До сих пор все наши усилия были направлены на изучение статических свойств класса гамильтонианов, введенных в разд. 3 . При изучении статических свойств $\left(E_{g} / N, F(\beta) / N\right)$ мы воспользовались некоторым вариационным піринципом. Динамические уравнения движения также можно получить, исходя из некоторого вариационного принципа, предусматривающего «минимизацию» интеграла действия
\[
\mathscr{P}=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathscr{L}(q, \dot{q}, t) d t .
\]

Из этого вариационного принципа выводятся уравнения движения Эйлера — Лагранжа:
\[
-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_{i}}=0 .
\]

Для получения системы квантоводинамических уравнений движения можно использовать следующий лагранжиан [18]:
\[
\mathscr{L}(q, \dot{q}, t)=\left\langle\Psi\left|i \frac{\partial}{\partial t}-H\right| \Psi\right\rangle .
\]

Обобщенные координаты, входящие в $\mathscr{L}$, являются координатами, параметризующими класс пробных состояний $|\Psi\rangle$, используемых в этой вариационной формулировке.

Для рассматриваемых гамильтонианов (модель МГЛ) средние значения $\langle\Psi|\mathscr{H}| \Psi\rangle$ уже были получены. Остается вычислить среднее для $i \partial / \partial t$. Проще всего это можно сделать, заметив, что состояние системы из $N$ частиц описывается произведением индивидуальных волновых функций
\[
|\Psi\rangle=\prod_{a=1}^{N}\left|\psi_{a}\right\rangle \cdot
\]

Среднее от $i \partial / \partial t$ для отдельной частицы с волновой функцией
\[
\left|\psi_{\alpha}\right\rangle=\operatorname{col}\left[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{r}\right]
\]

определяется как
\[
\left\langle\psi_{\alpha}\left|i \frac{\partial}{\partial t}\right| \psi_{\alpha}\right\rangle=i \sum_{j=1}^{r} z_{j}^{*} \dot{z}_{j}=\frac{i}{2} \sum_{j=2}^{r} z_{j}^{*} \dot{z}_{j}-z_{j} \dot{z}_{j}^{*} .
\]

Последнее равенство было получено с учетом условия нормировки:
\[
\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+\ldots+\left|z_{r}\right|^{2}=1 .
\]

Если все индивидуальные волновые функции одинаковы, среднее $i \partial / \partial t$ для системы из $N$ частиц просто в $N$ раз больше индивидуального среднего значения. Тогда усредненный лагранжиан принимает вид
\[
l(z, \dot{z}, t)=\frac{\mathscr{L}}{N}=\frac{i}{2} \sum_{j=2}^{r} z_{j}^{*} \dot{z}_{j}-z_{j} \dot{z}_{j}^{*}-h_{C}\left(z^{*}, z\right) .
\]

Уравнения движения определяются из соотношений
\[
\frac{1}{N} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{z}_{j}}=\frac{i}{2} z_{j}^{*}, \quad \frac{1}{N} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial z_{j}}=-\frac{i}{2} \dot{z}_{j}^{*}-\frac{\partial h_{C}}{\partial z_{j}}
\]

и имеют вид
\[
i \dot{z}_{j}^{*}=-\frac{\partial h_{C}}{\partial z_{j}}, \quad-i \dot{z}_{j}=-\frac{\partial h_{C}}{\partial z_{j}^{*}} .
\]

Чтобы выяснить, что означают эти уравнения и как их следует интерпретировать, перейдем к декартовой системе координат $z_{j}=\left(p_{j}-i q_{j}\right) / \sqrt{2}$. В этой системе координат уравнения движения Эйлера — Лагранжа принимают каноническую гамильтонову форму с $h_{C}$, выступающей в роли классического гамильтониана:
\[
\dot{p}_{j}=-\frac{\partial h_{C}}{\partial q_{j}}, \quad q_{j}=+\frac{\partial h_{C}}{\partial p_{j}}, \quad 2 \leqslant j \leqslant r .
\]

Итак, удалось идентифицировать квантоводинамические уравнения движения с каноническими уравнениями движения для классической системы. Следовательно, для описания и интерпретации. этих квантовомеханических уравнений движения можно воспользоваться всем аппаратом классической механики. В частности, гамильтоново движение консервативно. Это значит, что уравнения движения определяют траектории, лежащие на поверхности $h_{c}=E$. Для $r$-уровневых систем $h_{c}$ есть функция от $2(r-1)$ переменных, поэтому $h_{c}$ является $2(r-1)$-мерной поверхностью в $\mathbb{R}^{2(r-1)+1}$. Гиперплоскость $E=$ const в $\mathbb{R}^{2 r-1}$ имеет размерность $2(r-1)$. Пересечение (если оно есть) этих двух многообразий в $\mathbb{R}^{2 r-1}$ имеет размерность $2 r-3$. Для двухуровневой системы такое пересечение одномерно и поэтому полностью определяет топологические свойства орбит.

Поскольку гамильтоновы системы консервативны, возникает вопрос о том, а не появляются ли признаки катастроф (гл. 9) при фазовых переходах. Ответ на этот вопрос утвердительный, и мы это продемонстрируем на примере модели МГЛ. Будем рассматривать траектории с фиксированной энергией, превосходящей на $\delta$ основной энергетический уровень. Классический предел $h_{Q}$ есть
\[
\begin{array}{c}
\left\langle h_{Q}\right\rangle=\frac{1}{2}(\varepsilon+V) p^{2}-\frac{1}{4} V p^{4}+ \\
+\frac{1}{2}(\varepsilon-V) q^{2}+\frac{1}{4} V q^{4} .
\end{array}
\]

Если $|V|<\varepsilon$, то глобальный минимум находится в точке $(p, q)=(0,0)$. Кривье $\left\langle h_{Q}\right\rangle=\delta$ имеют форму эллипсов, которые становятся все более вытянутыми по мере приближения $|V|$ к $\varepsilon$. Как только $|V|$ превзойдет $\varepsilon$, в $\varepsilon$ Как только $|V|$ превзойдет $\varepsilon$, в ение $E_{g} / N$ изменится от нуля до $E_{g} / N=$
Рис. 15.7. Траектории нестационарных орбит Хартри Фока (в пространстве параметров порядка) с энергией возбуждения, превышающей на величину $\delta$ энергию основного состояния.
Траектории проходят стадию критического удлинения, за которой при определенном увеличении силы взаимодействия следует деление, э. е. нмеет меса. основном состоянии значение $E_{g} / N$ изменится от нуля до $E_{2}$ $=-(|V|-5)^{2} / 4|V|$. Кривые, определяемые уравнением
\[
\left\langle h_{Q}\right\rangle=-\frac{(|V|-\varepsilon)^{2}}{4|V|}+\delta,
\]

все сильнее поджимаются к началу координат по мере возрастания $|V|$. В конце концов разность между значениями энергии в седловой точке и в двух точках глобального минимума становится равной $\delta$. В этот момент траектория принимает форму восьмерки. При дальнейшем увеличении сил взаимодействия орбиты разрываются, и в результате вокруг каждого из двух минимумов остается замкнутая, почти круговая орбита. Подобное качественное изменение траектории при фазовом переходе второго рода показано на рис. 15.7 .

Такое вытягивание орбиты, ее сжатие и наконец распад на две при фазовых переходах второго рода в случае консервативной динамической системы называют критическим удлинением. Для консервативных динамических систем это один из симптомов наличия катастрофы, который можно рассматривать как признак катастрофы в диссипативных градиентных динамических системах.

В заключение отметим, что консервативные и диссипативные динамические системы различаются «поворотом на $90^{\circ}$ ». Если $\mathscr{\mathscr { L }}=\langle i(\partial / \partial t)-\mathscr{H}\rangle-$ лагранжиан консервативной системы, то можно ожидать, что $\mathrm{Ly}=\langle \pm(\partial / \partial t)-\mathscr{H}\rangle$ будет функцией Ляпунова для соответствующей диссипативной системы. Выбирая отрицательный знак $\left(i(\partial / \partial t) \rightarrow e^{i \pi / 2} i(\partial / \partial t)\right)$, получаем динамическую систему уравнений движения
\[
\dot{p}_{j}=-\frac{\partial h_{C}}{\partial p_{j}}, \quad \dot{q}_{j}=-\frac{\partial h_{C}}{\partial q_{I}} .
\]

Интегрируя градиентную систему уравнений, выведенную из функции Ляпунова, можно псстроить классическую функцию $h_{Q}\left(\left\langle E_{i j} / N\right\rangle\right)$ для сложных гамильтонианов $h_{Q}\left(E_{i j} / N\right)$ и найти ее локальные минимумы. После определения точек локального минимума можно установить форму траекторий в окрестности этих минимумов, проинтегрировав гамильтоновы уравнения движения. Для диссипативных траекэорий, определяемых из функции Ляпунова, остаются в силе все обычные признаки катастрофы. Кроме того, эти траектории ортогональны траекториям движения диссипативных систем, получаемым из функции Лагранжа. Из ортогональности следует пошаговый спуск, а также тот факт, что для каждого признака катастрофы, появляющегося на траектории градиентной динамической системы, существует соответствующий (двойственный) признак катастрофы для консервативных систем.