i \delta s\right) \simeq x^{0}+\left(x^{0}-x\left(s^{0}-i \delta s\right)\right)
\]
(рис. $18.10,6$ ). Точки на разветвляющейся ветви можно найти следующим образом: отступить назад к $s-\Delta s$ (где $\Delta s$ составляет не менее десяти шагов прогонки) и добавить к потенциальной функции небольшую добавку, исчезающую вне интервала $\left(s_{0}-\Delta s, s_{0}+\Delta s\right)$. Деформация общего вида «испортит» бифуркацию сборки. В результате уравнение прогонки можно проинтегрировать на участке за катастрофой без всяких затруднений и получить разветвляющуюся ветвь на дальнем конце от $s^{0}+\Delta s$.

Итак, симметрично расположенную разветвляющуюся ветвь можно получить:
1. Интегрируя от $s_{0}+\Delta s$ вдоль невозмущенной ветви в направлении отрицательных $s$ и «переступая» через точку сборки;
2. Возвращаясь к $s_{0}-\Delta s$, используя исходное возмущение, взятое с обратным знаком, и прогоняя систему, как ранее;
3. Интегрируя исходное возмушение в направлении отрицательных $s$, начиная с точки $s_{0}+\Delta s$ на центральной ветви;
4. Используя симметрию.
Поведение множества ветвящихся решений становится более интересным, если размерность ядра матрицы устойчивости равна

Рис. 18.9. Прогонка вдоль критической ветви возможна вне ростка катастрофы. Когда определитель матрицы устойчивости становится малым (a), то положение ростка можно найти экстрапсляцией, используя известный вид канонической формы соответствующей катастрофы (б). Для «перешагивания» через росток катастрофы можно воспользоваться сечением канонической катастрофы (в).

Рис. 18.10 .
$a$-для выявления типа катастрофы и ее положения можно воспользоваться связью между собственным значением матрицы и управляющим параметром; б-начальная ветвь сборки может быть продолжена прогтой экстраполяцией за критическую точку, при этом экстраполяция может быть и нелинейной; $\theta$ — ответвляющиеся ветви можно вайти с помощью «теории возмущений» (деформаций), Здесь мы «шагаем» после точки a до точки b (прогонка), где добавляем к потенциалу универсальную деформацию, по-прежнему оставаясь в крититеской точке, правда несколько смещенной, После этой вырожденной критической точки прогонка возобновляется (c, d). В точке е деформация снимается, и система возвращается на отвєтвившуюся ветвь. Далее можно возобновить прогонку либо в том же направлении ( $\mathrm{f}, \ldots$ ), либо в обратном (g, h, i,..), для того чтобы построить новую ветвь. Для обхода точки $\mathrm{h}$ можно использовать обычную процедуру «перешагивания».

двум. Это может иметь место в случае потенциальной функции вида
\[
V(x, y ; s)=k_{1}\left(s_{1}-s\right) x^{2}+k_{2}\left(s_{2}-s\right) y^{2}+x^{4}+y^{4}, k_{1}>0, k_{2}>0 \text {. }
\]

Как показано на рис. 18.11, $a$, при $s_{1}
eq s_{2}$ одиночные бифуркации происходят в четырех точках. При $s_{1} \rightarrow s_{0}, s_{2} \rightarrow s_{0}$ множество ветвящихся решений в $s_{0}$ становится двумерным с че.

Рис. 18.11.
$a$ — критическое множество потенциальной јункции (18.32) содержит четыре катастрофы типа $A_{+3} ; \sigma$ — когда ответвления от магестрали говпадают, все четыре ветви ответвляются из одной точкн; в-в случае симметрии (18.33) бифуркационное множество представляет собой параболоид вращения; $z$ — соответствующая потенциальная функция инвариантна относительно группы $O(2)$.

тырьмя отдельными ветвями, ответвляющимися от «магистрали» при $s=s_{0}$ (рис. 18.11,б). В том случае, когда повышение размерности ядра происходит из-за симметрии, как в случае $k_{1}=k_{2}=k$,
\[
V(x, y ; s)=k\left(s_{0}-s\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2},
\]

множество ветвящихся решений двумерно и представляет собой параболоид вращения (рис. 18.11,8). На этом множестве решений у матрицы устойчивости есть одно нулевое и одно ненулевое собственные значения. В первом случае стационарная точка (в данном случае минимум), соответствующая этой «ветви», нелокальна по своей природе. На рис. 18.11 , г показаны формы потенциальной функции при различных значениях $s$. Вообще говоря, если на функцию наложено условие инвариантности относительно некоторой непрерывной группы, то бифуркационные критические множества по своей природе не совпадают с одним или более нулевыми собственными значениями матрицы устойчивости.