Функция $f(x)$ эквивалентна функции $f^{\prime}(x)$, если существует гладкая замена переменных $x^{\prime}=x^{\prime}(x)$, такая, что
\[
f^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=f(x) .
\]

Если $f$ эквивалентна $f^{\prime}$ и качественное описание поведения $f^{\prime}$ известно, то функция $f$ должна иметь то же самое качественное описание. Поэтому часто бывает полезно найти (если, конечно, это возможно) полином конечной и достаточно небольшой степени, эквивалентный $f$.

Определение. Функцию $f(x)$ назовем р-определенной в нуле, если для любой другой функции $f^{\prime}$ с той же самой р-струей существует гладкая замена переменных, такая, что
\[
f(x)=f^{\prime}\left[x^{\prime}(x)\right] .
\]

Пример 1. Если $f(x)=x$, а $f^{\prime}(x)=\sin x$, то $j^{1} f=x, j^{1} f^{\prime}=x$ и $j^{1} f=j^{1} f^{\prime}$. Осуществляя замену $x^{\prime}=\arcsin x\left(|x|<1,\left|x^{\prime}\right|<\pi / 2\right)$, найдем, что
\[
f^{\prime}\left[x^{\prime}(x)\right]=\sin x^{\prime}=\sin (\arcsin x)=x=f(x) .
\]

Предположим, что $f(x), f^{\prime}(x)$ – две функции, имеющие $f(0)=f^{\prime}(0)=0$ и $j^{1} f
eq 0, j^{1} f^{\prime}
eq 0$. Тогда теорема о неявной функции гарантирует, что $f(x)=f^{\prime}\left[x^{\prime}(x)\right]$, поскольку $f$ и $f$ могут быть преобразованы к одной и той же канонической форме. В действительности всегда может быть найдена такая гладкая и даже линейная замена координат $x^{\prime}=x^{\prime}(x)$, что
\[
j^{1} f^{\prime}\left[x^{\prime}(x)\right]=j^{1} f(x) .
\]
$\diamond \diamond \diamond$ Предположим, что $f(x), f^{\prime}(x)$ – две функции, имеющие $f(0)=f^{\prime}(0)=0$ и $j^{1} f=j^{1} f^{\prime}=0$ но $j^{2} f$ и $j^{2} f^{\prime}$ отличны от нуля и неособенны. Тогда, если $j^{2} f$ и $j^{2} f^{\prime}$ имеют одинаковый индекс или сигнатуру (их квадратичные формы имеют одинаковое количество положительных и отрицательных собственных значений), то лемма Морса гарантирует, что $f$ и $f^{\prime}$ могут быть преобразованы друг в друга путем гладкой замены координат, поскольку они эквивалентны одной и той же канонической форме. В действительности всегда можно найти такую линейную замену координат $x^{\prime}=x^{\prime}(x)$, что
\[
j^{2} f^{\prime}\left[x^{\prime}(x)\right]=j^{2} f(x) .
\]

Предположим, что функция $f(x)$ является $p$-определенной. Если
\[
j^{p} f(x)=j^{p} f^{\prime}(x)
\]

то
\[
f(x)=i^{\prime}\left[x^{\prime}(x)\right] \text {. }
\]

В частности, одной из функций $f^{\prime}(x)$, p-струя которых равна $j^{p} f$, является полином $j^{p} f$ степени $p$. Поэтому, если $f^{\prime}=j^{p} f$, то, согласно формуле (23.8б), $f(x)$ эквивалентна полиному степени $p$. Именно по этой причине утверждение «усечение разложения в ряд Тейлора» эквивалентно утверждению «преобразование удаляет хвост ряда Тейлора».

$\diamond \diamond \diamond$ В терминах определенности проблема нахождения канонических форм (гл. 2) сводится к проблеме определения классов функций, которые являются конечно определенными при
1. $p=1(2.1)$;
2. $p=2(2.2)$;
3. $p \geqslant 3(2.3)$ и (2.4).
$\diamond \diamond \diamond \mathrm{He}$ всякая функция является $p$-определенной для некоторого конечного $p$. Очевидно, что функция $e^{-1 / \bar{x}^{2}}(21.4)$ не может быть конечно определенной в нуле, так как все коэффициенты ее ряда Тейлора равны нулю. Простые аналитические функции также не обязательно являются конечно определенными. Например, функция $f(x, y)=x^{2} y$ не является конечно определенной. Это наиболее легко увидеть, рассматривая изменение $x^{2} y$, вызываемое возмущением вида ( $y$ в достаточно большой степени):
\[
\begin{array}{l}
f(x, y)=x^{2} y \\
g(x, y)=x^{2} y+y^{10^{6}}, \\
h(x, y)=x^{2} y+y^{10^{6}+1} .
\end{array}
\]

Эти три функции имеют одинаковые $p$-струи ( $p<10^{6}$ ), однако структура их корней совершенно различна (рис. 23.1). Следовательно, эти три функции качєственно различны.

Мы уже отмечали, что ответ на вопрос: «Является ли функция $f(x)$ эквивалентной некоторому полиному $f^{\prime}(x)$ степени p?»- есть не что иное, как ответ на вопрос: «Какой класс функций эквивалентен полиному $f^{\prime}(x)=j^{p} f(x)$ ?» Оба эти вопроса

Рис. 23.1. Функция $x^{2} y$ не является конечно определенной. Структура корней ( $x^{2} y+$ возмущение), где возмущение имеет вид $y$ в достаточно большой степени, существенно зависит от того, язляется ли степень четной или нечетной.

являются эквивалентными, так как любое гладкое невырожденное нелинейное преобразование $x^{\prime}=x^{\prime}(x)$ может быть обращено $x=x\left(x^{\prime}\right)$ в соответствии с теоремой о неявной функции. Поэтому математически эти два вопроса можно записать так:
\[
\begin{array}{c}
f^{\prime}\left(x^{\prime}\right) \stackrel{?}{=} f\left[x\left(x^{\prime}\right)\right], \\
f(x) \stackrel{?}{=} f^{\prime}\left[x^{\prime}(x)\right] .
\end{array}
\]

Покажем на конкретном примере, что с формулой (23.10б) работать значительно легче, особенно если использовать инфинитезимальное нелинейное преобразование (23.2).

Пример 2. Определить, какой класс функций двух переменных $f(x, y)$ эквивалентен ростку $E_{6}: f^{\prime}(x, y)=x^{3}+y^{4}$, приведенному в последней строке табл. 2.2.

Решение. Работая с формулой (23.10б), используем инфинитезимальные выражения $x^{\prime}=x+\delta x, y^{\prime}=y+\delta y$, приведенные в (23.2), и функцию $f^{\prime}$, заданную выше:
\[
f^{\prime}\left[x^{\prime}, y^{\prime}\right]=(x+\delta x)^{3}+(y+\delta y)^{4}=\left(x^{3}+y^{4}\right)+3 x^{2} \delta x+4 y^{3} \delta y+O(2) .
\]

Функция $f(x, y)$ отличается от ростка $\left(x^{3}+y^{4}\right)$ лишь дополнительными членами, которые появились в (23.11). Члены второй степени и выше от инфинитезимальных величин $\delta x$, бy могут быть отброшены. Так как нас интересует только качественный характер поведения функции $f(x, y)$ в точке, то можно использовать лишь однородные нелинейные инфинитезимальные преобразования, имеющие $\delta A_{i}=0$ в (23.2). Инфинитезимальные члены первой степени, которые появляются при коррекции ростка $\left(x^{3}+y^{4}\right)$ в формуле (23.11), – это в точности те члены, которые расположены в тени на диаграмме

Члены в тени, отбрасываемой элементом $x^{2}$, происходят от члена $3 x^{2} \delta x$ из формулы (23.11) в предположении $\delta A_{1}=0$. Члены же в тени, отбрасываемой элементом $y^{3}$, происходят от члена $4 y^{3} \delta y=(\partial f / \partial y) \delta y$ в предположении $\delta A_{2}=0$.

Коэффициенты всех лежащих в тени одночленов (23.12) являются инфинитезимальными величинами первого порядка. Довольно часто эти коэффициенты могут быть сделаны конечными и произвольными $[1,3]$ посредством итераций однородными нелинейными преобразованиями (23.2). Следовательно, класс функций $f(x, y)$, эквивалентных ростку катастрофы $E_{6}: f^{\prime}(x, y)=x^{3}+$ $+y^{4}$, имеет вид
\[
f(x, y)=A_{30} x^{3}+A_{31} x^{2} y+\sum_{p+q \geqslant 4} A_{p q} x^{p} y^{q},
\]

причем $A_{30} \leqslant 0, A_{04}
eq 0$.