В данной главе методы и результаты теории катастроф были использованы для описания квантовомеханических систем. При этом мы не рассматривали квантовомеханические системы общего вида, а ограничились некоторыми частными случаями систем, содержащих большое число одинаковых подсистем (например, молекул, атомов, нуклонов). Хотя описание таких систем должно быть по своей сути квантовомеханическим, наличие большого количества отдельных подсистем означает, что соответствующие усредненные операторы почти коммутируют. Чем выше степень коммутативности этих операторов, тем лучшего начального приближения можно добиться при анализе таких систем классическими методами.

Были рассмотрены два широких класса модельных систем: модели МГЛ, которые описывают системы только одного типа (нуклоны), и модели Дикке, которые описывают системы, состоящие из двух взаимодействующих подсистем (атомы и поле). Исходные модели МГЛ и Дикке служат прототипами двух общих классов рассмотренных моделей. Эти обобщенные модели могут включать как многоуровневые системы, так и сложные полиномиальные взаимодействия.

При довольно слабых предположениях энергия основного состояния для моделей из этих классов может быть определена по простому рецепту. Процедура начинается с замены оператора Гамильтона его средним яли ожидаемым значением. Далее энергию основного состояния можно изучать как функцию констант связи, входящих в гамильтониан. Таким путем легко можно исследовать фазовые переходы.

Очень похожий прием годится для изучения термодинамических фазовых переходов, только здесь вместо энергии основного состояния фигурирует свободная энергия. Методика определения термодинамического равновесия системы использовалась как для моделей типа МГЛ, так и для моделей типа Дикке при обсуждении термодинамических фазовых переходов. Системы, в которых происходят фазовые переходы с изменением энергии основного состояния, претерпевают и термодинамические фазовые переходы. Были получены условия, при которых можно ожидать фазовых переходов второго рода в любой из систем, описываемых моделями указанных классов.

Средства и методы теории катастроф применимы как к равновесным, так и к неравновесным системам. Были исследованы топологические свойства «орбит» квантовомеханических систем. Орбиты, определяемые нестационарными уравнениями движения Хартри — Фока, проявляют свойство критического удлинения в окрестности вырожденной критической точки. Это явление, характерное для динамических систем, является аналогом критического замедления в диссипативных системах.

Что касается диссипативных систем, то изучались стационарные свойства моделей Дикке в состоянии, далеком от термодинамического равновесия. Раньше эти модели часто использовались для описания лазерных систем. Қогда критическая точка сборки разворачивается соответствующим образом, можно ожидать новых физических явлений, одним из которых является оптическая бистабильность.
Примечания
Модель Дикке использовалась Хакеном и другими [28] для подробного теоретического изучения лазерных фазовых переходов. В их работах не вводились внешние возмущения, нарушающие симметрию, такие, как классический внешний ток или поле. Поэтому явление оптической бистабильности не было известно теоретикам вплоть до 1976 г. Такой длительной задержки можно было бы избежать, если бы физики были знакомы с идеями и методами элементарной теории катастроф.

Термодинамические фазовые переходы в модели Дикке впервые строго исследовались Хеппом и Либом [30]. Ванг и Хью [31] существенно упростили их выкладки, предложив алгоритмы, использующие когерентные состояния поля. Их результаты, хотя и оказались верными, не были, однако, строго обоснованы. Затем Хепп и Либ [32] предложили другой алгоритм, использующий атомные когерентные состояния. Этот алгоритм уже был строго обоснован. Атомные и полевые когерентные состояния рассматривались с единых позиций в алгоритме, предложенном Гилмором [9]. В это же время было введено понятие канонического ядра. Қак только оказалось возможным исследовать фазовые переходы с помоцью алгоритма, включающего потенциальную функцию, изучение влияния внешних возмущений, нарушающих симметрию, стало сравнительно простым делом [33, 34]. Эти различные этапы в развитии модели Дикке отражены в следующей таблице:

Явное сходство в поведении модели Дикке при равновесных и неравновесных стационарных граничных условиях наводит на мысль о возможности существования между ними формальной математической связи («аналитического соответствия»), которая и была установлена Гилмором и Нардуччи $[25,26]$.

Это аналитическое соответствие открывает следующую интригующую возможность. При равновесных граничных условиях оба редуцированных обератора плотности $\rho_{A}$ и $\rho_{F}$ имеют структуру
\[
\rho=[\rho \text { (геомегрия) }]^{M} \text { (физнка). }
\]

Здесь $\rho$ (геометрия) есть оператор, огределенный на многообразии катастрофы сборки. Этот оператор имеет вид
\[
\rho_{A \text { или } F} \text { (геометрия) } \simeq \exp \left(-N h_{A \text { или } F}\right),
\]

где полуклассические гамильтонианы $h_{A}$ и $h_{F}$ определяются выражением (15.35). Число $M$ (физика) зависит от системного шума и фактически связано с температурой системы $(M=\beta)$. Аналогичная факторизация Вигнера — Экарта существует для оператора плотности, описывающего неравновесное стационарное состояние модели Дикке.
На следующие вопросы пока нет огвета:
1. Что в таком случае представляют собой аналоги полуклассических гамильтонианов $h_{A}$ и $h_{F}$ ?
2. Какова физическая интерпретация числа $M$ (физика)?
3. Можно ли определить неравновесный оператор плотности, исходя из некоторого вариационного принципа, как это имеет место при равновесных граничных условиях?

Литература
1. Gilmore R., Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications, New York: Wiley, 1974.
2. Gilmore R. The Classical Limit of Quantum Non-Spin Systems, J. Math. Phys., 20, $891-893$ (1979).
3. Lipkin H. J., Meshkov N., Glick A. J. Validity of Many-Body Approximation Methods for a Solvable Model: (1). Exact Solutions and Perturbation Theory, Nucl. Phys., 62, 188-198 (1965).
4. Ruelle D. Statistical Mechanics, New York: Benjamin, 1969.
5. Gilmore R. Two Nonlinear Dicke Models, Phisica, 86A, 137-146 (1977).
6. Dicke R. H. Coherence in Spontaneous Radiation Precesses, Phys. Rev., 93, $99-110$ (1954).
7. Von Weisäcker C. F. Zur Theorie cer Kernmassen, Z. Physik, 96, 431-458 (1935).
8. Arecchi F. T., Courtens E., Gilmore R., Thomas H. Atomic Coherent States in Quantum Optics, Phys. Rev., A6, $2211-2237$ (1972).
9. Gilmore R. Structural Stability of the Phase Transition in Dicke-like Models, J. Math. Phys., 18, 17-22 (1977).
10. Gilmore R., Feng D. H. Studies of the Ground State Properties of the Lip kin-Meshkov-Glick Model via Atomic Coherent States, Phys. Lett., 768. $26-28$ (1978).
11. Gilmore R., Feng D. H. Ground State Phase Transitions in Multilevel Extensions of the Lipkin — Meshkov — Glick Model, Phys. Lett., 85B, 155-158 (1979).
12. Gilmore R. Geometry of Symmetrized States, Ann. Phys., (NY) 74, 391463 (1972).
13. Lieb E. H. The Classical Limit of Quantum Spin Systems, Commun. Math. Phys., 31, $327-340$ (1973).
14. Gilmore R. Thermodynamic Phase Transition in the Dicke Model for Multilevel Systems, J. Phys., A10, L131-134 (1977).
15. Gilmore R., Deans S. R., Feng D. H. Phase Transitions and Geometric Properties of the Interacting Boson Model, Phys. Rev., C (March 1981).
16. Gilmore R., Bowden C. M. Classical and Semi-classical Treatment of the Dicke Hamiltonian, in: Cooperative Effects in Matter and Radiation (C. M. Bowden, D. W. Howgate, H. R. Robl, Eds.), New York: Plenum, 1977 , pp. $335-355$.
17. Gilmore R., Feng D. H. Ground State and Thermodynamic Phase Transitions of Nuclear Systems, in: Proceedings of the International Meeting on Frontiers of Physics, Republic of Singapore, New York: Plenum, 1980.
18. Dirac P. A. Note on Exchange Phenomena in the Thomas Atom, Proc. Camb. Phil. Soc., 26, 376-385 (1930).
19. Klein M. J., Meijer H. E. Principle of Minimum Entropy Production, Phys. Rev., 96, 250-255 (1954).
20. Prigogine I. Etude Thermodynamique des Phénomènes Irreversibles, Liege: Editions Desoer, 1947.
21. Glansdorff P., Prigogine I. Thermodynamics of Structure, Stability, and Fluctuations, New York: Wiley, 1971.
22. Nicolis G., Prigogine 1. Self-Organization in Nonequilibrium Systems, New York: Wiley, 1977.
23. Poston T., Stewart I. N. Catastrophe Theory and Its Applications, London: Pitman, 1978. [Имеется перевод: Посток Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложеаия. — M.: Мир, 1980.]
24. Arecchi F. T. Photocount Distributions and Field Statistics in Quantum Optics, Proceedings of the International Summer School of Physics «Enrico Fermi», Rendiconti 42 (R. J. Glauber, Ed.), New York: Academic Press, 1969 , pp. $57-110$.
25. Gilmore R., Narducci L. M. Relation Between the Equilibrium and Nonequilibrium Critical Point Properties of the Dicke Model, Phys. Rev., A17. $1747-1760$ (1978).
26. Gilmore R., Narducci L. M. Laser as Catastrophe, in: Coherence and Quantum Optics (L. Mandel and E. Wolf, Eds.), New York: Plenum, 1977, pp. $81-91$.
27. Gibbs H. M., McCall S. L., Venkatesan T. N. C. Differential Gain and Bistability Úsing a Sodium Filled Interferometer, Phys. Rev. Lett., 36, $1135-1138$ (1976).
28. Haken H. Laser Theory, in: Handbuch der Physik, v. XXV/2c, Berlin: Springer-Verlag, 1970.
29. Bonifacio R., Lugiato L. A. Cooperative Effects and Bistability for Resonance Fluorescence, Optics Commun., 19, 1972-1976 (1976).
30. Hepp K., Lieb E. H. On the Superradiant Phase Transition for Molecules in a Quantized Radiating Field: The Dicke Maser Model, Ann. Phys., (NY) 76, $360-404$ (1973)
31. Wang Y. K., Hioe F. T. Phase Transitions in the Dicke Model of Superra* diance, Phys. Rev., A7, $831-836$ (1973).
32. Hepp K., Lieb E. H. Equlibrium Statistical Mechanics of Matter Interacting with the Quantized Radiation Field, Phys. Rev., A8, 2517-2525 (1973).
33. Provost J. P., Rocca F., Vallee G., Siruge M. Lack of Phase Transition in the Dicke Model with External Fields, Physica, 85A, 202-206 (1976).
34. Gilmore R. Persistence of the Phase Transition in the Dicke Model with External Fields and Counter-Rotating Terms. Phys. Lett., 55A, 459-460 (1976).