52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители.

Ц. р.ф. или многочлен можно рассматривать не только при действительных значениях но и при любых комплексных значениях ; в самом деле, все действия, необходимые для получения значения многочлена

имеют смысл при любом комплексном (мы сохраним обозначение для действительной части Разумеется, при этом и значения, принимаемые многочленом, будут, вообще говоря, комплексными числами. Однако вполне возможно, что при некоторых комплексных (мнимых) значениях z многочлен не только будет иметь действительные значения, но может обращаться в нуль. В дальнейшем, в гл. V, изучая алгебраические уравнения, мы будем искать все их корни, а не только действительные. Поэтому полезно сейчас рассмотреть вопрос о значениях многочлена при комплексных значениях .

Даламбером была сделана попытка доказать, а Гауссом окончательно доказано важное предложение:

Всякий многочлен степени имеет в комплексной области хотя бы один корень.

Это предложение, устанавливающее существование корня многочлена (быть может, не действительного), носит название основной теоремы алгебры. Теорема эта верна даже и для многочленов с комплексными коэффициентами, но мы ограничиваемся только случаем многочленов с действительными коэффициентами. Доказательства теоремы Гаусса мы привести не можем.

В п. 15, говоря о комплексно сопряженных числах, мы отметили, что сумма, разность, произведение чисел, комплексно сопряженных с данными, комплексно сопряжены, соответственно, с их суммой, разностью, произведением.

Отсюда вытекает утверждение:

Значения многочлена (52.1) при комплексно сопряженных значениях сопряжены между собой.

Доказательство. Значения выражаемые равенствами

будут сопряжены, так как получаются одинаковыми действиями над сопряженными числами. В самом деле, -действительные коэффициенты, и они, следовательно, сами себе сопряжены: Поэтому можно написать

и из сравнения получим

Следствие. Если многочлен имеет комплексный корень , то и сопряженное число является его корнем.

В самом деле, если , то . Пусть теперь а — действительный корень многочлена (52.1). По теореме Безу разделим на и напишем

Если , то многочлен также обязан иметь корень. Может случиться, что число а снова является его корнем. Тогда повторим деление на и получим

Пусть, вообще говоря, деление на нацело удается выполнить k раз, но уже не удается в раз. Тогда а мы называем - кратным корнем многочлена и пишем

Многочлен здесь уже не делится на нацело. Если то корень а называется однократным или простым; если корень называется кратным.

Может быть, многочлен также имеет действительный корень (кратности ). Тогда мы напишем

и продолжим этот процесс до исчерпания всех действительных корней Если при этом в записи

и, следовательно, последний множитель то процесс привел нас к отысканию всех корней многочлена и разложению многочлена на линейные множители. Сравнение степеней даст нам при этом

т. е. сумма кратностей корней равна степени многочлена. Говорят проще, что многочлен имеет столько корней, какова его степень (считая каждый кратный корень столько раз, какова его кратность).

Может, однако случиться, что на некотором шаге в записи (52.2) многочлен положительной степени Уже не имеет ни одного действительного корня. Тогда, в силу основной теоремы алгебры, он имеет комплексный корень Вместе с тем он имеет и корень а Нетрудно было бы распространить теорему Безу и на случай деления на двучлен с мнимым а. Многочлен должен делиться поэтому на и на Для того чтобы не вводить эти мнимые сомножители в разложение многочлена на множители, можно, вместо последовательного выполнения деления на разделить сразу на произведение

которое уже оказывается квадратным трехчленом с действительными коэффициентами (и отрицательным дискриминантом: . В результате в записи разложения на множители появятся множители вида (снова однократные или повторяющиеся):

где последнее частное - число. Сравнение коэффициента при в левой и правой частях равенства (52.2) покажет, что . Поэтому окончательно разложение многочлена с действительными коэффициентами на действительные множители имеет вид

Вывод: многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение (повторяющихся или нет) линейных двучленов вида и квадратных трехчленов вида . Число всех корней многочлена с учетом их кратности равно его степени .

Пример. Число является корнем многочлена

Указать кратность корня и разложить на множители

Решение. Применяя схему Горнера для деления многочлена на (можно обойтись и без схемы Горнера, выполнив деление обычным способом, как в п. 50):

Таким образом, частное равно :

Многочлен, найденный как частное от деления, снова делим на

Получаем частное и еще раз делим его на

Теперь остаток отличен от нуля, поэтому окончательно

где уже не делится на без остатка. Корень - двукратный корень многочлена. Трехчлен имеет комплексно сопряженные корни (см. п. 59), так как его дискриминант отрицателен: Разложение на множители, записанное в форме (52.4), имеет вид

Упражнения

1. Разделить многочлен на многочлен найти частное и остаток

2. Проверить, делится или не делится многочлен на двучлен:

3. Определить коэффициенты а и б многочлена если известно, что он без остатка делится на двучлен при делении на двучлен дает остаток, равный 6.

4. Многочлен имеет корень Какова кратность этого корня? Разложить многочлен на множители.