Главная > ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ. ТОМ-2 (Р.ГИЛМОР)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Функция f(x) эквивалентна функции f(x), если существует гладкая замена переменных x=x(x), такая, что
f(x)=f(x).

Если f эквивалентна f и качественное описание поведения f известно, то функция f должна иметь то же самое качественное описание. Поэтому часто бывает полезно найти (если, конечно, это возможно) полином конечной и достаточно небольшой степени, эквивалентный f.

Определение. Функцию f(x) назовем р-определенной в нуле, если для любой другой функции f с той же самой р-струей существует гладкая замена переменных, такая, что
f(x)=f[x(x)].

Пример 1. Если f(x)=x, а f(x)=sinx, то j1f=x,j1f=x и j1f=j1f. Осуществляя замену x=arcsinx(|x|<1,|x|<π/2), найдем, что
f[x(x)]=sinx=sin(arcsinx)=x=f(x).

Предположим, что f(x),f(x) — две функции, имеющие f(0)=f(0)=0 и j1feq0,j1feq0. Тогда теорема о неявной функции гарантирует, что f(x)=f[x(x)], поскольку f и f могут быть преобразованы к одной и той же канонической форме. В действительности всегда может быть найдена такая гладкая и даже линейная замена координат x=x(x), что
j1f[x(x)]=j1f(x).
Предположим, что f(x),f(x) — две функции, имеющие f(0)=f(0)=0 и j1f=j1f=0 но j2f и j2f отличны от нуля и неособенны. Тогда, если j2f и j2f имеют одинаковый индекс или сигнатуру (их квадратичные формы имеют одинаковое количество положительных и отрицательных собственных значений), то лемма Морса гарантирует, что f и f могут быть преобразованы друг в друга путем гладкой замены координат, поскольку они эквивалентны одной и той же канонической форме. В действительности всегда можно найти такую линейную замену координат x=x(x), что
j2f[x(x)]=j2f(x).

Предположим, что функция f(x) является p-определенной. Если
jpf(x)=jpf(x)

то
f(x)=i[x(x)]

В частности, одной из функций f(x), p-струя которых равна jpf, является полином jpf степени p. Поэтому, если f=jpf, то, согласно формуле (23.8б), f(x) эквивалентна полиному степени p. Именно по этой причине утверждение «усечение разложения в ряд Тейлора» эквивалентно утверждению «преобразование удаляет хвост ряда Тейлора».

В терминах определенности проблема нахождения канонических форм (гл. 2) сводится к проблеме определения классов функций, которые являются конечно определенными при
1. p=1(2.1);
2. p=2(2.2);
3. p3(2.3) и (2.4).
He всякая функция является p-определенной для некоторого конечного p. Очевидно, что функция e1/x¯2(21.4) не может быть конечно определенной в нуле, так как все коэффициенты ее ряда Тейлора равны нулю. Простые аналитические функции также не обязательно являются конечно определенными. Например, функция f(x,y)=x2y не является конечно определенной. Это наиболее легко увидеть, рассматривая изменение x2y, вызываемое возмущением вида ( y в достаточно большой степени):
f(x,y)=x2yg(x,y)=x2y+y106,h(x,y)=x2y+y106+1.

Эти три функции имеют одинаковые p-струи ( p<106 ), однако структура их корней совершенно различна (рис. 23.1). Следовательно, эти три функции качєственно различны.

Мы уже отмечали, что ответ на вопрос: «Является ли функция f(x) эквивалентной некоторому полиному f(x) степени p?»- есть не что иное, как ответ на вопрос: «Какой класс функций эквивалентен полиному f(x)=jpf(x) ?» Оба эти вопроса

Рис. 23.1. Функция x2y не является конечно определенной. Структура корней ( x2y+ возмущение), где возмущение имеет вид y в достаточно большой степени, существенно зависит от того, язляется ли степень четной или нечетной.

являются эквивалентными, так как любое гладкое невырожденное нелинейное преобразование x=x(x) может быть обращено x=x(x) в соответствии с теоремой о неявной функции. Поэтому математически эти два вопроса можно записать так:
f(x)=?f[x(x)],f(x)=?f[x(x)].

Покажем на конкретном примере, что с формулой (23.10б) работать значительно легче, особенно если использовать инфинитезимальное нелинейное преобразование (23.2).

Пример 2. Определить, какой класс функций двух переменных f(x,y) эквивалентен ростку E6:f(x,y)=x3+y4, приведенному в последней строке табл. 2.2.

Решение. Работая с формулой (23.10б), используем инфинитезимальные выражения x=x+δx,y=y+δy, приведенные в (23.2), и функцию f, заданную выше:
f[x,y]=(x+δx)3+(y+δy)4=(x3+y4)+3x2δx+4y3δy+O(2).

Функция f(x,y) отличается от ростка (x3+y4) лишь дополнительными членами, которые появились в (23.11). Члены второй степени и выше от инфинитезимальных величин δx, бy могут быть отброшены. Так как нас интересует только качественный характер поведения функции f(x,y) в точке, то можно использовать лишь однородные нелинейные инфинитезимальные преобразования, имеющие δAi=0 в (23.2). Инфинитезимальные члены первой степени, которые появляются при коррекции ростка (x3+y4) в формуле (23.11), — это в точности те члены, которые расположены в тени на диаграмме

Члены в тени, отбрасываемой элементом x2, происходят от члена 3x2δx из формулы (23.11) в предположении δA1=0. Члены же в тени, отбрасываемой элементом y3, происходят от члена 4y3δy=(f/y)δy в предположении δA2=0.

Коэффициенты всех лежащих в тени одночленов (23.12) являются инфинитезимальными величинами первого порядка. Довольно часто эти коэффициенты могут быть сделаны конечными и произвольными [1,3] посредством итераций однородными нелинейными преобразованиями (23.2). Следовательно, класс функций f(x,y), эквивалентных ростку катастрофы E6:f(x,y)=x3+ +y4, имеет вид
f(x,y)=A30x3+A31x2y+p+q4Apqxpyq,

причем A300,A04eq0.

1
Оглавление
email@scask.ru