Рассмотренный принцип построения оказался полезным при конструировании двумерных критических точек и потоков по данным о более простых одномерных критических точках и может быть развит для решения задач построения картины трехмерного критического поведения на основании перечня двумерных критических структур. Такое развитие метода можно осуществить при помощи процедуры, показанной на рис. 20.2. На рис. 20.9 к устойчивой изолированной морсовской критической

Рис. 20.9.
Путем добавления члена внда $+z^{2},-z^{2}, z$ к устойчивой морсовской критическои точке $M_{0}^{2}$ получаются изолированные критические точки $M_{0}^{3}(a), M_{1}^{3}$ (б) и устойчивый предельныв цикл $T^{1} \times M_{0}^{2}(\theta)$.

Рис. 20.10.
Исходя из морсовского седла $M_{1}^{2}$ и поступая обычным образом (см. рис. 20.9), получаем изолированные критические точки $M_{1}^{3}(a), M_{2}^{3}$ (б) и неустойчивый предельный цикл $T^{1} \times M_{1}^{2}($ s $)$.

точке $M_{0}^{2}$ добавлены члены вида $+z^{2},-z^{2}, z$. Полученная в результате картина критического поведения включает изолированный морсовский минимум $M_{0}^{3}$, изолированное морсовское 1 -седло $M_{1}^{3}$ и замыкающий поток на себя устойчивый предельный цикл $T^{1} \times M_{0}^{2}$. Это построение повторено на рис. 20.10 и 20.11 . Картина структурно устойчивого двумерного потока может быть вновь расширена путем добавления членов $+z^{2},-z^{2}, z$ (рис. 20.12 и 20.13). В построении, показанном на рис. 20.12, мы начинаем с устойчивого двумерного фокуса $F_{-}^{2}$ и строим соответственно устойчивый фокус $F_{-}^{2} \times M_{0}^{1}$, неустойчивый фокус $F_{-}^{2} \times M_{1}^{1}$ и, замыкая поток на себя через фокус, устойчивую предельную спираль $\mathrm{Sc}_{-}=F_{-}^{2} \times T^{1}$. В построении, показанном на рис. 20.13, мы начинаем с неустойчивого двумерного фокуса $F_{+}^{2}$ и строим $F_{+}^{2} \times M_{0}^{1}, F_{+}^{2} \times M_{1}^{1}, F_{+}^{2} \times T^{1}$.

Рис. 20.11.
Исходя из неустойчнвости критической точки $M_{2}^{2}$ и поступая обычным образом, получаем изолированные критические точки $M_{2}^{3}(a), M_{3}^{3}$ (б) и неустойчивый предельный цикл $T^{1} \times M_{2}^{2}($ ().

Аналогичным образом можно рассмотреть устойчивые и неустойчивые предельные циклы. Спектр структур, получающихся из неустойчивого предельного цикла $T^{1} \times M_{0}^{1}$, показан на рис. 20.14, а из цикла $T^{1} \times M_{1}^{1}-$ на рис. 20.15. Предельные циклы $T^{1} \times M_{i}^{2} \in \mathbb{R}^{3}, i=0,1,2$, были получены ранее. Новыми структурами являются устойчивый $\left(T^{2} \times M_{0}^{1}\right)$ и неустойчивый $\left(T^{2} \times M_{1}^{1}\right)$ торы.

Описание динамических систем, идеализированные потоки для которых представлены на рис. 20.9-20.15, можно легко получить в случае трех существенно различных временных масштабов. Рассмотрим, например, поток $F_{-}^{2} \times M_{0}^{1}$, для которого скорость вращения $\omega$ вокруг оси $z$ намного превышает радиальную составляющую релаксационной скорости $\gamma_{r}$ или ее составляющую $\gamma_{z}$ по оси $z$. Если $\gamma_{r} \gg \gamma_{z}$, то поток напоминает смерч

Рис. 20.12.
Исходя из устойчивого фокуса $F_{-2}^{2}$ и поступая обычным образом, получаем устойчивые и неустойчивые потоки типа $F_{-}^{2} \times M_{0}^{1}(a), F_{-}^{2} \times M_{1}^{2}$ (б) вблизи изолированных критических точек и устойчивую предельную спираль $F_{-}^{2} \times T^{1}=\mathrm{Sc}_{-}$(в).
(рис. 20.16,a); если же $\gamma_{r} \gg \gamma_{z}$, то поток как бы располагается на поверхности параболоида (рис. 20.16,б). Предположим, что для потока типа $F_{-}^{2} \times M_{1}^{1}$ временной масштаб вращательного движения намного больше, чем радиального, который в свою очередь значительно превышает временной масштаб движения по оси $z$. Тогда состояние системы будет изменяться почти по круговой траектории вокруг фокуса, причем радиус орбиты будет уменьшаться, а движение будет происходить все время вблизи плоскости $z=0$. Когда радиус граектории станет очень малым, то в результате отталкивания состояние системы будет изменяться вдоль оси $z$ в положительном или отрицательном направлении в зависимости от того, где происходило движение выше или ниже плоскости $z=0$, причем положение системы в плоскости $z=0$ является неустойчивым (рис. 20.16, в). Предельное винтовое движение также может быть легко описано в случае трех различных временных масштабов.

Аттрактор, представленный устойчивым тором, несколько отличен от других притягивающих множеств. Множество предель-

Рис. 20.13.
Исходя из неустойчнвого фокуса $F_{+}^{2}$ и поступая обычным образом, получаем неустойчивые потоки $F_{+}^{2} \times M_{0}^{1}(a), F_{+}^{2} \times M_{1}^{1}$ (б) вблизи изолированной критической точки и неустойчивую предельную спираль $F_{+}^{2} \times T^{1}=\mathrm{Sc}_{+}$(в).

ных точек, связанных со всеми остальными устойчивыми потоками, образует нульмерные или одномерные множества. Система, первоначально находившаяся в изолированной критической точке, останется в этой точке; система, первоначально находившаяся в одномерном предельном мнсжестве, будет блуждать вокруг этого предельного множества, проходя через каждую его точку. Однако все это перестает быть справедливым для предельных торов. Эти множества двумерны. Динамическая система, первоначально находившаяся в точке, принадлежащей устойчивому или неустойчивому тору, будет оставаться на двумерном торе, однако не будет проходить через все точки тора. Грубо говоря, динамическая система будет пересекать принадлежащее тору множество меры нуль или единица в зависимости от того, рациснальным или иррациональным числом выражается отношение скоростей вращения в обоих направлениях.

Теперь выясним, почему предельный цикл в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ неустойчив к возмущениям. Предположим, что предельный цикл

Рис. 20.14.
Исходя из устойчнвого предельного цикла $T^{1} \times M_{0}^{1}$ и поступая обычным образом, получаем потоки: $T^{1} \times M_{0}^{2}$ — устойчныи (a), $T^{1} \times M_{1}^{2}$ — неустойчивый (б) и $T^{2} \times M_{0}^{1}-$ устойчивый (в). Ни одно из соответствуюдих критических множеств не является критической точкой.
«наматывается» на устойчивый тор $T^{2} \times M_{0}^{1}$ с рациональными частотами $\omega_{1}, \omega_{2}$ (пусть для определенности $\omega_{1}=1, \omega_{2}=1$ ). При действии возмущения $\omega_{1}=1, \omega_{2} \rightarrow \omega_{2}^{\prime}=\pi / 3$ возмущенная траектория никогда не замкнется на себя. Следовательно, предельные циклы структурно устойчивы к возмущениям в $\mathbb{R}^{n}$, $n \geqslant 2$, возникающим на инвариантном торе $T^{k}$ при $k=1$, и структурно неустойчивы к возмущениям, возникающим на инвариантном торе $T^{k}$ при $1<k \leqslant n-1$.
$\diamond \diamond \diamond$ Возникает вопрос: является ли сама инвариантная поверхность $T^{2}$ структурно устойчивой? Эта поверхность называется инвариантной потому, что любая ее точка будет отображаться в другую точку этой же поверхности в силу уравнений движения

Рис. 20.15.
Исходя из неустойчивого предельного цикла $T^{1} \times M_{1}^{1}$ и поступая обычным образом, получаем нелокальные предельные множества типа $T^{1} \times M_{1}^{2}(a), T^{1} \times M_{2}^{2}(6)$ и $T^{2} \times M^{1}($ (в), ни одно из которых не является устойчивым.

Рис. 20.16. Качественный характер потока в окрестности критической точки типа $F_{-}^{2} \times M_{0}^{1}$ в зависимости от постоянных демпфирования.
$a-\gamma_{r} \gg \gamma_{z} ; \sigma-\gamma_{r} \ll \gamma_{z} \theta-$ характер потока в случае неустойчивой критической точки типа $F_{-}^{2} \times M_{1}^{1}$ при $\omega \gg \gamma_{r} \gg \gamma_{z}$.

динамической системы. В результате получаем, что поверхность $T^{2} \subset \mathbb{R}^{3}$ структурно устойчива. Разумеется, торы более высокой размерности становятся менее «жесткими», поэтому возможно достижение некоторой размерности $n$, при которой инвариантный тор $T^{n-1} \subset \mathbb{R}^{n}$ уже не будет структурно устойчивым. Такая возможность возникает при $n-1=4$.

Итак, мы встретились с новым свойством, присущим некоторым аттракторам динамических систем размерности $n \geqslant 3$. Причину этого понять нетрудно. Предельные множества аттракторов являются множествами размерности $0,1,2, \ldots, n-1$ и мерой нуль в $R^{n}$. Траектории динамической системы одномерны. Только в случае $\max (0,1, \ldots, n-1)$ траектория динамической системы может пройти через каждую точку инвариантной поверхности. С увеличением размерности инвариантные поверхности становятся все более «пористыми» по отношению к действительным траекториям.

В семействах трехмерных динамических систем, зависящих от параметров, могут естественным образом возникать определенные буфуркации и изменения. Подобного рода бифуркации для трехмерных динамических систем часто удается получить из соответствующих бифуркаций в основной двумерной динамической системе. Если, например, два собственных значения, связанных с изолированной точкой типа $M_{i}^{3}$ или одномерным потоком типа $T^{1} \times M_{i}^{2}$, становятся равными, произойдет соответствующее изменение поведения от «радиального» к «спиральному». В этом смысле критическое множество $M_{i}^{3}$ «расположено вблизи» потока $\quad F_{-}^{2} \times M_{i}^{1} \quad(i=0,1), \quad M_{i}^{3}$ — вблизи $F_{+}^{2} \times M_{i-2}^{1} \quad(i=2,3)$ и $T^{1} \times M_{0}^{2}$ — вблизи $\mathrm{Sc}_{-}=T^{1} \times F_{-}^{2}$. Бифуркация изолированных критических точек происходит так же, как в случае градиентных систем. Устойчивая спираль Sc_ в результате бифуркации Хопфа дает неустойчивую спираль и устойчивый инвариантный тор
\[
\mathrm{Sc}_{-} \xrightarrow{\text { Бифуркация Хопфа }} \mathrm{Sc}_{+}+T^{2} \times M_{0}^{1} .
\]

Нетрудно получить также остальные бифуркации и соответствующие потоки
\[
M_{1}^{3} \xrightarrow{A_{3}} M_{2}^{3}+2 M_{1}^{3} .
\]