СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

— дифференциальные уравнения, содержащие стохастические дифференциалы от винеровского процесса или дифференциальные уравнения, содержащие гауссовский белый шум. С. д. у. 1-го порядка в общем виде записывают так:

где искомый случайный процесс, заданные ф-ции, винеровский процесс. Процесс может быть и векторным, тогда ф-ция с векторными значениями, ф-ция с матричными значениями. С. д. у. решают при заданном начальном условии Процесс не дифференцируем, , где обобщенный процесс — белый шум. Поэтому в первую очередь в теории С. д. у. исследуют, какой смысл нужно придать входящим в ур-ние дифференциалам. G этой целью вводится стохастический интеграл имени япон. математика) по винеровскому процессу вида как предел в среднем квадратическом интегральных сумм , где . Для весьма широкого класса ф-ций такой интеграл существует. После этого С. д. у. записывают в интегр. форме

Доказывают, что в том случае, когда удовлетворяют условию Липшица по х

при некотором К и являются измеримыми по ограничены, то ур-ние (1) имеет единственное решение. Это решение будет марковским процессом диффузионного типа, с коэфф. переноса а и коэфф. диффузии В многомерном случае будет вектором переноса, матрицей диффузии, где b — матрица, сопряженная 6. Т. Для определения распределения процесса или его переходной вероятности можно использовать ур-ния А. Н. Колмогорова для диффузионных процессов. Такая связь между параболическими ур-ниями и С. д. у. позволяет использовать последние для исследования ур-ний с частными производными, а также строить вычислительные схемы решения дифф. ур-ний с помощью моделирования С. д. у.

Важным вопросом теории С. д. у. является исследование поведения решений при в частности, нахождения условия устойчивости. Ур-ние для которого данное решение не устойчиво, может оказаться устойчивым после случайной добавки. Так, напр., неустойчивое решение ур-ния при при добавлении члена будет устойчивым, если . С. д. у. широко применяют для изучения марковских процессов, исследования дифф. ур-ний с частными производными, а также для описания реальных систем с быстро переменными случайными возмущениями (напр., при описании движения диффундирующей частицы под влиянием столкновений с молекулами жидкости или шумовых токов в радиоустройствах, вызванных тепловым движением электронов и наличием флуктуаций).

А. В. Скороход.