Теорема Стокса.
Зная ротор вектора а в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру Г, ограничивающему S (контур также может быть неплоским). Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы 
. Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими.
Поэтому в соответствии с (11.23) циркуляция вектора а по контуру, ограничивающему 
может быть представлена в виде
(11.29)
где 
— положительная нормаль к элементу поверхности 
В соответствии с формулой (11.21), просуммировав выражение (11.29) по всем 
, получим циркуляцию вектора а по контуру Г, ограничивающему 
Осуществив предельный переход, при котором все AS стремятся к нулю (число их при этом неограниченно растет), придем к формуле
(11.30)
Соотношение (11.30) носит название теоремы Стокса. Смысл ее состоит в том, что циркуляция вектора а по произвольному контуру Г равна потоку вектора rota через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.
Оператор набла. Написание формул векторного анализа значительно упрощается и облегчается, если ввести векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом 
и носящий название оператора набла или оператора Гамильтона. Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами 
Следовательно,
Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор у на скаляр 
, то получится вектор
который представляет собой градиент функции 
(см. (11.1)).
Если вектор у умножить скалярно на вектор а, получится скаляр
который есть не что иное, как дивергенция вектора а (см. (11.14)).
Наконец, если умножить у на а векторно, получится вектор с компонентами: 
и т. д., которые совпадают с компонентами rota (см. (11.25) — (11.27)).
Следовательно, воспользовавшись записью векторного произведения с помощью определителя, можно написать
(11-34)
Таким образом, существует два способа обозначений градиента, дивергенции и ротора:
Обозначения с помощью у обладают рядом преимуществ. Поэтому мы в дальнейшем будем применять такие обозначения. Следует приучить себя отождествлять символ 
со словами «градиент 
(т. е. говорить не «набла 
а «градиент фи»), символ 
— со словами «дивергенция а» и, наконец, символ 
— со словами «ротор а».
Пользуясь вектором у, нужно помнить, что он является дифференциальным оператором, действующим на все функции, стоящие справа от него. Поэтому при преобразовании выражений, в которые входит у, нужно учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференциального исчисления. Например, производная произведения функций 
равна
В соответствии с этим
Аналогично
(11.36)
Градиент некоторой функции 
представляет собой векторную функцию. Поэтому к нему могут быть применены операции дивергенции и ротора:
(А — оператор Лапласа);
(11.38)
(напомним, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулю).
Применим операции дивергенции и ротора к функции 
(смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах; если два из этих векторов совпадают, объем параллелепипеда равен нулю);
(11.40)
(мы воспользовались формулой 
).
Соотношение (11.39) означает, что поле ротора не имеет источников. Следовательно, линии вектора 
не имеют ни начала, ни конца. Именно по этой причине поток ротора через любую поверхность S, опирающуюся на данный контур Г, оказывается одним и тем же (см. формулу (11.30)).
В заключение отметим, что с использованием оператора у формулам (11.15) и (11.30) можно придать вид
