7.12. БИХ-фильтры
При проектировании фильтров с импульсными характеристиками бесконечной длины необходимо выбрать коэффициенты 
таким образом, чтобы характеристика получающегося фильтра аппроксимировала заданную характеристику фильтра, а сам фильтр был бы устойчивым. Обеспечение обоих условий связано с большими трудностями, так что простой методики расчета БИХ-фильтров пока не существует. Прежде чем перейти к изучению конкретных методов расчета двумерных БИХ-фильтров, целесообразно обсудить причины возникающих трудностей. С точки зрения проектирования фильтров важным свойством одномерных z-преобразований является возможность представления многочленов высоких степеней в виде произведения многочленов более низких степеней. Так, полином
(7.46)
можно разложить на множители, что дает
Важность этого разложения трудно переоценить. Оно дает возможность проектировщику проверить устойчивость фильтров высокого порядка с помощью простых критериев, использующих полиномы более низкого порядка. Кроме того, оно дает удобный способ построения фильтров путем последовательного соединения фильтров более низкого порядка, что существенно уменьшает
трудности, связанные с чувствительностью к неточностям коэффициентов, которые характерны для фильтров с передаточными функциями, являющимися полиномами высоких степеней.
Для двумерных полиномов описанное выше свойство не сохраняется, так что в общем случае двумерный полином 
нельзя представить в виде произведения простых многочленов более низких степеней. Главным следствием этого свойства двумерных полиномов является то, что, за исключением простейших случаев, практически невозможно проверить устойчивость двумерных БИХ-фильтров. Более того, из этого свойства следует, что неустойчивый фильтр нельзя сделать устойчивым, включив последовательно с ним соответствующий всепропускающий фильтр. И наконец, оно означает, что двумерные БИХ-фильтры нельзя построить путем последовательного соединения фильтров более низкого порядка. Таким образом, даже если удастся рассчитать устойчивый БИХ-фильтр высокого порядка, найти подходящую схему его реализации будет весьма непросто.
В последующих разделах описаны возможности проверки устойчивости БИХ-фильтров методами прямого вычисления.
